Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 25
Текст из файла (страница 25)
рнс, 21), то пс = (спэйс' з(п Ос) пг = (сов О, — з(пО ), 1Зз Так как'при дифференцировании экспоненцнальный множнтель сохраняется, а граничные условия на плоскости х, =0 должны выполняться пры всех Г ы хо,, то частоть| отраженных волн должны совпадать с частотой падающей 'волны, а ком- поненты — от Мп В йос = с— т — от о~п В йот = ст волновых векторов отраженных волн. (см.
(3.33)) должны совпадать с компонентой й, = — то з!и Оо/сс волнового вектора падающей волны. Отсюда следует о~п В. с. ыпО~= зшйо, ма В Таким образом, угол отраженной продольной волны равенуглу падающей волны,' а угол отраженной. поперечной волны меньше угла падающей волны, ых синусы относятся, как скорости этих волн. Выполняя граничные условия заделки ио+ ис+ ит — — 0 ыа плоскости х, = О, получаем уравнение Аопо+ Апс+ ВеоХпт = = О, из которого определяются амплитуды А н В отраженных волн.
В случае свободной границы по перемещеыню и = по+ + ис+ и, следует вычислить напряжения пы, ам н обратить нх в нуль ыа плоскости х1 = О. Прн нормальном падении продольной волны (Оо — — 0) отраженная волна является чисто продольной (В = 0) с той же амплитудой, но с противоположной -фазой колебания ,т. (А = — Ао). Разбиение волны на две расйространяющнеся с разными скоростями, можно произвести н в общем случае (неплоскнх , волн). Как известно 171, проызвольыое векторное поле можно представить в виде суммы безвнхревого, нли потенциального (ротор которого равен нулю), н вихревого, ылн соленондального (днвергенцня которого равна нулю).
Первое из этих полей можно представить как градиент некоторой скалярной ,;;"'. функции, а второе — как ротор некоторого векторного поли. д.' В соответствии с этим представым вектор перемещения в виде и =йтай<р+гоФор. (3.35) Функция ф(х,1) н ф(х, 1) называются скалярным н векторным потенцналамн соответственно. Представление (3,35) является весьма общим, так как трн искомые функции (крмпоненты вектора -перемещения) выражаются через четыре функции — скалярный потенциал ф н тры компоненты векторного потенциала ф. Поэтому на векторный потенциал ф можно наложить некоторое ограничение. Например, поскольку векторный потенциал определен с точностью до произвольного потенциального' вектора (являющегося градиентом скалярной функции), можно потребовать, чтобы йчер была равна заданной функции, в частности равнялась нулю.
Однако удобнее заранее не накладывать подобных ограничений с тем, чтобы в дальнейшем иметь большую свободу при подчинении решения граничным условиям. Подставляя (3.35) в (3.28), получаем втаб (стаф — дее ) + го1(стбф — д, ) =О. Отсюда видно, что уравнение движения будет удовлетворено, если положить с',ЬР— —,=О, стбф — —,=О.. (3,38) дм Это трехмерные волновые уравнения для скалярного и вектор- ного потенциалов. Волны, определяемые первым из этих уравнений, не сопро- вождаются вращением частиц среды (то1йтабф = 0) и назы- ваются безвихревеиаи, или волнами расширения, вторые же не сопровождаются изменением объема (д)ч го1 ф = 0) и назы- ваются волнами искажения. Если движение происходит параллельно плоскости хь хь то следует положить ф = ф(хь хм т), ф = (О, О, ф (хь хм 1) ).
Тогда вектор перемещения имеет составляющие и, = О, дф дф В о л н ы Р э л е я. На поверхности упругой среды могут возникать волны, подобные гравитационным волнам в жид- кости. Они быстро затухают с изменением глубины. Скорость их распространения меньше скорости поперечных волн. Эти волны, называемые поверхностныжи волнами, или волнами Рэ- лея, имеют важное значеи(се в сейсмологии. Пусть ', граница хе = 0 упругого полупространства х, ) 0 свободна от напряжений, и движение затухает при х,— ~ оо, Предположим, что движение параллельно плоскости х1хс.
Тогда, пользуясь формулами (3.37), волны, бегущие вдоль оси хь можно описать потенциалами ф и ф вида ф = ) (х,) ехР((ест' — йх), ф = 8(хс) ехР1(ее1 — йх,), (3,38) где ее — заданная частота, й — подлежащее определению волно- вое число. По условию затухания функции 7(хе) и д(хе) долж- ны стремиться к нулю при хс-е оо. Подставляя (3.38) в волновые уравнения (3.36), для опре- деления этих функций получаем уравнения = (й йс) 1~ е =(й йт) 8. (3.39) дхз дезе Здесь (3.40) йссь йтст * йс (3.41) Вычисляя по (3.37) перемещения, а затем по (3.1) деформации и напряжения ом, ааь приравниваем последние к нулю на плоскости х, = О.
В результате получаем 2йс ~ ~ А 2Рй й~ йт В=О т 2Рй ~й — й( А + (2й — йт) В = О. Для того чтобы А и В были отличны от нуля, необходимо обратить в нуль определитель приведенной системы. Это дает следующее уравнение' для определения числа й или скорости с: 2й — е ~ 12й — йт) 4й 1/(й — йт)(й — йс) ° т Возводя обе части уравнения в квадрат и раскрывая скобки, в силу (3.40) приведем его к следующему виду: е е е ~ з 8З +8 3 — )з — 1811 — —,1-0, сс ес' е — (3.42) ст Уравнение (3.42) и определяет скорость с поверхностных волн Рэлея.
