Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 39
Текст из файла (страница 39)
На границе Х области Р дч д ОВ О~ ° ляющая непрерывна, и на бесконечности !й! убывает до'нуля ': на медленнее, чем й/Я'~, й ) О, 0 ( Х 1, то А — ( 1'ч' ' сЬ. «н 3 г гсо Поле скоростей в этом случае примет вид ! Г 0)(г ч~ -гэ- ~ —,„— г(т, 1в где г~4И, Я =Я($, ть ь), М = М(х, у, х).
Решение общей задачи (4.90) представляется формулой ч эя ~ -г!Гт+ «„~ — ~-г(т. (4.93) 1О СО Если область Р, в которой заданы В и 1«, имеет некоторую границу Е, то иа ней необходимо задать соответствующее усло- вие, например: о Г(х, у, х, 1), (х, у, х) жХ. Пусть область Р содержит бесконечную удаленную точку. Продолжим 9 и й заданные в Р, во все пространство. Продол- жение 6 и 11 вне Ь можно осуществить различными способами. Например, 8 О, (х, у„г) ф Р, а для 11, необходимо обеспечить непрерывность при переходе через Х.
Непрерывное продолже- ние ь« в области Р', ограниченной Е и дополнительной к Р, можно строить следующим способом. Пусть В бесконечности условия исчезновения ч и ч" дают Чф( =О. Рассмотрим примеры вихревых полей. 1. Скорости, индуцнруемые криволинейным вихрем.
Пусть в неограниченном объеме несжимаемой жидкости задана изолированная замкнутая бесконечно тонкая вихревая трубка„которую в пределе прн толщине ее, стремяшейся к нулю, можно рассматривать как замкнутую вихревую нить. С. Для определения скорости ч(х, у, г,г), индуцнрованной вихревой нитью, имеем ' 1 ГЙХг ч ~ — ) — ит 4и з г' где интеграл распространен на объем »1 вихревой трубки. Вдоль вихревой трубки 41 Ит = Г 4(з, Г = 1»1(с, где йз — элемент линии С„с(с — площадь поперечного сечения вихревой трубки; à — циркуляция скорости по-контуру С, охва' тывающему один раз вихревую трубку, причем Г вдоль трубки не меняется. Для вихревой' нити получим (4.94) с Приведем выражение для потенциала скорости, индуцируемой Нитью.
Он определен вне точек нити. Так как г *)ЯМ, Я ($,4),1), М (х,р,з). т=Тга(, ). Теперь получим » 4и ~(д~ (г) ~ч дЧ (г ) ~'ь)' (4.95) с Применим к контурному йнтегралу (4.95) формулу Стокса ( р~й+ а~п+к а; с ~ц. (иг аО)+ (ап аг)+. (дО аР)~ ,где Х вЂ” поверхность, натянутая на контур С, а, (1, Т вЂ” направляющие косинусы положительной нормали к Е, с конца кото уой направление обхода: идет. против часовой стрелки.
В на-. ;.шем случае (4.95) Р О, Я 3~(г)' Р. дЧ (~)' 1 Учитывая, что Ас — О, получим Так как д$ ( ) = д (г)' а 1 . а Следовательно, (4.98) ч=фф, 2. Поле скоростей, нндуцируемов прямоли. нейной вихревой нитью. Пусть вихревая нить совпа; дает с осью х. Полагая в (4.94) 4(з кйь, получаем ОЭ г ( — (р — ч)1+1» — 111.,1~ Аюс 3 э Из формулы (4,97) видим, что вектор ч лежит в плоскости ' ху, т.
е. с,=О. Положим (х — 3)'+(у — 41)» рз и сделаем подстановку х — ь рс18и, 1ь1(оо, О<ив,п. Учитывая, что й1,. р- г —, получим зи »1а и' Г р-в Г» — $ с» ~ — к- — т ° с» * 'х- — т- ° Я Р и р , Векторы р (х — $,у — 4)) и ч (с»,с„) ортогональны.Час. тнцы жидкости движутся по окружностям, величина скорости с Г/(2йр).
