Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Граничным условиям шарнирного опирания ш!о=О, М„„)с=О удовлетворяет функция шах~, омхо оетр 91п з1п гда т, и — произвольные целые числа. Подставляя ее в урав, -нение (3.150), получаем. ~'»~ ат-+ЬТ) Р аг. О. Отсюда находим Рта тт ар Г ( дT+ «г) где т, л — положительные целые числа. При данном т величина Р, достигает наименьшего значения'при и= 1, Следо-- вательно, критической нагрузкой будет иоО г а Ьт х' Рар Р ! 1 + ) ь* ~ь. а) где целое положительное т выбирается так, чтобы Р, было минимальным. Как и в задача об устойчивости стержня, амплитуда прогиба ш „ остается неопределенной.
Изложенный выше метод исследования устойчивости пластинки основан иа отыскании возможных смежных 1с пдоской формой) изгнбных форм равновесия. Другой метод, называемый энергетическим, состоит в сравнении потенциальных энергий си. о о о стемы в исследуемом состоянии равйовесия аиь аих, ш =О .которое устанавливается при действии на пластинку внешних сил Р, аРц и в,близких, к нему возмущенных состояниях ай1+иь гв, характеризуемых малыми отклонениями и-„и,', гв, совместными с условиями закрепления пластинки. Потенциальная энергия системы равна равности потенциальо ной энергии пластинки и работы внешних сил Р, =аР1 (которые принимаются постоянными) П(ин ге) ~~[Фо(ец) +Ф„(н',1)1с(х,дх, — аа рон,сЬ, где энергии растяжения Ф, и изгиба Ф„определяются по формулам (3.119), (3.120).
Определим приращение ЬП =П(аи1~+ иь ге)--П(аиь 0), получаемое потенциальной энергией системы при переходе нз состояния плоского равновесия в возмущенное состояние. По принципу возможных перемещений в исходном пЛоском состоянии равновесия потенциальная энергия 'системы принимает стационарное значение, т.
е. ее первая вариация, вычис- Р / ленная на любых возможных возмущениях иь и„в, равна нулю. Если П(аи~, 0) является локальным минимумом, то ЬП) 0 на любых достаточно малых возмущениях иь их, гэ. Это означает, что приращение потенциальной энергии пластинкй превышает работу приложенных к ней внешних сил на пео / ремещениях иь ив вследствие чего пластинка имеет тенденцию вернуться в прежнее состояние плоского равновесия.
Последнее, следовательно, будет устойчивым, И наоборот, в случае локального максимума потенциальной энергии системы в плоском состоянии равновесия работа внешних сил на сколь угодно ма- У лых ' возможных отклонениях иы ио превышает приращение потенциальной энергии пластинки, и, следовательно, отклоне. ння имеют тенденцию возрастать. Таким образом, состояние плоского равновесия пластинки будет неустойчивым. Неустойчиво оно и в том случае, если потенциальная энергия системы П(аиь О), принимая стационарное значение, не является локальным экстремумом, так как при этом всегда имеются такие сколь угодно малые возможные отклонения от рассматриваемого положения равновесия, при которых ЬП< о, и, следова.
тельно, приращение потенциальной энергии пластинки меньше ° работй внешних сил на этих отклонениях. Поскольку, как отмечено выше, первая вариация потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, равна Р Р нулю, о знаке йП при достаточно малых возмущениях иь иь ге можно судить по знаку второй вариации. Последняя, как нетрудно видеть, равна ~ ~ [Ф„(нц) + — Т,э — — х+ Ф,(ец)11(х,дхв (3.153) / о дов ~ до1 ди ' где нц = —, 2ец= — ' дходх1 ' дхг дх1 . Условием устойчивости плоской формы равновесия является по- ' ложительность написанного интеграла при любых кинемати- Р . / чески допустимых перемещениях иь 'иы ж, Первые два слагаемые в подынтегральном выражении ; (3.153) зависят только от ш, а последнее Ф,(ец) от 1е не зави- ;, снт н является положительно определенной квадратичной форо , мой переменных ец.
Поэтому для положительной определен- о.ности второй вариации (3.153) при любых возможных откло- '; -пениях необходимо и достаточно положительной определенности' :,, функционала г (гс) ~~ Фх(кц) о(х1с(хо+ о ) ~ Тоад д с(х~ахх, (3.154) а ГГ о дв дв дха дхо рпределенного для любых допустимых прогибов.
