Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При изучении движения жидкости часто используют координаты Эйлера. Будем считать их прямоугольиымя 4екартовЫИН н обозначать через хь хи хз1 аь аэ вз — орты соответствующих координатных осей. Основной кииематической величиной яв. ЛЯЕТСЯ СКОРОотЬ Ч Ч(ХЬХЗ,Хр11) Оа(ХЬХЗ,Хр,1)з„(ЭДЕСЬ И далее по повторяющимся индексам, обозначенным греческими буквами, производится суммирование; все буквенные индексы, если специально не оговорено, пробегают значения 1, 2, 3).
Соотношения (2.40) можно рассматривать как закон движения сплошной среды в дифференциальной форме.'В прямоугольных декартовых координатах они имеют вид оз(х1» хз» хз» 1)' Лхз (4.1) Эти же дифференциальные уравнения служат для определения траектории произвольной жидкой частицы. Напомним, что траектория есть геометрическое место точек, последовательно занимаемых в пространстве той или иной частицей сплошной среды. Чтобы выбрать траекторию данной частицы, необходиьго задать начальные условия. Линией тона называется такая линия, которая для фиксированного момента времени в каждой своей точке имеет касательную, параллельную вектору скорости в той точке пространства, через которую эта линия проходит.
Дифференциальные уравнения линий тока имеют вид (2 38). Их нетрудно преобразовать в следующие: ~.~~ лхз лхз ь» ьз ез (4.2) где о; = оз(хь хз, хз, '1), причем время 1 фиксировано. Траектории и линии тока определяются, вообще говоря, из различных систем уравнений. Однако в случае установившегося ДВИЖЕНИЯ, КОГДа Ч = Ч(Х1, Х,, Хз), тРаЕКтОРНН И ЛИНИИ тОКа совпадают. Точки, в которых ч = О, называются нритическимгл В критических точках может иметь место разветвление линий тока как по конечному, так и по бесконечному числу направлений. Рассмотрим некоторую линию АВ, ни одна точка которой не является критической. Через каждую ее точку можно провести ' линию тока.
Если АВ не является линией тока, то образуется поверхность, в каждой точке которой скорость ч лежит в касательной плоскости. Эта поверхность называется поверхностью тока. Для замкнутой линии АВ поверхность тока является трубной тока. Если 1(хь хз, хз, 1) 0 — уравнение поверхности тока, то должнобыть о — =0(ч ч,е, лежит в касательной плоскости д1 »» дх»» 'поверхности тока,е,— пгай)- нормаль рассматриваемой д1 а дхд поверхности). Линии тока являются характеристиками для этого уравнения с частными производнымн, Тензор скорости деформаций определяет деформацию любой частицы жидкости в любой момент времени 1 (см.
$ 22). Его коварнантные компоненты е', вычисляются по формулам (2,100). В прямоугольных декартовых координатах (4.3) Первый инвариант Узз' этого тензора представляет скорость отн осительного изменения объема частицы среды, или скорость кубического расширения жидкости, в момент време гласно (2.102) д" а Х1' Йч ч зх-, (4.4) Е гучч О, то жидкость называется несжимаемой. ели 1ч«в Распределение, скоростей в жидкой частиц пр д е п е ставлено формуло й (2.106), Используя прямоугольные декартовы координаты и выражение (2.104) для угловой скорости частиц, ы на- ходим (4,9) Г азй1, ч(х, +йх,1 1) ч(хй 1)+(е е„в ) ° аК+~го1«КЩ» (4.6) йВ й — ра иус-вектор произвольной точки частицы относительно ее центра, имеющего координаты хз, хз, хз.
