Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Четыре произвольные постоянные позволяют удовлетворять двум граничным условиям на краях кольцевой пластинки )го( г,, 14. В случае сплошной пластинки с радиусом 11 постоянную с необходимо положить равной нулю ввиду конечности прогиба в центре (г = 0). Рассмотрим примеры на изгиб сплошных круглых пластинок., а) Равномерно нагруженная, заделанная по краю пластинка. Постоянная Ь в (3.146) должна быть положена равной нулю из условия конечности перерезывающей силы в центре пластинки. Постоянные а н во находятся из граничных условий заделки в 1, =о(в/огг !, „*О.
В результате получаем прогиб пластинки в с яо го)о 6411 164 Сравним оба решения. Во втором случае прогибы больше, , чем в первом. Изгибающий момент при шарнирном опирании , достигает своего наибольшего значения в центре пластинки М„= — (3+»)р)г'/16, он больше максимального момента в , заделанной пластинке М„= — раз/8, имеющего место на крае. в) Пластинка с сосредоточенной силой в центре. Пусть р = О, а к центру пластинки приложена вертикальная сосредоточенная сила /. Она уравновешивается распределенными ":. на контуре пластинки перерезывающими силами !»'„так что ': 2я)г№ + / = О. Вычисляя № по (3.145) и (3.146), находим № — 414Ь/г и, следовательно, Ь = //8п0.
Постоянные во и а ' определяются, как и Выше, из граничных условий на контуре ,. пластинки г = Я. При заделанном крае (в = О, ав/4(г= 0) по., лучаем а при шарнирно опертом крае (в = О, М„ = 0) Если пластинка в горизонтальном положении подвешена в. " центре, то постоянные в (3.146) определяются из условий свободного края М„ = О, № = 0 при г = Я и условия отсутствия прогиба в центре в(0)=0. Нагрузка р = — 2йра есть вес пластинки на единицу ее площади. Подчиняя решение указанным . условиям, получаем в= — го (го+ 8Я !п — + 2 — Я ). р г о Я 3+» 1+» Вычисляя перерезывающую силу, находим № = р(Яо — го)/2г.
Ее неограниченность при г-о.О объясняется тем, что в центре пластинки приложена сосредоточенная сила, равная Вгп 2пгМ„ ~.оо уравновешивающая вес пластинки.. В качестве примера решения задачи по нелинейной теории рассмотрим изгиб прямоугольной пластинки (О «= х! ~ а, 0 < ( х, ( Ь) при равномерно распределенной нагрузке р, 16$ Зададим следующие граничные условия на кромках пла- стинки: и! 1„...
и21, „=0, ~42), „-,, „, .=0, (3.!47)! а4!х, -о, а; х,-о, ь=0 Мп!х,-о а=Мп!х,.а, ь=0 (3147)' Условия.(3.147) ! означают, что противоположные кромки не мо- гут сближаться и что отсутствуют силы трения в горизонталь- ном направлении между кромками и опорными устройствами, (3.147)2 есть условия шарнирного опирания. Ввиду нелинейности задачи не представляется возможным найти ее точное решение. Для нахождения приближенного ре- шения воспользуемся варнацнонным методом, основанным на принципе возможных перемещений, Для этого аппраксимируем прогиб одним первым членом двойного тригонометрического ряда (3.140) п4 = п4О в1п — ' в!п — ', (3.148) удовлетворив тем самым условиям (3.147) 2.
Здесь и!2 — пбстоян- ная, подлежащая определению. Подставляя (3.!48) в уравнение (3.136) и переходя в триго- нометрических функциях к удвоенному аргументу, получаем Емок 4 2ах! 2 4 2ахг '1 ЛЛ (7 = —,, ! соз + соз 2агЬО ~ а ь )' Решение этого уравнения берем в следующем виде: О 4 ! 4 2 (7 = —,, ! а' сов — + Ь4 сов — ) + А,х', + А х', где А, и Аг — постоянные. Отсюда находим Т42'= 0„ дги Елп а4о 2ахг Тп =2Ь вЂ” 2=4ЙА2 — —,' соз — ', д 2 4а Ь д~11 Еьа а!о 2ах! Тгг — — 26 — 2 = 4ЬА! — соз —. дхг! 4Ь2 Граничное 'условие для Тм, (3.147), выполнено.
Подставив про- гиб (3.148) и найденные значения сил Тц в (3.117) и вторую формулу (3.114), определим продольные перемещения Г 4 „гмг -1 и! = 4р! (хг) + ~ — (А, — чА,) — з, ) х, + . о1 гот а!хо! 2 2 2 2пх21 . 2ах! + —,! ча — Ь + Ь сов — ) в1и —, 16аЬО ~ Ь ) а Г1 „2 2 иг — — 4р, (х,) + ( — (А, — А,) — —,' ~ х, + 2 2 мо 2 2 2 2ах! .
