Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Аналогично общему случаю (см. 3 32) можно ввести кине- матически допустимые перемещения и статически допустимые напряжения. Формулировка энергетических теорем и их доказа- тельства сохраняются,-Имеет место теорема единственности ре-. шения плоской задачи теории упругости. Функция напряжений. Плоскую задачу можно ре- шать в перемещениях, выразив напряжения из (3.80) через де- формации, а затем перемещения и подставив их затем в урав- нения равновесия (3.82).
Таким путем придем к двум уравне- ниям в перемещениях иь иь каждое из которых имеет второй порядок, Часто, однако, предпочтительнее оказывается другой путь решения. Частное решение уравнений плоской задачи, «снимающее» массовые силы Рь обычно не вызывает затруднений, поэтому ограничимся рассмотрением случая отсутствия массовых снл. Уравнения равновесия (3.82).при Рг 0 будут удовлетво- рены, если положить оц = дА/дхь огг = — дА/дх, в первом из них н агг — дВ/дхг, агг — — дВ/дхг — во втором. По симметрии тензора напряжений должно быть дА/дхг —— дВ/дхг. Этому ус- ловию удовлетворим, полагая А = д(7/дхг,  — д(//дхь Таким образом, напряжения выражаютсячерез однуфункцию 1/(хьхг) (функцию напряжений Эри) дггг' ац бц Л(/ — — 3 — .
(8.83) дх х При равенстве напряжений нулю получаем (/= ах, +Ьхг+с, следовательно, функция напряжений определена с точностью до указанных слагаемых. Вводя поворот «гг = ег по формуле диг ди~ 2г» еа* — —— дх| дхг,' запишем производные от перемещений в виде Ф- «г вц — эцы, х где эц (ег)(е1) ег — двумерный дискрнминантный тензор (см. й б). Выражая в них деформации через функцию напря- жений по формулам (3.80) н (3.83), будем иметь Еа- 6цМЛ вЂ” (1+ т) — Ег»эц ' (3 84) даг дгц хг дхг дх1 Эти равенства можно рассматривать как систему уравнений, определяющую перемещения через (/ и ег.
Для совместности . этих уравнений необходимо, чтобы равенства вторых смешан; ных производных дгиг/дх1дхг = дги,/дхгдхг выполнялись в силу самих этих уравнений. Это приводит к следующим двум соот- ~' ношениям: — уравнениям Коши — Римана, показывающим, что Л л(7 и Еег ,;;являются сопряженными гармоническими функциями. Таким образом, (3.88) 161 б ЛА(7 =О, (3.88) я напряжений 1/ должна быть бигармонической. -К нахождению бигармонической функции (7 сводится р я ешение . плоско зада и й ч теории упругости; через нее определяются на- 3.80, пово от пряженн ження и деформации по формулам (3.83), ( .
), р перемещения находятся из уравнений (3.85) (, ' ) и 3.84 с точи пе постыл до жесткого перемещения пластинки, — г,, + иг хего ио 1 хыг Постановка плоской задачи в комплексной ф о р и е. Из (3.85) следует, что Л(7 + 1Еег = 4ф' (г) (3,87) '; является аналитической функцией комплексного переменного Пусть ф (г) = р(хь хг)+ 1а (хь хг) , — аналитическая функция, являющаяся интегралом от/ф'(г). ".,: По условиям Коши — Римана д де др де дхг дх~ ' , Сравнивая вещественные части равенства (3.87), имеем 2(а + Г) Нетрудно проверить, что частным решением этою уравнения является функция х,р+хгд [гф(г)+гф(г)]/2. Следовательно, разность (/ — хгр — ххах является гармонической функцией, которую можно представить в виде (/ — х,Р— хгц *-.й (Х(г) + Х7Й)), 1 г е (г) — произвольная аналитическая функция.
Здесь и ,, где Х(г) — п дальше черта сверху означает комплексно-сопр у яженн ю величину (й = х| — 1хг; ф (г) = р — га и т. д.). Т об азам, приходим к следующему общему представ- ' лению Гурса бигармоническбй функции (/(хохг) через д аким р ве аналитические функции ф(г) и Х(г): 2(/(х„хг) = гф(г) + дф(г) + Х(г) + Х(г).
