Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Здесь следует указать, что с.помощью схемы Кн хгофа решен ряд важных для практики задач. 6 редположим, что лнння тока, проходящая через точку С. разветвляется в,ней н дальше ее ветви' совпадают с частями СА и СВ луги. В точках А н В ветви этой линии тока переходят в свободные струи, на которых скорость'равна скорости по= тока в бесконечности, т. е. а .
Считается, что в области между дугой АСВ и свободными струями А0 и В0 жидкость покоится, а в остальной частя плоскости, занятой жидкостью, двнженне безвихревое. Здесь 0 есть обозначение бесконечно удаленной точки. Пусть для разветвляющейся линии тока функция тока ф(х,у) — О, э потенциал скорости ~(х,у) в начале координат принимает нулевое значение: ф(О,О) = О. Области течення в физической плоскости з = х + (у в элоскостн комплексного потенциала ге = ~р + 18 соответствует плоскость с разрезом вдоль положительной вещеСхвенной оси, причем имеет место соответствие точек х = О и ш = О, г = ао н в = оо. Требуется определнть аналитическую функцию ге(г) по условиям в бесконечности, на дуге АСВ, где известно направление скорости, н на 'свободных струях„ где известна величина скорости.
Следуя Леви — Чнвнта, отобразим верхний полукруг еднннчного радиуса вспомогательной плоскостн ~ на область в плоскости ге. Это отображение есть суперпозиция следующих преобразований: ' в=Го, 1=а(Г +созао), à — -~~+ где а н ао есть некоторые постоянные. Для определения ге(г) вводим, согласяо Леви — Чнвнта, функцию в Щ по формуле «а е-ш (4.138) Пусть го О+ Гт, тогда О есть угол наклона скорости к осн х, а величина т=1п!81/а, где б есть комплексная скорость.
В силу данных о скорости на контуре, звободных струях и бесконечности можно наперед указать поведение функции гэ(Ц на границе полукруга в плоскости ь. Так, точке- ~=е'о, от. вечающей точке разветвления, где а = О, соответствует значеннето = оа. При следовании вдоль дуг СА и СВ окружности в плоскости ~, отвечающих участкам обтекаемого контура от угловой точки С до точек срыва струй, угол наклона скорости 9 Кьхо известен как угол наклона касательной к осн х. Радиусы А0 н В0 в плоскости ь отвечают свободным струям, где величина ', , скоростй есть а„;а е = 8, нбо здесь т = О.
Пря этом оз(О) = О, »э(1)=Ое, Го( — !) — О», где 8», Оо есть углы, образованные ка* сательными соответственно в точках А н В с осью х.. если аналитическая функция Го(ь) известна, то Иг — е'"' нз ~йи (ь), (4.139) " Юге © = — ~4 + — — 2 соз ао) (~ — — ) —. (4.140) Так как е(Ь) внутри верхнего полукруга анэлцтична, а на горизонтальном диаметре вещественна н непрерывна в каждой его точке, то функцию в(Ц можно аяалнтнчески продолжить на нижний полукруг по принципу симметрии, прн этом Го (ь) = м (ь). продолженная таким образом функция в(ь) будет аналитична внутри всей единичной окружности, а на самой окружности г = 1 будет иметь две особые точки: г=е'о., -г=е-~о".
Пусть О(1, а) == 9(а) известна. Тогда в(ь) представляется интегралом Шварца, который, учитывая четность 0(а) и условие в(О) = О, прнводнтся к виду о 1 — 1' Г з(а) я ) 1 — 2Ьсооа+С' о (4.141) причем должно выполняться условие о 8(а) а-о. Для точек окружности Ь его имеем дх.
— — е-'1" з)п а(соз'а — соз ао) е'оечда, где т (а) = т(1, а) . Длину дуги АВС можно выразить следующим образом: 1= ~ 1 з!и а1соз о — соз а,1е-'1'1 о(а.. о~а» о В случае прямолинейного клина с углом раствора 2ях, грань ' СВ которого составляет угол яч с осью я, имеем — яч. О =. а ( ао, п(2я — ч)г аз~а~я, . 2»1 Т,(а) ~- — ~ 6'(в)К(а, в) 12в, в!п Я— К(а, е)-~ „= — 1п Ч'л в1п ла в1п лв 1 л ! мп— а+ Я Так как 6((г) — четная функция, то в1и — 4 Т(а) ~- $ 6'(в) 1п о в1п— а+в 2 На.сторонах ВС и АС клина АСВ имеем соответственно ао — а з!ив т (а) 2х!и — + Т (а) 8(а) чх + 6 (а)з 2 мп 2 а — ао з1п— т(а) 2х1п + +Т(а), 9(а) (2х — ч)х 1-О(1).