у первого и третьего слагаемых в равенстве (4.6) определяет распределение ск „ ие скорости в как бы затвердевшей частице при ее по- 1 упательной скорости «(хн 1) и угловой скорости е — го( ч. емое ч (е' е е) ° ٠— скорость чистой дефорВторое слагаемое чл - мацки. Рассмотрим некоторые свойства вихревого поля Й го1ч 7 Х ч (:зе,. ,4.6, Нетру ио проверить, что 61«зз О. Тогда по формуле Гаусса — 8строградского '(1.61) з О„йЯ 6!ч И йУ О, (4.У) гдэ  — эамкиутал поверхнооть, ограничивающая объем К, ив орт ее внешней нормали.
чек в кото ых Вихревая линия есть геометрическое меер т~чек, р касательная к не р ей Совпадает с вектором . ихпеная линия чной 4.21 Определяется системой уравнений, аналогично (, 1 -ф- + -~.з- (4.8) По аналогии о поот~зоениэм поверхности (н трубок) тока строятся тся вихревые пов рхнодти (вихревые трубки). Циркуляцией вектора екородти вдоль кривой вз и ой т.
называется величина 194 Тепло, поступающее к выделенной массе жидкости в единицу времени, представим в виде суммы ~ а и «(З+ ~ ре«()«. з<н У <«) Первое слагаемое определяет приток тепла через поверхность' З(1) и в нем Ч вЂ” вектор притока тепла. Второе слагаемое — то тепло, которое возникает за счет'процесса объемного выделения энергии; е — плотность объемного выделения энергии. На выделенный объем жидкости действуют поверхностные силы с плотностью о, и массовые с плотностью Г. Их работа за единицу времени равна а„ч «1л+ ~ рГ УЛ".
з <«) у<а Теперь закон сохранения энергии можно записать в виде следующего равенства: — Р~Н+-й-)«()) ~ РР ч«!)«+ ~ а„ч«(5+ У («) ) <«) 5 и) + ~ а пд5+ ~ ре«1)«. (4.21) з<о У («) Так же как для полной производной величины (2.129), устанавливаем, что 2Т ~ Р(~+ Г)«'~ ~ РЗ (('+ й)«'~ (422) У(«) У («) По теореме о кинетической энергии (см. (2.146), (2.146), (2.136)) ~ рт'Ч<чУ+ ~ а 'Ч«(Е ~ Й% +арвр)«')' (423) У («) з («) («) гда о е' — мощность напряжений.в расчете на единицу объ. ема жйдкоати. Далее, по формуле Гаусса — Остроградского «1 и «(3 ~ йч<1 «()т, . (4 24) з («) У<«) Используя (4.22) — (4.24), записываем равенство (4.21) в виде ,~ р — 7-с()) = ~ ((т, е, +()1чй+ ра) ««'у'.
У <«) У <«) Отсюда следует дифференциальная форма записи закона сохранения энергии (первого закона термодинамики!: «(О р-~- о е' + йча+рв. (4.26) 19$ Н У+ — + —. р с р 2 (4.28) Нетрудно видеть, что «И ««О «( 1 ! др 1 «' «Ь~ — = — +р — -+ — — + — ч чр+р— и« = щ «и р р с« р ' (, е! ) Используя (4.26)< и уравнение движения (4.20), получаем р-д-= .ре.'р+б(чй+~ ° +ч.—,+ч РЕ+ «.
(429) $42. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ Основными термодинамическими параметрами жидкостей н газов являются давление р, плотность р (или удельный объем )т = 1/р) и температура Т. В состоянии термодинамического равновесия р, р, Т или р, У, Т находятся в функциональной зависимости 1(р, р, Т) - 0 (4.30) и эта зависимость называется уравнением состояния. Здесь и далее под Т понимается абсолютная температура.
-Уравнение состояния, как и выражение внутренней энергии, 'принадлежит к числу важнейших характеристик физических свойств сплошной среды. Как и выражение внутренней энергии, уравнение 199 Преобразуем первое слагаемое правой части этого равен'„ства с помощью формулы (4.16): варвар = твре,р Ре ' Так как е,', = йч ч и в силу уравнения неразрывности (4.14) (,' р йч ч — др/«11, то 1 (4.26) Подставляя (4.26) в (4.25), получаем «(О «( ! р ( — „+ р — „, — ) = т, е,' + йч а + ре. (4.25), Обозначим через Щ количество тепла, получаемого единицей массы жидкости за время «11 (штрих означает, что «т(,) не является полным дифференциалом функции О).