Первое слагаемое в (3.154) (энергия чистого изгиба) поло- . жительно определено. Если в каждой точке пластинки тензор о усилий Тц положительно определенный, т. е. оба его главных "значения положительны, то и второе слагаемое будет положительно определенным. В этом случае плоское состояние равновесия пластинки будет устойчивым. Этот результат физически очевиден, так как положительная определенность тензора усио лий Тц означает растяжение пластинки по двум ортогональным направлениям.
Допустим теперь, что пластинка подвергается сжатию, т, е. ',в каждой ее точке оба главных. значения тензора Тоц не положительны и хотя бы одно из них отлично от нуля. Тогда дв дв Т2э — — ~ О, дхо дхэ :. и второе слагаемое в (3.154) уже не будет положительным. При заданном возмущении все выражение (3.154) будет положительным, если выполняется неравенство 1 дв дв ~ Фй(ц) ех~ ехо (3;155) правую часть которого обозначим 1г(ж). Отсюда следует,' что критическим значением параметра нагрузки а, при превышении 191 которого пластинка теряет устойчивость, является а„р =ш(пхс(Гэ).
(3.156) Заметим, что дробь )Г(ш) (3.155) ие меняется при замене в на св, где с — це равная нулю постоянная. Поэтому а„может быть определено как минимум потенциальной энергии чистого изгиба пластинки ~~Ф„дх,дх, при условии нормировки для прогиба 1 ГГ о дв дм — — ) ) Таз — дх~ дхр = соп81. 2 дхр дха Таким образом, получаем задачу на условный экстремум. Как известно (см., например, [9, 221), введением множителя Лагранжа сс она сводится к задаче о нахождении стационарного значения функционала (3.154), а и„р есть наименьшее значение а, при котором эта вариационная задача имеет нетривиальное решение (Гэ Ф 0).
Составляя вариацию этого функционала, легко показать, что вариационное уравнение 6Г = 0 эквивалентно дифференциальному уравнению (3.150) и статическим граничным условиям (3.152). Таким образом, а„р, доставляемое формулой (3.156), совпадает с ранее определенным критическим значением а как наименьшим собственным значением задачи (3.150) — (3.152). Для любого кинематически допустимого прогиба Гэ из отношения (3.155) можно получить верхнюю оценку критического паРаметРа нагРУзки а,р ( )с(ш).
РешаЯ задачУ методом Ритца, прогиб задают в'виде линейной комбинации и = ~Хсьгэх(х„х,) известных фУнкций Гэы каждаЯ из котоРых УдовлетвоРЯет кииематическим граничным условиям (3.151) на контуре пластинки, Вычисляя дробь (3.155) и минимизируя полученное выражение путем подходящего выбора сы получаем приближенное значение критического параметра с избытком, тем более точное, чем лучше указанная линейная комбинация аппроксимирует действительные прогибы пластинки. Воспользовавшись вариационным уравнением 6р' = Ор для определения постоянных аы ввиду квадратичности функционала 3.154), получим однородную линейную систему уравнений )х(сосд.....
и)/дсх = 0 с числом уравнений, равным числу неизвестных сх, Ненулевое решение этой системы существует, если и является корнем ее определителя. Наименьший корень этого определителя и есть приближенное значение а,р. Подробное изложение метода Ритца и других вариационных методов содержится в (15). Много примеров решения задач об устойчивости пластинок имеется в (2), Там же, а также в (171 дается общая постановка задачи об устойчивости упругих тел. 199 Глава 1'ч' ГИДРОйчЕХАИИКА Гидромеханика является составной частью механики сплошгиых сред,также как теория упругости и электродинамика. Пред,метом изучения теории упругости является твердое деформируедаое тело, гидромеханики — жидкость.
Жидкость представляет собой сплошную среду,со спейиальными свойствами, которые ,';фиксируются определяющими (реологическими) уравнениями. Основная задача гидромеханики состоит в определении па,раметров движения жидкости и ее воздействия на поверхности, 'ограничипающие ее объем. В качестве таких поверхностей мо: гут служить корпус летательного аппарата, надводного или под:водного корабля. Воздействие жидкости на тело, выражающееся в виде гидро- динамических силы и момента, должно приниматься во внима,. ние как при расчетах сооружений на прочность, так и для пра..вильной постановки проблем управления техническими объек' тами.
й 49. ИекОтОРые сйедения ИЗ КИНЕМАТИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ДВИЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ В етом параграфе приведены тэ соотношения главы П, которые обычно используются в механике жидкости, а также допол! йительные сведения из кинематики сплошной среды, необходи" мые для описания картины течения жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
