Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Р (О обе точки лежат на мнимой !.-осн, причем !р2~ ~!х, !22~~ Я. Потенциал скорости имеет 'вид ГО !р= )г„(г+ —. ) сов О+ —, 22! " поэтому распределение скорости на окружности г= Я онределяется выражением ов — — — — = — 2)г з!п О, + — „ 1 де Д дз " ' 222Д' й 4З. БЕЗОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ КОНТУРА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ Пусть и плоскости ху контур 1 обтекается потоком, комплексную скорость которого вдали от контура обозначим через о . Требуется определить комплексный потенциал течения как аналитическую функцию по условиям на бесконечности и на контуре.
Рассмотрим вспомогательную плоскость комплексного переменного Ь = $+ 1п и в ней окружность 1' радиусом 1г 6 центром в начале координат. На основании теоремы Римана о конформном отображении существует однолистиая аналитическая функция, которая осуществляет конформиое отображение внешности о' окружности р на внешность а контура 1. Пусть з =1(ь), обратная ей функция ь= г" (х). Такая функция будет единственной, если потребовать, например, соответствия точек х= со и ь= оо, а также выполнения неравенства — ~ >О, ях ~о В силу высказанных условий разложение аналитической функции )(~) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид )(1)=й1+й+Ф+Ф+ " й>0 В силу однолистности 1(Ь) в результате суперпозиции го(1(1)) — йг (О =, Ф (1 Ч) + ~Ч' К Ч) получаем новую аналитическую функцию (б'(ь), которая играет роль комплексного потенциала течения в плоскости ~.
Найдем скорость этого течения на бесконечности. Так как то Яг(1)-йб„1+ Л7 +,Г. !П1. (4. 122) 234 — йб . (4.120) При отображении, осуществляемом функцией ~ = г(х), контур 1 переходит в контур 1', а условие обтекания в плоскости х ф (х, у) = сопз1, (х, у) ~ 1, преобразуется в условие Ч'($, и) сопз1, ($, т!) ~ 1'. (4.121) Решение задачи об определении аналитической функции В'(ь), удовлетворяющей условиям (4.120) и (4.121), т.
е. решение задачи обтекания круга, известно. Поэтому можно сраз)~ ' написать Подставляя в (4.122) ~ = г(х), получаем решение исходной задачи: ш(г) =' йб„г" (г) + — "+ —, !и р(х). (4.123) В силу равенства циркулрция скорости при переходе из плоскости г в плоскость не меняется. Пусть контур 1 имеет одну острую кромку А. Пусть точке А соответствует точка А'ен 1', ~А =)аде'~~. Если в точке А угол между касательными обозначим через 6, то в окрестности точки' А' преобразование области о' на область а должно иметь вид 2я — о я — ха *ы М (1 — 1л') При 6(п имеем ~Но АФПГ/ аг ~ Следовательно, в этом случае, так как в = †~~~ в , скоЖг~! рость в точке А будет вообще говоря, равна бесконечности.
Скоростьв острой кромке можно сделатьограниченной,если удастся удовлетворить условию (4.124) т, е. точка А' должна быть одной из критических точек течения в плоскости Ь. Так как Ляг Я~йо„г 1 — = йб — — + —— дь '~ Р 2я! ь ' то в силу (4.124) получим Г=йл1А)г(о з-'е — б емм). Пусть о =!о (е'",.й =!о (е ". Тогда 1' 4лй)т ! о ! з1п (Оз — а). Если контур обтекается потоком идеальной жидкости, то проекции гидродинамической силы через давление выражаются следующим образом: Х вЂ” урсов(л, х)Ыз, У вЂ” $ р соз (а, у) ~(з. 'Введем комплексную силу й Х вЂ” 1à — 1$ рИ.
При смещении вдоль контура ° Ь Их йзе'ю, ю(6 ю)ев 'е, поэтому Используя интеграл Вернулли !о!'12+у/р ю С, получаем Й ~ + $ 6'(х) юЬ. В случае безвнхревого течения 6* Ыауах, поэтому Й-'в $( — ',",.)'6. Перейдем к вычислению гидродинамнческого момента Ь вЂ” $р(нсоь(а, у) — усоь(п, х)1А= $ р (х дх+ у Ыу). (4.125) (4.126) (4.128) Так как х ю(х х ах + у ау+ 1(ую(х — х а!у), хбх+ уду = Йе(г 6х), а помощью интеграла Бернулли получим Е Йе ( — -зБ $ 6'(х) г 6х~. Для потенциального течения Е Йе ( — ф ~> ( — ) х 6х~.
Формулы (4.125) — (4.127) носят название формул Влазнуса— Чаплыгина. Комплексная скорость Дюгах является аналитической функ- цией вне контура 1, поэтому в силу теоремы' Коши интегриро- вание в формулах (4.126) н (4 !28) можно проводить по лю- бому контуру, охватывающему контур 1. Вслн взять в качестве такого контура окружность Е с центром в начале координат, целиком содержащую внутри себя контур 1, то на Ь и вне (. имеет место разложение — аю+--ь+ — '+ ° ех 2 хю Вычислим Тогда по теореме о вычетах ' Я вЂ” 2праюа„ (4.129) 1.* Йе( — 1рн(2аюаю+ а,')). (4.130) ,Из формул (4.129)-и (4.!30) видно, что для вычисления Я и ' Ь достаточно знать три коэффициента разложения комплексной -' скорости в окрестности бесконечно удаленной точки.
