Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 21
Текст из файла (страница 21)
:;,' Эта плоскость называется нейтральной, поскольку относитель- ,,'«', ные удлинения гзз = †«зх! на ней равны нулю; онз перпеиди. ,:,"кулярна плоскости изгиба. Продольные волокна, находившиеся '",« на плоскостях, параллельных нейтральной плоскости по одну ; сторону от нее, растягиваются, а по другую сжимаются прапор- « 'цнонально своему расстоянию ~х«~ от нейтральной плоскости. Как видно из последней формулы (3.12), кривизна иейтраль- ,:(аых волокон кз пропорциональна изгибающему моменту (закон ;„.5ернулли — Эйлера), величина Е(з называется изгйб«цзй жееткостью цилиндра. г' , .Все сказанное без-изменений переносится на изгиб момен- 4«:,том Мь который будет происходить в плоскости хзхз.
Плоскости, содержащие ось цилиндра (линию центров инер- акции его поперечных сечений) и одну нз главных осей тензора '"'~;инерции его поперечного сечения, называются глаенылзы пло- ' '-скостями изгиба. Из вышеизложенного видно, что изгибающий момент, век- ,; вор которого перпендикулярен главной плоскости изгиба, вы; :"'выкает изгиб в этой же плоскости. В общем случае это уже не :: будет иметь место. Нейтральная плоскость согласно (3.11) оп- , ределяется уравнением — нзх«,'- з««хз О, а ил="'.кость изгиба, г,', как нетрудно показать, перйендйкулярна вектору н«е«+нзез. !13 Последний, как видно из формул (3.!2), не коллннеарен с вектором изгибающего момента,' если !з не равен Тз, что означает несовпадение плоскости'изгиба с плоскостью действия момента.
й ЗО. КРУЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА Как видно из равенства 1 Г дьз да1~ ьзз — — -~ — — — ) =тхз> 2 ~д», д»з) постоянная величина т есть поворот, отнесенный к единице дляны цилиндра, так называемая кругка. ф(хь х,) называют функцией кручения Сея-Венака. Она характеризует деаланацию поперечных сечений цилиндра, т. е. их выход из плоскости. Вычисляя по формулам (3.1.) деформации и напряжения, отвечающие перемещеняям (3.13), убеждаемря, что все они равны нулю, кроме следующих ам 2Ием рт ~ — — х,), а„= 2!»езз — — !зт ~ — + х,) .
(3.14) ~д», ) ~д». Первые два уравнения равновесия (3.1) тождественно выпол- няются, а третье приводит к следующему уравнению для опре- деления фуниции ф; бф=О, где Ь вЂ двумерн оператор Лапласа. Граничные условия (3.7) на боковой поверхности цилиндра сводятся к одному: (3.!6) хзаз »1пз. д (3,16) Здесь дТда = азд(д»1+ пзд/дхз — 'производная по внешней нормали к контуру Т.
поперечного сечения цилиндра. Таким образом, задача о кручении цилиндра сведена к нахождению функции ф(хь хз), которая в области поперечного сечения цилиндра должна быть гармонической, т. е. удовлетворить уравнению Лапласа (3.!6), а на границе втой области удовлетворять граничному условию (3.16). Задача об отыскании гармонической в области функции, нормальная производная которой на границе области принимает заданные значения, называется задачей. 1з'еймана, Приступая к сформулированной в начале предыдущего па'раграфа задаче о кручении йилиндра, предположим, что иаждое его поперечное сечение испытывает жесткий поворот н своей плоскости, пропорциональный расстоянию от левого торца хз = 0; и продольные перемещения из, не зависягцие от хз, и, — тхзхз, и, = тх1х„из — — хр(хо хз).
(3.13) .. Для полцого решения задачи остается проверить'условия из ' ца!Г н связать крутку т с крутящим моментом. Из равенств :, 3.8) видим, что 'продольная сила н изгибающие моменты равны лю--(поскольку азз = 0). Напряжения ази азз, а значит, и.перерезывающие силы Ть э, не зависят от хз. Бели бы последние оказались не равными лю, 'то это означало бы, что цилиндр нагружен по торцам 'авными н противоположно направленнйми силами, создаюми пару, и, следовательно, не может находиться в равиове" и.зПоследнее, однако, невозможно, так как решение уравненй равновесия необходимо приводит к самоуравновешенной Иснстеме напряжений на границе упругого тела. Таким образом, .;Т,=т =О.
Подставив напряжения (3.14) в последнюю формулу (3;8), ';.определим зависимость между крутящим моментом и круткой Мз = !»С» С-~~(х',+хз — х,— ~-+х,~~) йх,йхз. ,","~.';: Величина !»С называется жесткостью цилиндра яа кручение. "~Очевидно, функция кручения ф, а значит, и постоянная С зави„."еят только от формы и размеров поперечного сечения цилиндра. Определив функцию кручения ф и задав крутящий момент, :",.Иы определяем тем самым величину крутки т, что и решает за'"дачу кручения цилиндра. :.! Определим потенциальную энергию части цилиндра ограни- нного торцом х, = 0 и другим сечением хз.