Итак, можно заключить, что ч - ф~р, ф —, агс1н — „= — „8, г а — ч Г (4.98) где 8 — полярный угол в плоскости ху. й 46. ПОВЕРХНОСТИ СИЛЬНЫХ И СЛАБЫХ РАЗРЫВОВ 'Предположим, что и пространстве хух движется поверхность Х, задаваемая уравнением г'(х, у, г, Г) = ° О. Определим'скорость Ф, с которой каждая точка поверхности Х будет удаляться в направлении нормали в этой точке. Возьмем некоторую точку М (х, у, х) ес Х в момент 1 и проведем нормаль к Х в точке М, направляя ее в область, где Р(х,у, х, 1):> О. Пусть нормаль пе- ресекается с поверхностью Х(Р), с которой будет совпадать Х в момент 1', в точке М„(х„у„г,). По определению скорости 1 ММ'1 й/= Ит-~ — — Имеем равенство с'-ь с г, — г [ММ, [и, ЧР/[ЧР [.
Так как М ~ Х, М, еи Х(Р), то Р(г, 1) = О, Р(г„, Р) О, Используя разложение Р(г„Р) в ряд Тейлора, получаем 1ЧР 1'ММ. [+ —",, (Р— 1)+... -О. Следовательно, й/- — — ',",/~ ЧР [. (4.99) Величина сУ есть скорость перемещения повврхности Х в пространотве, в котором движется жидкость, имеющая скорость ч. Тогда скорость, с которой поверхность Х перемещается от одной жидкой частицы к другой, будет равна О = 11/ — о„. (4.100) Величина О есть скорость распространения поверхности по частицам х4идкости. Пусть Х будет поверхностью, при переходе через которую гидродинамические параметры терпят разрыв.
Такую поверхность называют поверхностью сильново разрыва. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости при отсутствии массовых сил в интегральной форме ааписываютвя еле. дующим образомс ~ (т ~ *- ~ ~ с„(З (1, (4,101) где т — обьем частицы жидкости; Я вЂ” поверхность частицы; а р, с, = 0 для уравнения неразрывности; а рч, с, — ря 'для уравнения движения; а р(ос/2 + (/), с„ ~= — ро„ для уравнения энергии. Установим соотношения, которые накладывают ограничения на величину гидродинамических параметров слева и справа от поверхности разрыва.
В момент гс рассмотрим положение поверхности сильного разрыва Хс, и поверхность Хс„в которую перейдет поверхность Хс, к моменту 6ь За частицу жидкости возьмем цилиндрик, в основании которого находится круг радиусом г, его площадь [р9] =О, р9[ч] = [р] п, рй [ос/2 + (/] = [ро„]. (4.103) (4.104) (4.105) 223 ' яг', а высота равна О+(1с — 1с), где О+ есть скорость распро- ' странения при подходе к Хс, из области, в которой Р )'О. В момент 1, эта .частица окажется целиком в отрицательной ' области, т. е.
там, где Р ( О. Следовательно, сн ас(т ~ = — [ай](1,— гс)иг'+..., [аО] — а+О+ — а О . с, Здесь индекс минус относится к величинам, определенным ; в отрицательной области, а индекс плюс — в положительной области. Величина [/] = /+ — [ . Для того чтобы вычислить правую часть интегрального равенства (4.101) заметим, что поверхность Я складывается из трех частей: боковой поверхности цилиндрика и двух оснований. На боковой поверхности Зь ~ с„с(5='0(1) г(1, — 1,). вь На нижнем основании с, с(З =' с„яг' = — с иге, зл ибо с„, = — с, пс = — и, пс — нормаль к нижнему основанию цилиндра, направленная внутрь жидкости, На верхнем основании с сл сБ ~ с,+пг". всс Следовательно, сф ~~ с„с/З [с„](1, — 1) яг'+ О(1) г(1, — гс)'+ ...
с,в Поэтому интегральное соотношение (4.101), примененное к цилиндрической частице жидкости, можно записать в виде [аО](1, — гс) яг'+ [с.](1, — 1,)+ 0 (1) г(1, — 1,)~+... =О. Сократив на разность (с — 1» устремим сс к 1» Затем, сократив на г~, получим [аО] + [с„] = О. (4.102) В каждом конкретном случае, отвечающем закону сохранения массы, количества движения и энергии, соответственно имеем Условия (4.106) — (4.105) есть условия динамической совместности двух движений с элементами ч+, р+, р+, Ть и ч, р, р, Т . В тех точках пространства, через которые поверхность разрыва не проходит, удовлетворяются уравнения гидродинамики в дифференциальной форме. Если 8 = О, то поверхность разрыва не распространяется по частицам, отделяя всегда одну массу газа от другой. Такая поверхность разрыва называется стационарной.