2 2 + 1,, 1чЬ вЂ” а +а сов — ! з!ив 1аагЬ ~ а ) где 4р,(хг) и 4рг(х!) — произвольные функции. подчиняя эти пе'ремещения граничным условиям (3.147) 4, имеем 4р! = 4рг 0 32 (1 — ч ) а Ь А, = и Еи!4О4(а, + чЬ ), . 32(1 — ч') а'Ь'А,= и Еп!о(Ь +та ). Таким 'образом, кроме уравнения равновесия (3,138),все осталь:ные уравнения и граничные условия задачи выполнены. Уравнение принципа возможных перемещений (3.131) принимает ;,вследствие этого простой вид а ь ~ ~ ( — 0ббш+Т,ь д + р) бп442х442х2=0. о о Подставляя в него прогиб (3.!48) и найденные значения прочдольных сил и сокращая его на вариацию ба!о, после' простых 'вычислений выводим следующее кубическое уравнение, опре„ деляющее зависимость прогиба центра пластинки п42 от р: +(3+3ьт+4' ьт) ( Ь ) ' (3.149) !87 'Для анализа полученного результата вычислим по формуле ,' (8.116) напряжение оп = о„+ о „: т г 2 т 44! и ЕО42 ) а' 2ихг 2Ь, (1 — ч')а Е Ь' Ь ,. Здесь ог — напряжение общего растяжения пластинки; о!,"— напряжения чистого изгиба.
Йз (3.149) можно видеть, что пока нагрузка р столь мала„ что (аул)4р)Е пренебрежимо мало по сравнению с единицей ' ((а/Ь)4р(Е « 1), прогиб п4о пренебрежимо мал по сравнению .'с й. Следовательно, кубическим относительно прогиба членом : в правой части (3.149) можно пренебречь. В результате полу-- - чаем прогиб, определяемый по линейной теории изгиба первым '1; членом тригонометрического ряда (3.140). Как видно из.послед' них формул, в этом случае о„«о~.
При. (а7И)4р7Е ! праги()Ь ' становится сравнимым с толщиной пластинки..Вторым членпяГ! в правой части (3.149) пренебречь уже нельзя. Как видим, в , этом случае увеличение прогиба с возрастанием нагрузки про-' исходит медленнее, чем при прямой пропорциональной зависимости в линейной теории, что обусловлено появлением-- растягивающих напряжений о„, сравнимых с изгибными напряжениями ом. ' И наконец, при дальнейшем увеличении нагрузки до значения (а/6)'р/Е >)1 прогиб во значительно превосходит 6.
В этом случае, как видно из последних формул, доля напряжений чистого изгиба становится незначительной и пластинка по характеру сопротивления изгибу все больше приближается к мембране. В заключение отметим, что аппроксимация прогибов большим числом членов тригонометрического ряда значительно усложняет вычисления, поскольку вместо одного уравнения- (3.149) имеем систему нелинейных алгебраических уравнений ' для определения искомых коэффициентов ряда. й Зэ. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК Как было сказано в предыдущем параграфе, пластинка, деформируемая лишь продольными силами, приложенными к ее контуру, может находиться в плоском состоянии равновесия.
характеризуемого отсутствием прогибов. В нелинейной' теории пластин в общем случае не имеет места теорема единственности решения. Поэтому наряду с указанной плоской формой равновесия при выполнении некоторых условий может существовать другая, изгибная, форма равновесия с отличными от нуля прогибами. В связи с этим возникает проблема определения критических значений сжимающих пластинку усилий, при которых изгибная форма равновесия становится возможной, Эта задача аналогична ранее рассмотренной задаче об устойчивости прямолинейной формы равновесия сжатого стержня ($ Э5). Пусть пластинка нагружена продольными силами Р, аР~, распределенными по ее границе.
Они принимаются не зависящимися от перемещений и пропорциональны положительному параметру а. Соответствующие этим силаь| и условиям закрепления плоское напряженное состояние пластинки в силу линейности плоской задачи определяется перемещениями аиь аио, ге * о о о о 0 и силами аТО. Предположим, что наряду с рассматриваемым плоским состоянием равновесия существует другое, бесконечно близкое к о о о первому, изгибное состояние равновесия аи~+иь аио+им ге. о о В новом состоянии усилия ТΠ— — аТи+Тп отличаются от прежь а ких на бесконечно малые величины Ти, зависящие от ио ш. о .Прн составлении вертикальных проекций сил Тп можно пренебречь.
Тогда из (3.138) получаем однородное линейное дифференциальное уравнение (3. ГОО) :: которое следует рассматривать при однородных кннематических в=О, д = 0> (3.151) или соответствующих им однородных статических граничных условиях (см. (3.133), (3.125)) ()Ча+ аТаь д ) па + д =О, Мал =0 (3.152) а дхе на контуре Т. пластинки. Мы пришли к задаче о собственных значениях: найти такие значения и (собственные числа задачи), при которых однородная задача (Э.!50) — (3.152) имеет ненулевые решения.
Наименьшее собственное значение а и соответствующая ему нао грузка аРо называются критическими. При достижении внеш'ними силами критических значений плоская форма равновесия пластинки перестает быть устойчивой. В качестве простого примера рассмотрим прямоуголЬную пластинку 0 ( х, ~ а, 0 ~ хр е ' 6 шарнирно опертую по всем четырем кромкам и нагруженную постоянными вдоль кромок х, 0 и х, * а продольными силами — Р, так что Тп!х~-о, а= — Р Тм~а,-о, а; х*-о; ь=Тоо!х,-о, ь =О. Тогдав уравнении (3.150) аТоп = — Р, ТО=Тм=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