2 в!п а+ ао Я Поэтому функция вв = ооо(Г) для прямолинейного клина имеет вид 1лз ' !по(~) = — чп+ 21х!п —, 1 — ьв л' ' 2х — ч ао 2н х. Для случая криволинейного клина АСВ функцию оо(~) представим в виде оо(ь) ооо(Ь)+И(ь) 12=.6+(Т (4 142) На диаметре'АВ полукруга в плоскости Ь Юш зв = О, поэтому зв(~) можно аналитически продолжить по принципу симметрии на нижний полукруг: !2© = 14~Д). Положим 42ф ~а ~л где а„— вещественные коэффициенты, ибо на диаметре АВ функция зв(ь) принимает вещественные значения, причем ао =0 в силу условия зв (О) = О. На окружности Ь = еоз имеем ОФ з)(е"1) = ) ал(сов па+ ! з!п па) =Ю(а) + 1Т(а).
л ! Поэтому Пусть р обозначает угол наклона касательной к дуге АСВ ,к оси х. Тогда на ВС О(.) =!) †..+-. "на АС О (а) = () + чп — 2хх. Кривизна дуги лб ео лэ аа х= — = — = — —, 45 45 еа «з '"где и!е =) аг~ — эчемент длины дуги. Используя связь между т(а) и Т'(и) а — ао 51П— 2 0(а~и, т(а) =Т(а) — 1п а+ ао в!ив 2 в!пел+'-~фаа б'--22)- й(б) в1 — - — т Х Ф„ 1„ьс-~.~~ ао а-в в1п— 2 н *з~ — — 1л'ы~ о де, (4.144) а+в в!ив 2 решение которого должно удовлетворять условию л ~ б (а) 4(а = О, о (4.! 45) а величина 2н — ч а, — и.
Ян ~ будем иметь 4оз з1и +— зн ! а+аз 2 е- (л! 31паМа. о зн ! 1а — ао1 зп з ев Ватем в силу равенства б (о) й(6) е получаем 2 з„! а+аз 4л' (О) з!п а 2 е-г 1л! (4 143) з1пзл имея в виду, что кривизна дуги х есть известная функция от ;о 6(а ецольэуя выражение для Т(а), иа (4.143) получаем инте гродифференциальное уравнение для определения функции В(а)! Постоянная а определяется заданием длины дуги АСЗ1 1ег 11а~4+'— .
2. - 1= — ~~ з(П о е-г)о)е(о. О66 д г)4-1! е — е61 о 11п 2 Остановимся на приближенном вычислении решения и параметров задачи. Если клин прямолинейный, то как Ф(а), так и Т(о) -равны тождественно нулю. Примем это нулевое решение в качестве первого приближения. Для получения следующего приближения будем иметь; ,1„1)4+) е+ С9 )4 6 ! )= — 9)6) ! — — — г )! ), [6! )4 6, )4.!46) 2 о причем значение постоянной а ие изменится по сравнению со случаем прямолинейного клина, а = ао. Решение задачи (4.146) имеет вид а о а б (о) = Оо+ ) [(и) йо, Оо —— — — ) ~ 1(о) о(о. (4.147) о го Общее выражение для гидродинамической силь) А получим, исходя из случая обтекания потоком со срывом струй контура АСВСь для которого точки А и В являются точками схода струй, дуга АСВ есть передняя часть, дуга ВС)А — задняя часть контура, находящаяся в застойной зоне.