По теореме Клайона (см. (3.6)) 'она равна половине работы всех-внешних л, приложенных к поверхности выделенной части цилиндра. а боковой поверхности цилиндра силы отсутствуют. На торце 0 и~ = из = О, так что работа напряжений на этом торце няня нулю. Остается определить работу напряжений азь азз ~раесматриваемом сечении хз. Она вследствие (3,13), (3.14) ;*'!а,'.(3:! 7) равна ф";* ~ ~ (а„а, + аз»аз) йх, а»з = ИСХ'хз. я эту величину на хз/2, получаем энергию на единицу длины ядра П !»Стз!2. (3.18) кольку энергия ие отрицательна, С ) О. ,.',;!,: Иногда вместо функции кручения ф' удобнее отыскивать ;ффугую функцию т, связанную с первой соотношениями $ь) ' а», = д» Х" 3» д», +Хм 34 ыз Согласно (ЗЛ4) напряжения через функцию )( (называемузо Фуил«ьиай напряжений «7 раидтяя) будут -выражаться формулами д» . оз« "=Рт озз Рт „° (3 20) дхз их~ Прн этом третье уравнение равновесия удовлетворяется тождественно., Исключая из (3.19) «р, получим уравнение, которому должна 'удовлетворять функция у ' Л)! — 2.
(3.21) Напряжения (3.20) можно выразить в составляющих по нормали и и касательной 1 к контуру «. поперечного сечения цилиндра (рис. 19) оз, = РтдХ/дз, оз« = †!«»дХ/дл, где «1/дл н д/дз — производные по направлениям п и 1 соответственно (з — длина дуги Ц. На боковой поверхности цилиндра по условию (3.7) охз = О, откуда получаем граничное условие для функции » д3-~,-О. (3.22) Рне !Я. Заметим еще, что вдоль линии уровня функции напряжений (у. = сопз1) дХ/дз= 0 и, следовательно, напряжения оз направлены по касатель'- ным к линиям уровня, одной из которых является граница 1.. Граничное условие (3.22) показывает, что в случае многосвязной области (цилиндр с продольными полостями) функция у должна быть постоянной на каждом из замкнутых контуров, составляющих всю границу 1.
сечения цилиндра. На одном из этих контуров значение у может быть выбрано произвольно (поскольку у определена с точностью до аддитивной постоянной), на остальных эти постоянные значения должны быть вы' браны из условия однозначности функции кручения ф, определяемой из уравнений (3.19). Из (3.14) и -(3.15) видим, что компоненты напряжения являются гармоническими функциями. Известно, что гармоническая функция достигает своего наибольшего .значения на границе области. Покажем, что этим свойством обладает и величина касательного напряжения !оз!.
Предположим, что это не так, т. е. что !оз! достигает наибольшего значения в некоторой точке Р внутри области попе- ного сечения цилиндра. Взяв декартову систему координат осью хь направленной тдк же, иак н вектор нз в точке Р, и ' означив через о«з, и о' компоненты нз в этой системе, получим зз',я,(о'„+а')'ь 1нз~~)пьер пз«(р,так как в точке Р им=О. аким образом, о,'„будучи гармонической функцией, принимает ,свое наибольшее значение во в)«утренней точке'Р, области. Но :это 'противоречит свойству максимума гармонической функции; 'ято и,доказывает высказанное выше утвержденна.
В качестве примера решим задачу о кручении цилиндра ,:эллиптического сечения. Область сечения задается неравенст' вом "-г+ ьъ-4 1 (О <Ь <а). хз ., Функцию напряжений можно определить в виде -АЬ+ У) ; 'Поскольку у)х А, граничное условие (3.22) удовлетворяется. '. подставляя » в уравнение (3.21), находим а«Ь' ' аз+ Ь1 ' :: Функция кручения, как нетрудно проверить по (3.19), будет , равна Ь' — а' «р -з+ гт. х«хз, !',По формулам (3.14) или (3.20) находим напряжения 'а« ь оз« = — 21«т +, хг азз 2Р» .7+ р- х«. ' Величина касательного напряжения равна /.з .з /'х~«хз ~, ~ - ~9 хч, = 2 ю ~ х ~ ''» —, -1- На границе «.
она принимает вид ! нз ! = 2!«! »А ! — т / 1 + —, взх,' ~аз 1 — -г ) . а Наибольшее значение касательное напряжение принимает в концах малой осн эллипса хз — ~(«, оно равно азЬ 2" !т! Зь+ь~' Жесткость на кручение равна ззазь' РС=Р—,,+ Ь-. И7 При в Ь=Я получаем.решение задапг кручения:ци- линдра', кругового .сечения., Квсательньге) напряжения; равные Итг, будут направленм вдоль концентрических.окружностей хз+ хз г' (ге~Я), а жесткость иа кручение будет равиа -ря)1з. Крутка определяется через крутящий момент фор'мулой 1 я., Мз .ВЫз РС ЯМ'' Измеряя в опыте крутку при ваданиом Мз, можно определить модуль сдвига.!з материала. В экспериментах на кручение обычно используют, трубки кольцевого сечении с малой толщиной, стенки. Распределение напряжений остается прежним, а жесткость на кручение, как нетрудно вычислить, будет равна Ис 1 я!з Ив (Р— Ь)4), где Я вЂ” внешний радиус трубки, Ь вЂ” толщина стенки.
Если толщина стенки мала (А С!г), то !зС ж 2я!зЯЬЬ, а напряжение !ез~ = !зтг можно считать постоанным, !ез~ж )зт!с. Дла кРУгового сечения из = тф = О, т. е. депланация отсутствует. й В1. РАВНОВЕСИЕ ПОЛОГО ШАРА И ПОЛОГО ЦИЛИНДРА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО И ИАРУЖНОГО ДАВЛЕНИЙ Полый швр с внутренним радиусом Я! 'и Внешним Яв подвержен действию внутреннего давления р! и наружного давле- Х ния рз. Введем сферические координаты г, 6, ф (рис. 20) с полюсом в центре шара х,= гв!пйсовф, хзи=г в1пйв!пф, х, гсовй ®~г~Я„Оч 6(я, 0 < ф < 2я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