Принимая во внимание формулы д д д д г д из (3.88) получаем аи ' дЕЕ д + Е д ы Ф(г) + гФ'(г) + Х'(г). (3.8 )„ Дифференцируя зто равенство по х! и хо и учитывая формулы (3.83), имеем ам — Ев!о = дР' (г) + Ф' (г) + гф" (г) + Х (г), вц + Еа!о = Ф'(г) + !р (г) — гф" (г) — Х" (г). Вычитая нз первого равенства второе н переходя к сопряжен. ным величинам, будем иметь взо: ац + !2ам —— 2 (гФм (г) + Х" (г)!. (3.90) ляют оп Поскольку Е!ЕЕ = оц'+вы, формулы (3.87) и (3.90) и . позво- О ределить по функциям ф и Х напряжения и повара . братимся к перемещениям.
Дифференцируя по хх комплекст. ную комбинацию и!+Еим в силу. равенств (3.84) и (3.87) и правила дифференцирования аналитической функции имеем хдд дд д ддддНд !д ! д /дд .дд д* 'д хо дхо д дх! дх! Е' (1+т) — '1 — + ! — ). Отсюда и из (3.89) получаем выражение для комплексной комбинации и! + Еп! Е (и, + ги,) = (3 — т) Ф (г) — (1 + т) (г Ф (г) -1- Х' (г)). (3.9!) П оскольку в формулы (3.90) н (3.91) входят производные 'функции Х(г), целесообразно ввести обозначение Х'(г) = ф(г) (3.92) и переписать, упомянутые формулы вместе с формулой (3.87) в следующем виде: ац+ а!о+ ЕЕ!о 4!р'(г), во, — оп + 12ац = 2 1гФм (г) + ф'(г)), (3 93) Е(и;+ Еио) (3 — ъ)Ф(г) — (1+т) 1гФ (г)+ф (г)].
Это формулы Колосова — Мусхелишвили, дающие представление решения уравнений, плоской задачи через две аналитические функции !р(г) н Ф(г). Для полной постановки задачи необходимо сформулировать граничные условия через функции Ф и ф. Если на границе за1ая ( :даны перемещения, то на ней будвт определена правая часть ,;третьего равенства (3.93). Рассмотрим .статические граничные условия. Пусть х!(з), хо(з) параметрические уравнения кривой Е в функции длины '!дуги з, Определим касательную 1 и нормаль и кривой равен- '.ствами дх лхо вх дЕх! 4 — 1», + — со„п ЕХео -77- а! — — е, дЕо Ло о ао Иапряжение, а, на цилиндрической поверхности с направляю')Ещей Е равно по и ° (е!и! + еопо) и! -т - — п,-~;-.
дЕх дЕХ! Подставляя в правую часть д г 2гд дЕЕ в! аце!+ вме, -о-„- ~да е, — -Д-ео), ао п2!е! + амео дх Я» е! дх ео) цолучаем и +( е,— д е~). дх! Пусть на контуре Е заданы напряжения а,1ь Е!е!+Еоео, Из последнего равенства находим — 1!д !.А. 4,— ~ )1,д д-дд о '.На одном из контуров, ограничивающих пластину; постоянные дА и В могут быть выбраны произвольно, поскольку функция ,.,напряжений. определена с точностью до слагаемого Ах!+ Вхо+ '+С, .
Из последних равенств и (3,89), учитывая обозначение ;: (8.92), получаем следующее граничное условие: в (ф(г)+гФ'(г)+ф(г))(с Е ~(7!+ЕЦс(з+С. (3.94) о Равенства (3,94) должны быть написаны для каждого контура ",;(если их- несколько), ограничивающего пластинку, притом на ",': одном из них комплексная постояннаи С может быть выбрана .з! произвольно,' а на других они определяются из условия однозначности перемещений (см. [161). Перейдем к исследованию вида функций !р и ф. По" требуем, чтобы напряжения, поворот и перемещения были Зл 163 непрерывными и однозначными функциями координат хь хо, Тогда из первых двух формул (3.93) следует, что ф'(г), ф'(г) однозначны, конечны и дифференцируемы, т. е.
