Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть имеется непрерывная вместе со своими производными функция Ч'(х,у,г, !), такая, что Ч"(х, у, г, !)~,,-сопя!. Вдоль поверхности Х имеем Чт„с(х +»Р„ау + Ч', а!г+ Ч', а'! = О, [„Нх+ ]э с(у+ [,т(г+ [~й= О. Отсюда следует, что дГ Рчд7' дЧ' д! (4.107) Рассмотрим функции Ф(х, у, г, !) и Ф(х, у, г, т), непрерыв. ныв со своими производными, и такие, что Ф Ф+, !)О; Ф Ф, !<О.
Имеем (Ф вЂ” Ф) [т, О, ибо Ф непрерывна. Пусть Ч' = Ф вЂ” Ф. Так как чф [чФ], (х,у, г)я Е, [а]= а+ — а, то получаем Кроме кинематических условий (4.108), (4.109), разрывы роизводных должны удовлетворять еще динамическим усло. иям, проистекающим от того, что элементы, как в положитель'" й, так и в отрицательной областях, должны удовлетворять ' равнениям гидродинамики: .»р= — Р (д + ч»»ч), — +ч ° »7р+Рйчч О, др д! — -8-+ ч. !7 — „-О. дт р" р" Так как производные в эти уравнения входят линейно, то м-- ~ф1+'[ ]~.
~+1+ ч ° [!7р]+ Р [йч ч] О, Р ~-~~-~ — нр Ы + Рч [!7Р] — нрч ° [!7Р] О. ' Используя (4.108), (4.109), получаем Л п=РЛ»М вЂ” РолЛ» ЛрМ + олЛр + РЛ» ' и = О» РЛрМ + хрйрМ + Рчйр и хрчЛ и 0 *; После соответствуюшей группировки членов будем иметь Лрп Р(М вЂ” о„) Л, Л,(М вЂ” о.] РЛ„п, РЛр (М вЂ” ол) — нр (М вЂ” о„) Лр О. Из этих соотношений получаем Лр Лр (М вЂ” вл)з, РЛр (М о„)з — нр (М вЂ” о ) Лр О.
'„Отсюда либо 0 ° М вЂ” о, О, либо (М вЂ” ол)' „р]Р, т. е.. ]0]=а. Последнее означает, что скорость распространения поверх- , ности слабого разрыва по абсолютной величине равна скорости ,: звука. Остановимся еще на связи слабого разрыва с характеристи- . ками уравнений гидродинамики. К рассмотрению характеристик приводит задача Коши: на '. некоторой поверхности Х: !(х, у, г, !) О заданы значения функций ч, р, р; требуется найти в области, окружающей Е, непрерывные и однозначные функции ч, р, р, удовлетворяющие урав- ;, нениям гидродинамики и обращающиеся на Х в заданные функции. 1,з 227 1»ешениа этой задачи связано е возможностью определения иа Х всех производных от ч, р, р. Сделаем замену переменных х' х, у' у, г».
1(х, у, г, 1), В новых переменных уравнение поверхности Е. примет вид г'= О, и, если обозначить о„(х, у, г, 1) о»(х', у', г', Р), ..., по уеловйю задачи будут известны,функции о„~! о о;(х', у', О, 1'), ... Для любой функции а = а (х, у, г, 1) имеем' да да' да' д/ да да' да' д/ г= к дк' дк' дк ' ду ' ду' дк' ду ' поэтому Если а!» о а'(х', у',О, У) йзвестна, то известны и производные да' ~ да' ~ да' да' ~ Однако нужно найти еще —,~ и таких производных в на.
!» о шем случае пять, а ен(ч, р, р). В новых переменных уравнения гидродинамики примут вид» до„! др А-ухт+ рг х» /»- до ! др А~-Ф+ у--йу /» до ! др А-ййФ+-г уг/, где А /»+/,о'„+/ро'„+/,о',, причем в правых частях приведенных уравнений отсутствуют производные по г'.