Найдем эти коэффициенты, В силу условия на бесконечности аю —— 6„. Так как для тверг вм д еюю дого контура <у — ах = Г, а, с другой стороны, ~у — 6х=2п)а„ то имеем Г а1 зим зюа ' Коэффициент аю определим, исходя из равенства «Ф' йа ее иг. еь ' Так как й В) = й6 ~ + — '" + —. 1п ~, -й~+ й,+-"~~-+ ф+ ..., " то имеем (4.13Ц. Умножим обе части равенства (4.131) на х'. . Г ае Р'ею й6,~2 + 2- ~ р' х =(6 х'+ — „,.
х+а,+ ...)(е — ~+ ...). (4.!32) Подставляя в (4.132) выражеике для х, причем г = у~'+ 2ййК+(Аю+ 2йй~)+ ..., и приравнивая коэффициенты при йю, получаем Ы) (йю+ 2йй~)+ ййю-„у.— Й'Йи = й~(й~~+2)гй1)6 + — йю+аю1 — й16 Р. (4.133) Теперь из (4.133) находим ьь 2йз + ДОГ 2л( ' С учетом вычисленных значений для коэффициентов ам аь ам получаем /( = !Ро„Г, (4.134) ь — йе (2л/РЬМ +РйаГВ ). (4.136) Рассмотрим обтекание эллипса с полуосями а и Ь. Функция сг (х' Жуковского г — ~~+ — ) переводит окружность ~ = !((еьх в эллипс х = — ~!1+ — ) соз О, у = — ~!т = — ) з!и О, причем эксцентриситет эллипса и радиус круга соответственно равны . с 1/а' — Ь', 1( л + У а — Ь Коэффициентами разложения функции г = /(ь) в окрестности бесконечно удаленной точки будут а=с/2, до=О, й~ =с/2.
Найдем обратную функцию, которая является двузначной. Выберем ту ее ветвь, для которой ~(а) =. !с. Таким образом, —,( + Тй' — Р). Комплексный потенциал течения при обтекании эллипса будет равен го ф(г+ Т/гз — с~)+ — +ь (г — Т/гс ~ )+ + — „, !п(г+.(/г' — с'). г Комплексная сила и момент, действующие на эллипс, будут соответственно равны !т=!Рй Г, à — 2лс!с! о 1з1па, В= — — с~(о (за!и 2а. В случае пластинки (Ь = О) имеем гс = о„ьг — !о„„1/г' — '+ — (п (г+ Т/гт: а ).
г 2л( Комплексная скорость принимает выражение лм ' ' Г/2л( — (о„„* от~ + Если учесть, что Г = — 2ла~ о !з!па, то получим сю (г — а) — =о — !о лг ' о (с+а) ' Комплексная сила !с = — 2л!арй„! о„! з!и а, гидродинамический момент ла' Т, = — р — ! о !2 з!и 2а. ' (4.136) (4.137) . Гидродинамический момент можно, представить в виде /. = (ху — уХ) !у,,' Тогда В = х2лар! о„!'сова Мп а.
Сравнивая это выражение с (4.137), получаем х = — а/2, й 49. ОБТЕКАНИЕ УСТАНОВИВШИМСЯ ПОТОКОМ СО СРЫВОМ СТРУЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ДУГИ Пусть в плоскости ху находится дуга АСВ, точка С которой помещена в начало координат н является угловой. Пусть на дугу набегает установившийся поток идеальной несжимаемой жидкости, направленный вдоль оси х, его скорость обозначим через о . Требуется определить силовое воздействие потока на дугу в случае, когда она является плохообтекаемой. Это означает, что данная дуга обтекается частично, а не полностью, с ее концов сбегают свободные струи.
Для того чтобы сформулировать математическую задачу по определению силового воздействия жидкости на дугу, необходимо принять ту или иную схему обтекания. Далее будем следовать схеме обтекания Кирхгофа,' согласно которой в случае плохообтекаемой дуги с ее концов срываются свободные струи, уходящие в бесконечность, а в области между дугой и свободными струями образуется область покоя. Схема обтекания Кирхгофа возникла из-за необходимости устранения парадоксов, имеющих место при безотрывном бес- т. е.
точка приложения равнодействующей силы находится на расстоянии 1/4 длины пластины от передней кромки. Выбором циркуляции можно добиться конечности скорости в задней кромке пластины. Однако в передней кромке скорость останется бесконечной. Вследствие этого факта имеет место следующий парадокс: давление в идеальной жидкости направлено по нормали к поверхности, поэтому продольной силы не должно быть. Но, с другой стороны, суммарная сила (4.136) направлена перпендикулярно скорости на бесконечности и, следовательно; имеет место составляющая силы вдоль оси х, цнркуляцнонном обтекания контура. Существуют и другне схемы обтекания, лучше отражающие картину действительного 'течения, но нх йспользованне приводит к значительному усложнению задачн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
