Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Вернемся к случаю.а чь оо, Пусть искомые функции не зависят от г н у. Тогда яоу Ьтз этой системы равенств следует, что каждая из функцйй Ь, Ь„удовлетворяет уравнению доЬ„ВЬ, д'Ь„1 доЬ При ц оо опять получаем, что произвольное возмущение расйространяется вдоль бси х со скоростью .в' с Р В случае о чь оо решение ищем в виде Ь Ь ест*-нв и и Э где в — фиксированное 'вещественное число, а Ь = А!+Ьйоискомое.
В силу уравнения для Ь, получаем во. а — +!— Ф)''Ю Если о велико, то й- — "ч'Рн й+ — ", !1 В„1, ЗеВоо ~ .идеальной электропроводной сжимаемой жидкости, будет иметь ,.гнид рч РР— Чр+Р„Р,=Р,Е+) ХВ, р+рйчч О, с — — „+ч Ч вЂ” „О, д Р Р Рн Р" ди го! Š— З)-, Йч В О, го!Н= )+ дг, б!чР=Ре~ дп Р,ч+о!Е+чХВ), Р оЕ, В=ВН. В магнитогидродинамическом приближении будем иметь до 1 д! .
Р РР +!ч, Ч) ч=р, Чр — — В Х !В. — +Йчр =О, др др ~Е дй +ч'!ЧР кРЧР)=О дг Р д! ~ Р дв ! дВ+(В Ч)ч — гч .Ч)  — Вйч ч, ЙчВ =О. д! Ро Здесь снова волна, только гармоническая, бежит вдоль оси в со скоростью с —, однако имеет место затухание, обусловочоо Ч Р!о ленное мнимой час"ью числа.й. Таким образом, можно доьустить, что при о оо все волнй — произвольное возмущение— бегут с одной и той же скоростью, а при о чь ао каждая волна гармонического типа имеет свою скорость. О последнем случае говорят, что имеет место дисперсия волн. Кроме того, так как ВОЛНа бЕжИт ВДОЛЬ ОСИ г,-.а Ро Ь,=О, тО РаССМатРИВаЕМаЯ- гидромагнитная волна является поперечной.
Заметим также, что в однородной несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, наличие волн обусловлено магнитным полем В,. Перейдем к рассмотрению волновых процессов в сжимаемой идеальной электропроводной жидкости, а именно в совершенном газе, При этом будем исходить из адиабатичности процесса.
В этом случае энтропия, определяемая величиной Ф -ф, Р к сопзь, постоянна в частице газа. К уравнениям движения и электродинамики надо присоединить уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости и условие постоянства величины 6 в частице. Полная система уравнений, описывающая движение Рассмотрим возмущение состояния ч О, В Во, р р„. р р„ определяемое соответственно величинами ч, Ь, р', р', т. е, положим В= Во+Ь, р" ро+р', р ро+р' и будем считать величины ч, Ь, р', Р' малыми.
Соответствующая система линейных уравнений примет вид — — Чр — — ВЬХго!Ь, дч 1 с ! дг Ро Ров дГ Ре !ь = 1,~Ь+(Во Ч)ч — Войчч, йчЬ О. Рассмотрим случай независимости искомых величин от х и д. Учитывая, что дЬ дь„~ . дЬ дЬ,~ ВоХго!Ь вЂ” Воч — ! — Воо д 3+ Вон до +Вое д /й' Вычислим р-'Чр с помощью равенства р Ор", я сопз1 Так как 7р = 76р" + нбр'4-!7р, то р 'рр=р" 'рб + — Очр" ~. и†! Учитывая, что 17 (Орз-.!) ~рм- !!76 + 617рк-! получаем р-'Рр=17Р— Р" ' Чд к — 1 ' Р ~ Орки †Теперь вместо (4.68), (4.69) имеем уравнения д — ч Хьз= — ч('г'+ — +Р)+р"-' —, . (4.70). — „+ ЧО-О. дд (4,71) И нте грал Б е р нул л и. Пусть движение установившееся. Тогда уравнения (4.70), (4.71) примут вид оХй т7()7;М~ +Р~ — р" ' —, ч Ж=О.