Регулярны, в рассматриваемой области 5. В случае односвязной области регулярными однозначными будут и сами функции ф(г), ф(г). Если же область 5 не односвязна, то функции ф и ф могут быть в ней и неоднозначны. Рассмотрим случай двухсвязной области, ограниченной замкнутыми контурами (.~ и Ео, из которых второй внешний (рис.
28), При обходе вокруг внутреннего контура 7.ь функции ф(г) и ф(г) г, получают приращения 'Е$ бф(г) [ь1 — — 2оо1а, бф(г) ~ы = 2я1й, где а и р — комплексные числа. Такие же приращения получают соответственно ' функции а 1л(г — г~) и р 1п(г — г~), где г1 — произвольно выбранРис. 28. ная точка, лежащая внутри 1.1 (внутри от- верстия). Отсюда следует, что функции ф„(г) ф(г) — а1п(г — г1) и ф„(г) ф (г) — р1п(г — г~) однозначны в области 5. Таким образом (г, О), ф(г) а1пг+ф„(г), ф(г) р!пг+ф.(г), (3.95) где а,(г), оро (г) — регулярные функции.
11одставляя эти значения ф и ф в третью формулу (8.93) ° и вычисляя приращение полученного выражения при обходе вокруг контура Бь находим ЬЕ (и, + 1ио) ~ы б [(3 — т) а 1и г — (1 + т) р 1и г) о, 2я1 НЗ вЂ” т) а + (1 + т) Я. Из требования однозначности перемещений получаем — + а. (3.96) Обратимся к граничному условию в напряжениях (3.94) и запишем его на внутреннем и внешнем контурах 1ф(г)+г ( )+ ф(г)1, =1~ ОП+ 171П) о(з+С„ (3.97) Ь(о-~*в~ )~-оя.— фзч~-отО и,~-с,.
По внутреннему контуру Ь1 интегрирование производится в направлении по ходу часовой стрелки, а по внешнему-против, 164 :.' так что в обоих случаях область остается слева, Обозначим ' через Р1н+ (Р~" = ф([[и+ 1[он) оЬ, Р[" + (Ро" =ф(ф" + 4") с(з ьо ',, интегралы по замкнутым контурам Ь, и Ьо, определяющие главные векторы приложенных к ним'сил. При обходе контуров 1.1 и Ео левые части равенств (3.97), в которых ф и ф определяются по (3.95) и (3.96), получают со"- 'етветственно приращения — айя(/(1+т) и а8п1/(1+ т), а правые — приращения 1 (Р[ ~ + (Ро') и 1(Р[в + (Ро"').
Отсюда получаем а= — з (1+ т)(Р1' + (Рон) зя (1+т)(Р1'+ 1Ро') (3 98) (последнее равенство выражает условие равновесия пластинки в целом). Таким образом, постоянная а в формуле (3.95) определяется через главный вектор сил, приложенных к одному из контуров. Если он равен нулю (Р[ =Ро — — О), то а = О, и тогда ф(г) и ю' н) ф(г) — регулярные функцни.
' Регулярные в кольцевой области функции ф„(г) и ф,(г) могут быть представлены рядами Лорана СО ~0 ф. (г) ) пог, Ф. (г),) Ьог . ' (3.99) о; „Подставляя (3.95), (3.96), (3.98) и (3.99) в первые две формулы ~Ъ.93), получаем 1 + т Р[п+ Ф'~ вы + ам + 1Еоо — — „+ 4 ~ йаог аоо — ац+12а1о=2(г(- —, + ~~ я(А — 1)аог" о)— о -со Применим эти формулы к частному случаю, когда внешний кон"; .тур Е, рассматриваемой двухсвязной области расширяется до бесконечности (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