Для доказательства существования этих волн необходимо в силу условия с ~ с, показать, что зто уравнение имеет вещественный корень в промежутке (0,1). Обозначая'левую Часть (3.42) через 1(Ч) (ц = З'), находим Г(0) ( О, 1(1) = 1, что и доказывает существование корня в указанном промежутке. Вычисляя производную ~'(т1), и силу неравенства (3,32) имеем яет1 з T(ц)=Зц' — 1бч+8 3 — —, =вЗт)'-1бт)+18>О ес причем последнее соотношение устанавливает связь между волновым числом й и скоростью поверхностной волны с. Как следует из уравнений (3.39), функции 1 и а экспоненциальные. Для того чтобы они стремились к нулю при хе-~оо, необходимо, чтобы выполнялось соотношение й ) йт или, что то же самое, с ( ст Если это условие выполнено, то потенциалы (3.38), затухающие при хе-~ оо, имеют вид ф А ехр (1 (ест — йх,) — ~/й' — йс.
4, ф Вехр~с'(вт — йх,) — ~ й' — йт хД. в промежутке (0,.1). Следовательно;, уравнение (3.42) имеет в этом промежутке ' лишь одни корень. Этот корень зависит лишь от отношения сг/сы нли,' что то же самое, от коэффис циента Пуассона ч среды. Прн, изменении последнего в пределах 0 ( ч л- 0,5 отношение скорости поверхностных волн и скорости поперечных воли меняется в пределах 0,374:ь' ,с)сг С ~ 0,955, причем оно возрастает вместе с увеличением ч. Скорость поверхностных волн не зависит от частоты. с». Из (3,41) и (3.40) видим, что поверхностные волны с возрастанием глубины исчезают тем быстрее, чем больше их частота.
При этом волны расширения исчезают с глубиной быстрее воли искажения, $ ЗЗ. НЗГНБ СТЕРЖНЕЙ Задача об изгибе тонкого стержня имеет важное теоретическое и прикладное значение. Она позволяет на простых примерах рассмотреть «нелинейные эффекты» в механике упругих тел и оценить их значение в более сложных случаях деформнрования тонких пластинок и оболочек.
На примере устойчивости сжатого стержня она дает введение в обсцую теорию устойчивости упругих конструкций, чрезвычайно важную в современной технике. Теория малых упругих колебаниИ непрерывных 'систем находит свое наиболее простое выражение в колебаниях стержней (продольных и поперечных). Практяческая важность задачи об изгибе стержня обусловливается широким применением стержней и стержневых систем в качестве элементов конструкций и сооружений. Ниже излагаются элементы теории из нба первоначально прямого стержня.
Под прямым стержнем понимают цилиндрическое тело, длина которого велика по сравнению с его поперечными размерамн. При этом оба характерных линейных размера поперечного сечения стержня предполагаются величинами одного порядка. Характерным для тонких стержней является их споаобность претерпевать сильный изгиб при малых (упругих) деформациях. Под сильным изгибом понимается такая деформация стержня, при которой относительные перемещения его точек, расстояния между которыми до,деформации велики по сравнению с поперечными размерами стержня, сравнимы с этими расстояниями.
В то же время, очевидно, относительные пере. мещения точек, расстояния между которыми до дефорь(ации на превышают поперечных размеров стержня, должны оставаться, малыми. Такй)ч образом, задача о сильном изгибе стержня в целом будет геометрически нелинейной (перемещения и повороты велики). Если же разбить стержень вдоль его длины поперйчными сечениями на достаточно малые участки, длина каждого из которых не превышает размеров сечения, то дефор. мацию каждого такого участка в отдельности можно рассматривать с позиций геометрически линейной теории упругости. Пусть хс — — х, хз —— у, хз —— г — декартова прямоугольная система координат с ортами ес —— .1, ез ), ез =.
(с. Ось г совпадает с иедеформированной осью стержня, за которую примем линию центров инерции его поперечных сечений, 'а осн х, у направлены по главным центральным осям инерции поперечного сечения. Пусть, далее, з отсчитывает расстояние вдоль упругой'линии стержня. Так называют пространственную кривую, в которую в результате деформации переходит 6 первоначально прямолинейная ось ) к з стержня: Вудем предполагать, что стер- т жень изгибается в одной из главных плоскоссей изгиба (см. 0 29); Рис.
22. примем ее за плоскость хг. Это означает, что упругая линия стержня лежит в этой плоскости. Задав ее радиус-вектор Г (з) = х (3) 1 + г (3) К определим единичные векторы касательной 1 и нормали и к упругой линии (рис. 22) 1=соз01с+ з!п91, 'и= — з!п01с+соз01, (3.43) где 0 — угол между й и 1, отсчитываемый в положительном направлении. Касательная определяется как производная по з от г(з): лг лх лх 1= — = — 1+ — к, лз лз лх так что лх лх — = соз 9, — = зсп 0.
лх ' лх (3.44) М, сьс ' Дифференцируя 1 по з, получаем ш 'лв — = хп, к= —, лх лх (3.45) и — кривизна упругой линии, которая, как принято в теории плоских кривых, может быть как положительной, так и отри. цательной. Задание кривизны плоской кривой как функции длины дугй и = 7(з) определяет эту кривую с точностью до движения в плоскости и называется'%атуральным уравнением кривой.
В самом деле, из (3.45) по заданной кривизне находим 9(з) с точностью до постоянной Ос, а затем из уравнений (3.44) определяем х)з) и г(з) с Точностью до постоянных хй га. Угол 9, оп. ределяет произвольное вращение кривой в ее плоскости, а х», х» — ее поступательное перемещение. В основе приближенной теории изгиба стержней лежат следующие предположения (гипотезы). Первое (называемое еипогезой плоских сечений) гласит: поперечные речения стержня после деформации остаются плоскими и перпендикулярными к его упругой линии (точнее, к его материальным продольным волокнам).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