Имеем А- — ~ рпг(з — ~ рп (з. Асв . -вб,л Пусть ро — давление в застойной зоне тогда в силу интеграла Бернулли давление в области течения будет равно р,+ф(~'„-[ [г). Теперь для силы получим. представление А * — ф ~ (о' — [о[г)по(з. АСЗ Используя формулы соз(л,х)4(а = о)у, соз(п,у))й — о(х, составим выражение для комплексной силы: Р=Х вЂ” (у — + (иг„— [в[)Ий. (414В) Айз На дуге АСВ скорость о и смещение о(х имеют либо одинаковые, либо отличашщиеся иа го аргументы. В обоих случаях оМ ддз. ' . Отсюда ' поэтому [ о [г )(й = бг о)х, Р 41), ~ (ог Аз бго(х) АСВ Имея в виду, что о(й =' — е )а)(й), 1 о„ 1(з — е)4442н), 1 О66 АЮ )я о= — =о е 46 получим Р— 9 1 [ 66 [ "6 ) 44.)49) Ь АСВ АСВ Выше было указано, что функция в(~) может быть продолжена на нижний полукруг. В силу формуль1 (4.140) Лт)(ц) = 0' прн .)шЬ = О, поэтому 4(в тоже можно продолжнть-в нижний ,'полукруг по принципу симметрии,'Итак, имеем в©=вК), 4(ш(ь) ~~Я). Используя разложение е оо 1 — (в (0)~ — — ([в (0)р+ (в (0))Г + ° ° ° а также представление о' ~ 1 2ооое6 ь [ йс з, ) (ь с помощью теоремы о вычетах получим Р = ~-м агп ([в' (0)Р+ 1 [в" (0) — 4в' (0) соз сф 4 После операции сопряжения 'имеем формулу Леви — Чивита Р: -к-" — агп ([в' (0)[1 -[- 1 [4в' (0) соз со — в" (0))~.
(4.1И) о $46 Тогда е )а 11,1! ~ е )6) 11) 4144! ф, (4.150) АСВ АСВ где С вЂ точ окружности, сопряженная с точкой С. С помощью (4.!50) комплексная сила будет равна 9--а. ) [.- «6 )4)4. [.-.«ч )4ф 2 69). АСВ ВСА т, е. комплексную силу можно представить с помощью интег. Р ала по замкнутому контуру — окружности: 4:, Р + „. фа-ь11),11е(г) Здесь нужно учесть, что ге' (О) — 4х з1п па + — ~ соз аО (а) с(а, с л а" (0) — 4х з(п 2а, + — соз 2о6 (а) аа, где 6 = О(п) удовлетворяет уравнению (4.144) (4.145). ) и условию В случае приближенного выражения для 6(а), даваемого формулой (4:!47), интегралы в (4..!52) приводятся к виду Я Я о мыл( ~н -) .ж (~ь~а ив о (4.152) — -„! з1пйп)(а)аа, й 1, 2, ! г о где функция 1(а) определена в (4,148).
Для прямолинейного клина задача решается точно, вы аже нне для силы имеет вид с чно, выраже Р,=2ро ас~лхз!и и (2х з(п о' — (созна), я ! а~+1 я~с0 -1 В!пям г 1ДУ/ где 7 — длина ломаной АСВ. Если 2х 1, то имеем пластинку, наклоненную к оси х под углом () пз. Тогда Ро лро„аззз(п (1 (з1п (! — (соя (!), 4- ЛЖ7 й за. ЙрострАнственное везвихеевое движение идеАльнОЙ несжимАемОЙ жидкОсти Потенциал скорости ф~ ф(» у я Г) ярое ра в жения жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа а +а*+а дх~ ду' дз2 ' В случае поступательного движения жидкости со скоростью ч = ч (Г) потенциал имеет;следующее выражение: у=~к (г! г, Я46 имеет вид Для течения от источника ач ач ае ал поэтому потенциал скорости ~р = у (г) будет удовлетворять уравнению — (г~ -5-) — О, откуда ф — — + сз(Г) с, (С! Так как потенциал скорости определяется с точностью до аддитинной функции времени, то сз(Г) = О.
Пусть д = а(Г) есть обильность источника, т. е. количество жидкости, протекающей в единицу времени через замкнутую поверхность, содержащую внутри себя начало координат. Возьмем в качестве такой поверхности сферу радиусом г. По опреде- лению у=~~~ —" ,(3, 5 откуда с1(Г) = д/4л. Следовательно, д (г! ! Ф= 4л г (4.153) Потенциал течения от диполя строится следующим образом. Рассмотрим в пространстве прямую Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
