Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Второе (называемое статической гипотезой Кирхгоффа) формулируется следующим образом. Перпендикулярные к упругой линии напряжения о„, о „, о„„, действующие на площадках, перпендикулярных к поперечнйм сечениям стержня, пренебрежимо малы по сравнению с нормальными напряжениями в самих поперечных сечениях и имр в приближенной теории стержней можно пренебречь. Основанием для применения указанных гипотез является то обстоятельство, что в длинном стержне сравнительно небольшие внешние силы вызывают значительные нормальные напряжения в его поперечных сечениях, превосходящие по своему порядку все остальные напряжения. Ввиду этого удлинения продольных волокон стержня связаны в основном с действием этих нормальных напряжений.
Сдвиги, вызываемые малыми касательными напряжениями о„, о,„, малы и ими можно пренебречь. Сущность гипотезы плоских сечений состоит, таким образом, в пренебрежении сдвигами е„, е„ при определении удлинений продольных волокон стержня. Отметим, что при чистом изгибе цилиндра гипотеза плоских сечений выполняется (см.
$29). Пусть х, у, х — материальные координаты точек стержня, которые до деформации были декартовыми координатами. Относительное удлинение оси стержня определяется равенством ' — =1+ в. е» (3.46) При определении положений точек стержня и удлинений его продольных волокон малыми изменениями формы и размеров его сечений можно пренебречь. Пользуясь гипотезой плоских сечений, положение произвольной точки стержня после деформации можно определить радиус-вектором К = г (з) + хи + у).
(3. 47) В этом равенстве х, у — декартовы координаты точки в плоскости поперечного сечения, орты которых п(з) и ), а г(з) указывает точку на упругой линии, через которую проходит рассматриваемое сечение. Дифференцируя (3.47) с учетом (3.46) по й, имеем К»= К,(! +е) =!(1+ е)(! — хх), так как согласно (3.43) и (3.45) оп/Ыз = -х1. По общей формуле (см. (2.70)) ~» ( 1+Я, ~Л-~-2~, где Е, — относительное удлинение продольных волокон, а ℠— компонента тензора деформации, находим е„е — хх. (ЗА8) Здесь, как обычно в.теории малых деформаций, мы пренебрегли квадратами и произведениями малых величин е и хх.
Формула (3,48) естественно совпадает с первой формулой (3.11) (при х~ = 0) в задаче о растяжении и чистом изгибе цилиндра. Первое слагаемое в ней есть деформация общего растяжения стержня, а второе — деформация изгиба. При отсутствии общего растяжения (е =- 0) имеется нейтральная поверхность х = О, по обе стороны от которой волокна соответственно растягиваются и сжимаются. По статической гипотезе Крихгоффа вместо обш-й формулы Ее„= о„— то„— то„» имеем формулу о„= Ее„=Е(е — хх), аналогичную (3.10).
Так же как и в 9 29, формулами (3.18) (в которых х~ = х, х»=у) вводим перерезывающую и продольную силы и изгибающие моменты в поперечных сечениях стержня (крутящий момент отсутствует) относительно их главных центральных осей инерции и получаем формулы (3.12), которые перепишем в новых обозначениях таю в —, х=, г, м ЕЯ' ' Е1' (3.49) Здесь Т» — — Т~ — продольная сила, М»= М-изгибающий момент, 1» = 1 — момент инерции сечения'относительно оси х» = у (главной оси инерции), х| = О, х» = х — кривизна упругой линии.
Перерезывающая сила Т, = Т„направлена по нормали и, а Т» = О. Второе уравнение (3.49) называют уравнением упругой линии стержня, поскольку знание кривизны х(з) определяет ее с точностью до движения в плоскости. Таким образом, чтобы найти упругую линию стержня, надо знать момент М(з) в каждом его поперечном сечении.
Выведем уравнения равновесия стержня. Рассмотрим бесконечно малый элемент стержня, ограниченный двумя его сечениями з, э+аз» Равнодействующую массовых сил и сил, ври!за ложенных к боковой поверхности стержня на выделенном участке, обозначим через р(я)йя, а момент этих сил относи-. тельно начала я упругой линии — через т(я)йя; р(я) и ш(я) есть, таким образом, линейные плотности- внешних сил и мо- ' ментов. Указанные внешние силы должны находиться в равновесии с внутренрими силами и моментами в поперечных сечениях стержня. На конце я это будет сила — Т(я) и момент ' — М(я), а на конце я+ ая сила Т(я+ ая) ж Т(я)+(йТ/йя)ая и момент М(я+йя) жМ(я)+(ЙМ/йя)йя (рис.
1.( ) г(з»яз) 23). Ь) з9)яз Складывая все силы, получаем м(з вз) условие равновесия сил -и з) — Т (я) + Т (я + йз) + р(я) Ия = О, г9) г(з.из) а беря моменты относительно точки г(я) на упругой линии, получаем условие равновесия моментов — М(я)+ М(я+ йя)+ Рис. 23. + (г(я+ Ь) — г(з))Х Х Т(я+ йя) + зп (я) йя=О. Сохраняя в этих равенствах лцшь малые первого порядка относительно йя и учитывая, что г(я+ йя) — г(я) ж 1(я)йя, по. лучаем следующие уравнения равновесия стержни; + р =0 — +1Х Т+ ш =О. гт Аи (3.501 В рассматриваемом нами плоском случае Т Т„п+Тз1=Т„1+Т,Ы, М М), так что сила р должна лежать в плоскости хг, а момент ш быть ортогональным к этой плоскости.
