Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Изгиб стержня будем называть слабым, если угол поворота О пренебрежимо мал по сравнению с единицей. Введем вектор перемещения точек оси стержня и(2)]-!- +!в(г)к и подставим в (3.44) х и, г = 2+ге. Учитывая (3.46), имеем 1 1 '~ =(1 1-е)созв, лй =(1+е)з!пО. (3.54) В случае слабого изгиба з(п О О, сов О ж 1 — О'!2 и из предыдущих формул и второй формулы (3.45) с точностью до пренебрежения е по сравнению с единицей получаем ли лси лес ' (3.55) Уравнение изогнутой оси (3.49) принимает следуюгдий вид; ври М (3.56) Обратимся к уравнениям равновесия, (3.50). Моментом т будем пренебрегать, а погонную внешнюю нагрузку будем считать направленной по оси х(р = р!), Перейдем в (3.50) к дифференцированию по г, выразим (1+ е)1 по формулам (343) и (3.54) и пренебрежем с(в/аг по сравнению с единицей.
В- ре- зультате получим следующие уравнения: — +р=О, — =О, лг» лго (3,57) м — Т вЂ” + Т„=О. лв о лг Нагрузку р следует относить здесь.к единице длины иедефор- мированного стержня, что, однако, несущественно. Ввиду малости угла О продольная сила Т, (Т„1+Т,Ь) 1 Т„в(пО+Т,совб = Т„ в то же время в выражении для перерезывающей силы. Т„=Т.п Т„совО-Т,в(п8 = ҄— Т,,— „ Ли вторым слагаемым в последней части равенства пренебречь нельзя, так как сила Т, может оказаться большой. В дальнейшем материальную координату й будем обозна- чать г. Впрочем, из равенства аг/Л = 1+ с(и//дг видим, что с(г/аг отличается от единицы на слагаемые порядка удлинения и квадрата поворота (см.
формулу (3.55)). По этой же причине о форме слабо изогнутого стержня можно судить по его про- гибу и(г). Если иа одном из концов стержня (г = 0 или г =1) про- дольная сила Т, равна пулю, то в силу второго уравнения (3.67) она равна нулю всюду и оставшиеся 'уравнения (3.56), (3.57) образуют линейную систему четвертого порядка, из ко- торой определяются поперечная сила Т„момент М и прогиб и: Если же, например, концы стержня не могут сближаться (сэ(1) — в(0) = 0), то продольная сида Тс Т, возникает в ре- зультате самого изгиба, сопровождающегося общим растяже- нием стержня, и не может быть определена заранее. Для ее определения необходимо привлечь уравнение (3,55), интегрируя которое при условии и/(1) — ш(0)= 0 и выражая в по формуле (3.49), получаем с (3.58) о Определ)ов прогиб из системы (3.86), (3.57), в последнем урав- , нении которой Т, является неизвестным параметром, и подста- вив его в равенство (3.58), получим нелинейное алгебраическое уравцение для определения Т,.
Посмотрим, в каком случае средним членом в уравнении (3.57), можно пренебречь. Из (3.56) и (3.58) имеем следую- 'щие порядки для момента и продольной силы: Е/'6 Е86» М - — „, Т.--,т-, где 8=порядок величины прогиба и, Следовательно, порядкп Р(1 го) 0<а<го ! го — Р— го <г<1' Р(1 — ~') г> Оч,г~гов — Рго (»1 — Т) го ~ г Яч 1.
твенно Е!б/Р ' 'первого и второго членов 'в (3.57), будут соответс членом в по.й Е55»/1». Сравнивая 'их, получаем„ что средним чле едием уравнении (3.57) можно пренебречь, если 8' много 7/5 Ь', где Ь вЂ” характерный размер сечения стержня, Таким образом, при прогибах, малых по р чнымн размерами стержня, влиянием продольной вилы иа го изгиб можно пренебречь. В (Этом случае говорят об изгибе 'балки. .;:;.
' Если на балку в точке го дейЬтвует сосредоточенная сила Р, га соответствующую ей погонную / ',нагрузку можно задать равен;Фтвом р(г) = Рб(г — го), где Рис. 26, ,.8(г — го) — так называемая .Ь-функция дарана»о о щ ( б б еииая функция), определяемая усло;Ънем (1(г)' — произвольная непрерывная функция) ( 0 при го<а, или го) Ь, 1 7(~) «Ь Ф К этому определению можно прийти предельным переходом Ь О, сматривая ступенчатую функцию 5» г — го, равю 1,/2Ь в промежутке (го — Ь, го+ Ь) и ра у У и азию нлю вне , Э ф цня аппраксимирует единичную со,'этого промежутка. та ч унк ередоточениую у, р ю сил, п иложенную в точке го. б балки (продольная сила Рассмотрим двэ примера на изги алки и ио опе тая на концах балка длиной 1 изгибается 'Х авиа и лю, Т,= Т).