Указанную систему уравнений следует рассматривать как систему для определения производных по г' от ч, р, р. Опреде» лнтель этой системы д А ~(/» 1 /»+/») ~У Аз1 Если поверхность Е н заданные на ией фуинции таковы, что Ь *О, то производные по г' будут конечными, если Ь»=О, 1'аа'1, 2, ..., б, где Ь» есть определитель, получающийся из Ь, если в ием 1-й столбец заменить столбцом из свободных чле-. нов.
Тогда, т. е. при Ь = О, поверхность Е называется характе. ристической (характеристикой). Если Е в задаче Коши есть характеристическая поверхность, то, если и существует решение задачи Коши, оно может не быть единственным. Это значит, что могут найтись два разных решения, принимающих на Е одни и те же значения, у которых, однако, уже первые производные на Х различны. Таким.
образом, может оказаться, что с разных сторон от Е движение представляется разными законами. Но в таком случае Х есть поверхность слабого разрыва и ее скорость распространения »» /»+/»»+/У У+/»» (4 1 1) Тогда условие Ь = О принимает вид О'(6'-ир'/р') О, т. е. получаем !е~- . (4.111) Здесь естественно возникает вопрос: всегда ли характеристические поверхности действительны? Имеем уравнение »»»».РМ»»Р. +ъГР~Р»-»»' которое в иестационариом случае ~ри любых ч и а определяет функцию /(х, у, г, 1).
В установившемся движении получаем 1о,~ а. Если 1ч((а, то нельзя удовлетворить этому равенству. Если !ч~> а, то найдутся поверхности Е, для кйфрых )ч» а. В первом случае дейотвитяльйых характеристик иат, во втором они могут быть. йат. пЛОсКОЙ ВЙЗВВХРЙВОВ й(ВИЖЮИПВ идкдльиои ИЙсжимдимои жидкости В случае движения несжимаемой жидкости в плоскости ху уравнение неразрывности принимает вид до„доу — д„+-~- -О. ' Напишем уравнение, определяющее ляпни тока дк Ыр (4.11Э) о„ оу На 'основании (4.112) выражение — о»»(х+ о,»/у представляет собой полный дифференциал некоторой' функции Ч'= = Ч'(х, у, 1), 1 — параметр: аЧ" = — оу»(х + о» Фу - .О.
(4.114) где и — нормаль, направленная вйраво при движении вдоль кривой от точки А к точке В. Пусть 0 — угол наклона касательной к кривой АВ. Тогда сов(а, х) в1пΠ—."-, 'ее ' сов (и, у) ~ — сов О~® — —. Теперь (4.116) можно записать в виде в Я= ~(офйу — орйх) Ч !л.
А (4,117)' Выразим вихрь скорости через функцию тока. В случае плоского движения жидкости отличной от нуля является только одна компонента вихря скорости, а именно Учитывая (4.118), получаем а,--бЧ~. Заметим, что приведенные рассуждения относительно Ч~ н Я не были связаны с отсутствием вязкости. Если движение потенциально, ч ° фф, то потенциал скорости н функции тока связаны соотношениями дч д'К де д т' ах дд ' дк 3х ' . (4.118) которые являются условиями Коши — Римана дифференцируемости функции гв ° ф+ !Чг по комплексной переменной х = = х+ !у.
Функция гв гв(х,г) носит название комплексного потен. циала, а ее производная е ар .ач —,=Я+1-б„— =о„— !о„д(г, !) — комплексной скорости. 2ЗО Из (4,114) следует, что ач ар (4.11!р) и Ч'(х,у, !) сопв! на линии тока. Функцию Ч" =Ч'(х,у, !) на.
зывают функцией гока. Рассмотрим поток жидкости через дугу АВ в в Я ~ о„йз= ~ (о„сов(л,'х)+ о„сов(л, у)) йз, (4.116) А А Таким образом, задача о построении того нлн иного течения сводится к нахождению соответствующей аналитической по г функции !в гв(х, г) при удовлетворении определенным граничным условиям. Если безвихревое движение идеальной несжимаемой жид'кости установившееся, то для определения давления имеет место интеграл Вернулли Р + — ~ —,~ +у1шг=С, где р — плотность жидкости, д — ускорение силы тяжести; С— постоянная. В случае неустановившегося потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости давление в ней определяется а помощью интеграла Лагранжа — Коши В— + д, Ве (*. !)+т~ — ',; ~ +а1шх=1(г), где !(1) — произвольная функция времени. Рассмотрим примеры течений.