Тогда д(/+ рд — '= д'д. (4.27) (< р :; Если «гС1 = О, то соответствующий процесс называют адиабатичесним. Под теплосодержанием единицы массы жидкости понимается величина состояния заимствуется либо из 'опыта, либо из статистической физрки, где эти соотношения выводятся теоретически. Для несжимаемой жидкости уравнение состояния имеет вид Р Ро. ' - (4-,31) Уравнением состояния.-совершенного газа является уравнение Клайперона р рот, (4.32) в котором Я вЂ” газовая постоянная для данного газа. Для несовершенного газа пользуются уравнением.
состояния Ван-дерВаальса: Разрешим уравнение состояния относительно Г = У(Т, р), при этом йу =-,-~- йт+ —,йр. дт' дт' Таким обрйзом, цри нспользрвании в качестве независимых переменных Т, р равенство (4,33) примет вид дг *(р+ др-) дг|йТ+(р+ д1т1 д йр=й'9.,(4.36) Удельной твпловмкостью называется величина с -317-. (4.36) Удельная теплоемкость при постоянном объеме в силу (4.34) равна дУ ст д~Г Удельная твплоемкость при постоянном давлении в силу (4.36) равна (4.37) ~э ~1дг +(Р+дУ) дг~/ ' (4.38) (Р + аР') (У вЂ” Ь) = Рт, где а, Ь вЂ” постоянные для данного газа. Внутренняя энергия единицы массы жидкости и зависит от' параметров состояния р, р, Т, которые связаны уравнением состояния (4.30).
Поэтому можно, считать, что и = и(Т, У) или и и(т, р). Согласно первому закону термодинамики йи+ рйр=й'О, (4.33) Бели и =' и(Т, )т), то йи = —, йт+ — йу. д0 д0 дг д1т Тогда в силу (4.33) имеем — ',", йт+(р+Щ-)й - ГО. (4.34) :ф; По определению энтропия Я вводится равенством й'Я сИ (4.39) В силу (4.34) получим йз-фЯйт+( +~~-)йУ1 : ак как йЯ вЂ” полный дифференциал (согласно второму закону :,термодинамики) от Я = Б(т, У), то имеет место равенство др ( Г др ) дг ~ т (р + д1 )1 которое можно привести к виду 37 дтЬ)' (4.41) Для несжимаемой жидкости т и-и,+ 1)с(т)йт, т. Если, с(Т) =со, то и=и,+,(т — т,), 3 Яо+ Т с(Т) йТ, (4;42) З=Зо+со(п(г )., (4.43) Вычислим внутреннюю энергию, энтропию ц теплосодвржание совершенного газа, Так как р/Т Я/У, то в силу (4ч1) для совершенного газа =и т. (4.44) (4.46) Ь и + р/р = ~ с (Т) йт + и, т.
(4.47) Получим теперь выражение для энтропии совершенного газа. 201 и () Следовательно, согласно (4.37) т и=ио+ 1 ст(т)йТ, (4.45) т, д'т' В этом же случае формула (4.38) примвт вид с =ст+р;у-, ' а'так как У =йт/р, др/дт )г/р, то с — ст=Я. Равенство (4.46) есть следствие'первого закона термодина- мики и выражает связь между сэ и ст. Теплосодержание вдиницы массы покояшегоая газа будет равно т В силу общей формулы (4.40), а также выражения (4.45) для внутренней энергии совершенного газа имеем НЗ Т 'сг(Т)ЙТ вЂ” )1р 'Лр. Интегрируя (4.48), получаем г 3 = Зо+ ~ су (Т) — 11 1п -х-, ат т Ро ' (4.49) г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