,еило, ( ис. 25). Последовательно ,силой Р, приложенной в точке го рис. :,интегрируя уравнения (3.57), получаем О'1,» ( Т,, 0(г <го, Т=То — Р ~ б(г — го)с(г=~ у' о, о й 0 пстоянные о, о о Т, М определяем из граничных условий ( ) М (1) = 0: М, = О, Т 1'= Р (1 — го). Окончательно- и мее м Прогиб и определяется из уравнения (3.56) и граничных услбвий и(0) = и(1) = О. Отметим, что все искомые величины непрерывны, кроме Т, претерпевающей скачок в точке го, равный — Р.
Опасным (в смысле прочности балки) является сечение г= го, в котором момент М (а значит и напряжение и„) достигает наиболыпего значения. Рассмотренный случай является примером статически определимой задачи, в которой сила и момент находятся из одних а лишь условий равновесия системы. б) Балка длиной 21 заделана на одном конце, нагружена силой Р на другом и шарнирно оперта в середине (рис.
26). Реакция опоры в середине балки делает систему статически неопределимой, поскольку и без нее балка находилась бы в' равновесии. Пусть То — подлежащая определению сила реакции опоры в точке г =. 1. Тогда Р(г) = уоб(г — 1). Интегрируя уравнения равновесия при граничных условиях Т(21) = Р, М(21) = О, получаем Р + То 0~(г (1 Р, 1 <г(21; (21 г)+ Ео(1 г) О~г(1 Р(21 — г), 1(г(21. Интегрируя уравнение (3.56) при условиях и<,=о — — О, о(и/о(г(,=о = О, имеем ли ! Рг(41 — г)+Т,г(2Š— г), 0(г(1, 2ЕŠ— = $ гг $ Рг(41 — г)+ ТоЕг, 1(г (~2Е; 6ЕЕи = Рг'(61 — г)+ Того(ЗŠ— г), О ~(г (1, Рг'(61 — г)+ Тор(3г — 1) 1(~г(» 21.
При интегрировании учтено, что все величины кроме Т должны быть непрерывны в точке г = Из условия и(1)= 0 находим реакцию опоры Т, = — 5РЕ2, Реакция заделки на левом конце определяется силой — Т(0)= = 3Р/2 и моментом — М(0) = РЕ<2. Наибольшее значение момента достигается в точке опоры М(1) = РЕ. Устойчивость сжатого стержня. Явление потери устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стерж- ня обсуждалось выше на основе нелинейных уравнений сильного изгиба стержней. Здесь' же будет показано, что нахождение критических сил, при которых прямолинейная форма равновесия. перестает быть единственно возможной и становится неустойчивой, возможно при помощи уравнений слабого изгиба. Пусть на правом конце стержня г = 1 действует сжимающая продольная сила — Р.
Иятегрируя уравнения (3.57) (р(г)= О), получаем Тг=Т=сопз(, Т, — Р, М(г)+Ри(г)+Та= Мо„ после чего формула (3.56) приводит к дифференциальному уравнению гоо о Мо — Тг о Р— +аи= ого, Е! ' ЕЕ а = —. (3.60) !47 На концах стержня должны быть поставлены граничные условия, Возможны, например, следующие способы закрепления концов: а) обз конца заделаны (и' = оЕи/о(г): и (0).= и (1) = О, и'(0) = и'(1) = 0; б) конец г = 0 заделан, а конец г = 1 свободно смещается вдоль оси х, но его поворот исключен: и(0)= О, и'(0)= О, и'(1)= О, Т 0; в) один конец заделан, другой свободен: и (0) = О, и'(0) = О,' М(1) = О, Т = 0; г) один конец йаделан, а другой закреплен в шарнире: и(0)'=О, и'(0)=0, и(1)=0, М(1)=0; д) оба конца в шарнирных опорах: и(0)=и(1)='О, М(0)=М(1)=0.
Во всех этих случаях мы имеем однородную задачу, имеющую тривиальное решение и(г) = О, соответствующее прямо,яинейной форме равновесия сжатого стержня. Отыскание изгиб', ных форм равновесия приводит к следующей задаче о собствен.' ных значениях; найти такие значения Р (собственные значения задачи), при которых уравнение (3.60) при однородных граничных условиях а) — д) имеет отличные от нуля решения (собственные функции задачи). Решим задачу при условиях в). Общее решение уравнения (3.60) (при Т = 0) имеет вид и=Асозаг+Вз)паг+ —.
Мо Р ,Подчиняя его условиям и(0) = и'(0) = О, находим МоЕР— А, В=О, Последнее условие М(1)=0 (равносильное и"(1) 0) приводит к равенству А совах(= О, При А = 0 мы получаем тривиальную форму равновесия и=0. Позтому следует положнть'сова! = О. Это уравненне для определенця собственных зиаченнй задачи. Его корням а,! = (2п — '1)и/2 (и = 1, 2, ...) отвечают значения нагрузки Рл (2 — 1)в о Ег н формы прогиба и„(г)=А(сова,г — 1), Разумеется, практическое значение имеет лишь наименьшая первая критическая зйлерова сила Р„ которая совпадает с найденной ранее по нелинейной теории. Отметим, что амплитуда прогиба А остается неопределенной, уравнения слабого изгиба не описывают закри. тнческую деформацию стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