1. Поток вдоль направления 8 = а со скоростью ш гв = ое-'ах 2. Течение от источника (стока): гв -~„-!па, !шит О. Пусть я ге'в. Тогда га +(!пг+10). Затем ф Ч~~-1пг, Чг +О, откуда о 7 ' ' ов аО О' а д' е-! ! де 2я г' г й. Течение от точечного вихря! ге= 2 .
!пх, 1шГ О, д — И', Г Пусть г ге'в, тогда $ ш = — (Π— ! !и г). г 2к Г Г Далее ф — „О, Ч'= — — !пг, откуда ог™О, ов —, 1 Вейф!р, Г ! вв т. е, линиями тока являются концентрические окружности, а цирйуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему начало координат, равна величине Г, входящей в комплексный потенциал: ' н2 = — (пг. Г 2я2 ' . 4. Течение от вихренсточника1 п2= ~ (пя. 2н Пусть г = ге'в. Тогда 1 ф = — 2я (41пг-(-ГО), Ч' ~-„-(49-Г 1пг). 2» Линии тока 2) = с примут видг 2 се" .
5. Течение от диполя. Комплексный потенциал течения от диполя определяется следующим образом: 2с = 1!гп 1( — !п (Я вЂ” а» ае ) — 21 1п (8 Ъ+ ае )1 Г1 а.з О Мв!а ! 222 2 — »2 ' где М = 2ае — величина момента диполя, а угол а определяет направление осн днполя. Пусть.в плоскости ху обтекается круг С радиусом 1! с центром в начале координат. Скорость потока вдали от круга'обозначим с =с,+!о „. Комплексная скорость б является однозначной ограниченной аналитической функцией вне круга С.
Разложение такой функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки имеет внд (4Л19) — с»+ —,' + ~+ 9. + ..., причем в силу условия на бесконечности с» б22 = оао» !о22» Интегрируя (4.119), получаем гс с»в+ с,!п з — ~Ч~2~: »+Х'. »в Пусть с» а»+1Ь», а=ге!в, Тогда. =! ..— Ь.~ " .2!.,.2~2!2., 2,2! — Г ' ° 2м °, „ 2 Отделяя вещественную часть, получаем выражение для по тенцнала скорости ф г(с „соей+с „в!пО)+а2!пг — Ь,О— '1 — » (а»+, сов ЙО+ Ь»!.! зш ЙО), ! 232 , нри этом — о„, сов О+с„» в(п О+ — + ~ —,, (а»+! сов ЙО+ Ь»+! з(п ЙО). де »! Из условия безотрывного обтекания +~ =0 находим, д 2-а .что 'а!»220, о „+ в О, о + ~~ 0 а» Ь» 0 Й~З.
Таким образом, имеем 1' ', св = о „ — Ьз „, с! = !Ь! = †,„., с» = — 1! (и 2 + т „), с» — — О, Й>З. В выражении для с! принято новое обозначение для его мни: мой !асти Ь! =-Г/2н. Для комплексного потенциала получаем выражение Г Д2» 6„~ +-~,-р !и + —, ' т. е. комплексный потенциал течения есть сумма комплексных потенциалов для поступательного потока, точечного вихря и дн" поля. Далее считаем, что о.г — — О, с 2 = )г .
Комплексная скорость будет равна Еа Г ! Я2!г !/ + 22 д» ю 2я! 2»2 Найдем критические точки потока, в которых скорость равна нулю. Для их определения имеем уравнение )г„з' + —,„я — )г„)св = О, корни которого суть г' в 2 Г а!.2= — ! — — ~ 4!г )22 — — 2). 21Г„~ 2я! вн2 У. Если дискряминант Р =4(г~(г' — Г'/4н» положителен, то "; имеем две критические точки на окружности г = )г, прн Р = 0 ' они сливаются в одну, при.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