(4.72) (4.73) Если чанг, то равенство (4.75) выполняется только вдоль линии тока. Если й = О, то из (4.72), (4.73) следует, что во всем пространстве О = сопз1, т. е. в случае безвихревого движения р = р(Р) )Кидкость, для которой плотность выражается только через давление, называется баротропной. В,противном случае жидкость называется бароклинной, Если ч3бг, то баротропность имеет место только вдоль линии тока (траектории). Умножим (4.72) на а!г: (ч Х Я) . !(г = !1 (У + -х-+ Р 1 — р» В силу (4.73) аб = О, поэтому с(( з + Р+ !') =(чХзз) Нг. (4.74) Правая часть (4.74) равна нулю-в следующих случаях: 1) ч=0„2) 0 =0; 3) ч11аг; 4) ч1111; 5) 1111Нг. В нетривиальном случае, когда ьз=О во всем'пространстве, занятом жидкостью, имеет место равенство ~+ +У=о (4.?5) а' Нр др откуда получим, что зй 1 з (дч -з1) Следовательно, уравнение (4.8)) примет вид Интеграл Л агранжа — Коши.
Пусть движение бу'дет нестационарным, но безвнхревым: ч — чу, Ч!=Ф(х~ р я~ !). Тогда (4.70), (4.71) примут соответственно вид — 'р — + — '+ Р + У ! + р" ' — = О, (4.76) чв д! 2 д, +ч ЧО=О. Система (4.76), (4.77) допускает следующие интегралы: О=С, (4.78) + + + 1() ( ) С вЂ” ос оянная, 7(!) — произвольная функция времени. Выражение (4.79) называют интегралом Лагранжа —, — п т †.,оши.
..3 с потенциал скорости определяется с точностью до адди' тнвной функции времени. Поэтому можно положит )( ) = ь ! =О. В силу (4,78) в-этом случае жидкость также является баро.: тропной. Для сжимаемой жидкости ! Р = — Р, Р (Р) = —. х — ! р' Р' Для несжимаемой жидкости Р = р/р. Будем считать, что 7(!)= 0 и массовые сйлы отсутствуют. Тогда интеграл Лагранжа — Коши примет вид —,+т+Р(Р)-0. (4.80) Составим уравнение для потенциала скорости. Запишем уравнение неразрывности — -с-+5<р=О.. (4.81) р д! Вычислим выражение --Я-. Продиффвренцируем по времени' (4.80): то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, лежа-' щему в рассматриваемой массе жидкости, в начальный момент времени равна нулю: Г(12)=О.
В силу теоремы Томсона Г(1) О, Но тогда в момент 1 Ц а„В-О. (4.87) ' 3 Докажем, что' й = О, т. е. движение жидкости будет потенциальным во все время движения. Пусть в какой-нибудь точке йчм(2. В силу непрерывности П чм О. в окрестности этой точки. Рассмотрим контур с малой величиной площади, им ограничиваемой.
В окрестности указаннЬй точки Я не меняет знака, поэтому нарушается равенство (4.87). В теоремах Томсона и Лагранжа указаны достаточные условия потенциальности движения жидкости. Следовательно, причиной возникновения нли уничтожения вихрей может быть хотя бы один нз следующих факторов: 1) неидеальность жидкости, 2) бароклинность жидкости, 3) непотенциальность массовых сил. Гельмгольцем установлены теоремы о сохранении вихревых линий и интенсивности вихревых трубок.
Первая теорема Гельмгольца. Для баротропной жидкости, находящейся в потенциальном поле массовых сил, частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую линию, во все время двилсения образуют вихревую линию, Доказательство. Докажем сначала, что частицы жидкости, образующие в некоторый момент времени вихревую поверхность 52, будут образовывать во все время вихревую цоверхность. Так как вектор й лежит в касательной плоскости к Яь,то ~ч ° йг = ~~ П„й5 О, мент 1 имеем 11а„йз откуда в силу произвольности контура Ь йь О (х у х) ав 5 Следовательно, поверхность 5 — вихревая. поверхность.
Рассмотрим в момент 12 вихревую линию 12. Через нее можно провести две вихревые поверхности 52 и Еь, которые к мо. 3!в Ь2 82 гдезамкнутый контур Ьождь К моменту 1 контур Ьь перейдет в Ь ж 8, где поверхность 5 ' образована теми частицами жидкости, которые составляли поверхность Яь. По теореме Томсона циркуляция по замкнутому контуру не зависит от времени, т. э.