При этом [р] = О, [о,] = О..Напротив, [р] и [о,], о,— касательная составляющая скорости, произвольны. Если 6 чь О, то [р] чь О, [о,] ~ О. Следует иметь в виду, что при Очи 0 всегда [о,] = О. Получим некоторые следствия нз условий динамической совместности. В силу условия (4.104) рй[ .]=[«] Так как [О] = — [о,], то рй[0] = — [р], или в другом виде Р„О' — р 02 =р — р,. Отсюда сразу получаем 0' - —, 8,-= Р+ [«1 з Р- [«1.- Р-[Р) ' Р+ [Р) Так как () — —, третье условие (4.106) динамической 1 « к — 1 р' совместности можно записать в виде Я+ 00 Умножив скалярно условие (4.104) на ч+-[-ч получим рй[о~] - [р] (о„++ о. ). Теперь имеем +, + Ре г[«1 Запишем это соотношение в виде Р+(ох++ел-) — Р (о„++ ол-)+йр чх — йр+оп++ — [.Е-1=0.
2рв х Р Затем, так как Р+о.— — Р- + — Р+о ++ Р-о - р0(р++ Р-) [[lр] ибо [о„] — рй[1/р], имеем И+=' 1'1-' Отсюда сразу получаем формулу адиабаты Гюгоньо (к+ 1) — (х — 1) (4.! 06) (к )р- — х — )Рэ ' Вычтя из обеих частей равенства (4.106) единицу, получим 2х [Р) «(к+1) Р— (х — 1) р+ , перь 82 х«- 2«+. р- (х+ 1)Р-.-(к — 1) Р+ спользуя аднабату Гюгонио в форме (х+ Гв — — (х-.1) + «+ . (х+ В Р+ — (х — 1) р- ' лучаем «+ (х+ 1) р+ — (к — 1) Р- также 0'+ х«2 2р р+ (к+ 1) р- — (к —.1) р+ ' Из выражений для 0 и 8+ можно заключить, что если "]8+] < а!., то ]8 ]) а..
Наоборот, если ]8 ] < а, то ]О+]) а+. Здесь использовано обозначение а'=хр/р. В частности, ':если М = О, 8 — о„ то скорость о, по крайней мере с одной ':стороны от поверхности разрыва превосходит местную скорость "звука. Это означает, что неподвижные поверхности сильного ~'разрыва могут! существовать лишь прн наличии сверхзвуковых 'скоростей. Теорема Цемплена.
Возможны лишь такие сильные разрывы, : для которых [о„] < О. Согласно второму аакону термодинамики энтропия 3 = с,!п —,, или, что то же 6 = — „, прн физических процес« « Р' Р сах не убывает. Поэтому, если 81. ) О, то массы из положительной области переходят в отрицательную, т. е. — [ — "„1<о. Если 6+ СО, то массы отрицательной области будут заменены массами положительной области «+ ) «- ~ «~-~0 С помощью адиабат Гюгоньо (4,106) и Пуассона (4.78) выражение для разрыва величины 6 можно представить в виде (к+ 1) — — (х — 1) Р+ Р+ ~ (х+  — (х — 1) Р+ ~Р-/ РТеперь можно заключить, что если 8+»О, при этом [6] ч О, '„.
то [р] ( 0; если О+ ( О, при этом [6] ~ О, то [р] -» О. Ч В Зая. !ЗЬ ЖЬ [!7Ф] Лфп, [ — '„~- — ЛвМ, М--Ы у[] Л.=Р.М[. д1 l (4.108) (4.109) Кроме того, так как [о ] [О] р+Ол ! 1 т!) или [о,]=0+ —, получаем, что всегда [о,](0. 1р) Р-' Поверхность, при переходе через к9торую терпят разрыв первые производные от гидродинамиче6ких элементов, называется поверхностью слабого разрыва. Наличие поверхности сильного разрыва не накладывало само по себе никаких ограничений на скачки гидродинамических элементов, и только необходимость удовлетворить законам механики привела к установлению соотношений [ай]+ [с„] =О. Напротив, в случае слабых разрывов уже самый факт существования разрыва производных, имеющего место вдоль поверх.
ности !(х, у, г, !) = О, заставляет связать скачки производных некоторыми условиями. Эти условия являются следствием кинематической картины движения н выводятся совершенно независимо от уравнений гидродинамики, Оии' называются условиями нинематичесной совместности. Пусть функция Ф(х,у,г,!) непрерывна во всем пространстве, занятом жидкостью, ио ее первые производные претерпевают разрыв на некоторой поверхности Х: [(х, у, г, !) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