Обычно моменты т(я) малы и ими пренебрегают. Таким образом, для решения задачи о плоском изгибе стержня имеем: уравнения равновесия (3.50), эквивалентные трем скалярным уравнениям, и геометрические уравнения (3.44) и (3.45)з, в последнем уравнении кривизна определяется по формуле (3.49)з, Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет шестой парядок, н ее общее решение будет содержать шесть произвольных постоянных.
Последние должны быть определены из граничных условий, по три условия на каждом иэ концов стержня. Эти условия могут быть кинематическими (геометрическими), состоящими в задании положения конца стержня и угла поворота, его концевого сечения, и статическими, при которых задаются сила и момент, лей* ствующие иа конце стержня (точнее в концевом поперечном се- чепци). -Укажем наиболее употребительные варианты граничных условий: а) заделанный конец (я = 0): х (О) = О, х (0) = О, 9 (0) = 0; б) шарнирно-олертый.конец (я = 0): х(0)=0, х(0)=0, М(0) 0; в) нагруженный конец (я = 1): з ' з Т вЂ” Т» Т» Т»~ М М в частности на свободном конце Т =О, Т,=О; М= О.
При сильном изгибе стержня малым растяжением его оси обычно пренебрегают и отождествляют я с 2 (см. формулу (3.46) ). Ввиду нелинейности уравнений сильного изгиба к ним неприменим принцип наложения решений, а зависимость перемещений от действуюших сил нелинейна.
В общем случае не имеет места теорема единственности решения. В качестве примера рассмотрим задачу об изгибе стержня продольной . З силой. 1 Конец стержня я = 0 заделан. На другом конце я = 1 действует сила 1зие 24. — Рй направлецная вдоль оси недеформированного стержня. Предположим, что наряду с прямолинейной формой равновесия возможна другая, изгибная форма равновесия стержня (рис. 24). Граничные условия на правом конце такие: Т(1) = — Рк, М=Е! — ~1 =О.
(3.51) гв вз»! При отсутствии погонной нагрузки (р(я)= О, т(з) 0) из первого уравнения равновесия (3.50) и первого условия (3.51) имеем Т()= — Рй. Уравнение моментав после подстановки в него (3.49), (3.45) и найденной силы Т дает гзз Р— + — эзп9 = 0. гз Пг Первый интеграл этого уравнения г: гз з 2Р ~ — ) — ву сов 9 =сопа1. 141 Пусть, 0 (!) = Оо. По второму граничному условию (3.51) йвгаз|, ~ =.0 и предыдущий интеграл запишется в виде ( )- Лв Хе' 2Р— ) = — (сов Π— созв,).
в5 Е! Отсюда находим ,=~/:~ е Е! ( ив 2Р ) ~/сорэ — сорэо (3.52) так как О = 0 при з = О. Это равенство определяет О как неявную функцию з. Постоянную О, определяем нз условия з(Оо) = 1: = Я~ зв Заменяя переменную 0 на ср по формуле в . в. .е!и — = з(п — з!и ~р 2 " . 2 (что возможно ввиду О ~ Оо) и представляя разность косину- сов под радикалом в виде созΠ— сов О, = 2 (з!и' — ' — з!п' — ) ! 8 - . В 2)! преобразуем полученное уравнение в выражение следующего вида: Т- ~' д ~/1 — Мпр — Мире в 2 (3.53) Правая часть уравнения есть полный эллиптический интеграл первого рода. Параметрические уравнения упругой линии х(0), г(0) определяются интегрированием уравнений (3.44) при условиях х(0) = г(0) = 0 с учком зависимости (3.52).
Обратимся к уравнению (3.53), определяющему Оо через Р. Так как подынтегральное' выражение не меньше единицы, величина интеграла не может быть меньше, чем и!2. Поэтому для того чтобы уравнение (3.53) имело отличный от нуля корень Оо, т. е. чтобы изогнутая форма равновесия стержня была возможна, должно выполняться неравенство Р ° пеЕ!у4Р. При невыполнении этого условия возможна только прямолинейная форма равновесия стержня.
Сила ' пск! Ркр = называется 'эйлеровой критической силой. Если Р ( Р„, то прямолинейная форма равновесия стержня является, устойчивой. Это означает следующее. Приложим к сжатому 'стержню малую возмущающую поперечную силу, которая вызовет в нем малые, прогибы. После снятия этой силы стержень вернется в первоначальное (невозмущенное) состояние прямолинейного равновесия (поскольку при Р ~ Ррр оно единственно возможно). Если же Р) Р„, то выведя указанным способом стержень из (возможного) состояния прямолинейного равновесия и сняв затем возмущающую силу, мы не получим первоначального состояния прямолинейного равновесия стержня, поскольку продольная сила Р способна удержать его в новом изгибном состоянии.
Иначе говоря, прямолинейная форма равновесия стержня при Р ) Ркр является неустойчивой, На практике, разумеется, реализуется лишь устойчивая форма равновесия. При медленном непрерывном возрастании сжимающей силы от значений, меньших Р,'„к значениям, превышающим Р„, стержень теряет устойчивость и начинает изгибаться в плоскости наименьшей изгибной жесткости. При значении, Р = Р„ происходит, как говорят, бифуркация (разветвление, смена форм) равновесия. Слабый изгиб стержней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