~ ч.дг О, Но тогда в мо- 'менту 1 перейдут соответственно в Я и Х, вихревая линия 1ь :;; перейдет в линию 1 пересечения поверхностей 5 и Е. Так как 8, " и Х есть вихревые поверхности, то 1 есть вихревая линия. Та- ким образом, каждая вихревая линия перемещается в простран-. . стве вместе с частицами жидкости, ее составляющими. Следствием первой теоремы Гельмгольца является утверж- '. дение о том, что вихревая трубка во все время движения остает- ся вихревой трубкой. Вторая теорема Гельмгольца. Для баротропной жидкости, находящейся в потенциальном поле массовьгх сил, интенсивность любой вихревой трубки не зависит от времени. Если Ь есть контур'', охватывающий один раз вихревую труб- ку, то интенсивность вихревой трубки есть циркуляция Г.=~ 'йг. В силу теоремы Томсона эта величина не зависит от вре- мени.
Гельмгольцем составлено также уравнение для вихря скорости О. Исходя из уравнения движения в форме ьь — '+Ч— " — чХИ Р вЂ” р 'Чр, дГ применим к нему операцию го(: д22 Чр — го1 (ч'Х Я) го( Р— го( —. Вследствие равенства го1(а Х Ь) (Ь,Ч) а — (а Ч) Ь+ а д(ч Ь вЂ” Ь й)ч а, имеем го( (ч Х й) = (Я Ч) ч — (ч Ч) 0 — 0 й(ч ч.
Учитывая равенство го1(2ра) 2р го$а + Ч2р Х а, получаем го( — Чр 'ХЧр. — Р ~(ЧРХЧР). р Таким образом, уравнение для 0 принимает вид -д- — (Й Ч)о+Ой(чч го(Р+р эЧрХЧр, (4.88) В случае потенциальных мрссовых сил и баротропной жидкости правая часть уравнения (4.88) равна нулю." — л, +ьейчч (Й Ч)ч. (4.80) Определение поля Скоростей по заданному пощо вихрей и полю расхождения скорости.
Пусть заданы вихрь й(х, у, г, 1) и 317 дивергенция скорости 6(х,у,г, 1). Требуется определить скорость жидкости, занимающей все пространство и покоящейся ва бесконечности, э~ = О. Для определения ч = ч(х, у, х, Г) имеем уравнение го1 ч = ь), йч ч = О, ч ~„= О. Пусть ч! —— ч!(х, у, г, Г) будет решением задачи с(рч ч! =О, го1ч! = О, ч! ~ О, . (4.9!) а чэ = чэ(х, у, г, Г) — решение задачи йчч«=0, го1ч«=11, чэ! =О. (4.92) В первом случае вектор ч! имеет вид ч, =Ч!р(х, у, г, Г), причем ~р = !р(х, у, г, Г) удовлетворяет уравнению Пуассона Л~р =О.
(4.90) р= — —" ~т ! г в (1, ч, 1, «) «з) - г ~ю где г = ~/(х — $)'+ (у — Ч)э + (г — Ь)', т — объем пространства, Следовательно, ! Г Эг ч! = — ~ — г(т. Т Решение задачи (4.92) имеет вид ч,=го1А(х, у, г, Г), причем го1го1 А ='(х. Вектор А называется векторным потенциалом.
Имеет место равенство го1 го1А = Ч б)ч А — ЬА. В силу того что го1 Чф = О, вектор А определяется с точностью до Чф. Поэтому можно считать, что вектор А удовлетворяет условию йч А ='О. Итак, примем, что вектор А — соленоидальный, тогда он удовлетворяет уравнению ЛА = — й. Если И = 1«(х,у,з, Г) является кусочно-гладкой вектор-функцией, причем на поверхностях разрыва 11 нормальная состава!э Примем, что О-+ О, )Г -~ со, гс = ~/х'+ у'+ г', как АЯэ+ь. А~О, 0(Х 1, т. е.
для достаточно больших К имеет место неравенство ) О! С й/Я'+х. Тогда, если Π— кусочно-гладкая функция, то (х, у, х) ев'Р'. ь«ЧХ(х у х 1) Для Х имеем задачу АХ 0 ~~ =1)ю (х, у, х) ~Х. Если й„~ О, то Х сопз1. Следовательно, в этом случае й = О, (х,у,х)ев Р'. Пусть 8 и 0 продолжены во все пространство. Соответствующий вектор скорости обозначаем через ч . Представим ис комый вектор ч в виде ч'= ч +ч'. В области Р йч ч' = О, го1 ч' О, поэтому ч'= Ч~р, Ь<р О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
