Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 37
Текст из файла (страница 37)
где Юо, ро есть значение 3, р при Т = То. Если Сд(Т) не зависит от температуры, то (4.48) н = — с-. о Зо+ 1п Следовательно, в этом случае получаем, что З= 1 6+ 1, 6= —. к' (4.51) Поэтому в частице сохраняется величина 6= — „, — =О. р сб (4.52) р" ' В дальнейшем для величины 6 примем название энтропии. Для установившегося движения имеем ч У6 = О. Учитывая, что при этом линии тока совпадают с траекториями частиц и определяются уравнениями (4.2), получаем Иг ° 76=06=0, Иг=е,с(х„ т. е.
в случае установившегося движения энтропия 6 будет постоянна вдоль линии тока. В дальнейшем будем считать, что (4.53) и — ПТ, е =О. $43. МАССОВЫЕ СИЛЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ДЕИСТВИЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В случае электропроводкой жидкости необходимо учитывать действие на нее сил, обусловленных взаимодействием электромагнитного поля с жидкостью Жидкость (газ) становится элеи. 202 3 с,! Р +сопз1. (4.50) Р Если процесс адиабатический, Ы'1Т = О, то энтропия постоянна 3 = сопе1. Для случая независимости теплоемкости от темпера- туры (4.54) Р, РЕ+) ХВ, где р, — плотность заряда, 1 — плотность тока, Š— напряженность электрического поля,  — магнитная индукция Заметим, что все вводимые величинй зависят как от координат, так и от времени. Теперь уравнение движении примет вид до дт дто дтс р — „, -РР,— рр+ —,„+ —,+ — „+Р,Е+)ХВ, (4.55) где Рс — массовая сила неэлектромагнитного характера, например, обусловленная гравитационным полем.
В уравнении энергии нужно учесть объемное выделение тепла, обусловленное наличием электромагнитного поля, так называемое джоулево тепло. Вудучи отнесено к единице объема, оно выражается следующим образом: () о-! . го (4.58) Здесь 1 =11~ — величина тока проводимости движущейся жидкости, (4.57) ! о(Е+у Х В), и†коэффициент электропроводности жидкости. Таким образом, уравнение энергии примет вид Р— „(Ц + — ) = РР У вЂ” йч рч + — (~„ч) + -к„- ((„У) +. д оо д д +-~~-(т, у)+ йоп+ре+ Р, у+ а-Чо. (4.58) Теперь необходимо присоединить ко всем уравнениям гидро- динамики уравнения Максвелла и уравнение, выражающее за: кон Ома, вместе с соотношениями, вйражающими связь между электрической индукцией 0 и напряженностью электрического :, тропроводной при достаточно высоких температурах, ибо при этом в ней может иметь место ионизация.
Ионизированная жид:, кость (газ) представляет собой смесь нейтральных и заряжен' ных частиц — ионов и электронов. Заряженные частицы создают „, вокруг себя электромагнитное поле, посредством которого осу", ществляется взаимодействйе между йими. Воздействие электромагнитного поля на жидкость проявится „' в выражении массовой силы в уравнении движения и в виде " джоулева тепла в уравнении энергии.
Массовая сила, с которой электромагнитное поле действует на ионизирпваиную жидкость (газ), которую мы рассматриваем как сплбшную среду, будет равна (отнесена к единице объема) поля Е, магнитной индуицией В н напряженностью магнитного поля Н. Все эти уравнения имеют вид дВ 'го! Š— —. йч В О, дг дп (4.59) го1 Н ] +, йч Р = р,; д, = го! («Х В) дВ (4.63): прн условии, выражаемом вторым из уравнений (4.59), йчВ=О.
(4.84) Плотность заряда и плотность тока определяются соответствен- но выражениями (4.65) (4.66) р, = — йч [з (» Х В)], ] го1(п 'В)+ д (ечХВ). д Таким образом, в случае среды с бесконечно большой проводимостью вся система уравнений электродинамики сводится к (4.63), (4.64). В этом смысле говорят о системе (4.63), (4.64) совместно с уравнениями гидродииамнки как о системе уравне- . ний магнитной гидродинамнки. Изучение движения электропроводной жидкости представляет интерес с различных точек зрения.
Это, например, транспортировка расплавленного металла, взаимодействие ионизированного газа с твердым телом и распространение сигналов в проводящей среде. Остановимся на круге вопросов, связанных с последней из названных проблем, которая требует изучения волновых процессов в электропроводкой жидкости. х04 аг а(Е+ч ХВ)+р,ч; (4:80) Р=аЕ, В=)1Н, (4.81) . где е — коэффициент электрической индукции, 14 — коэффициент магнитной проницаемости.
В уравнении энергии (4.58) можно учесть, что Р, ° ч + а-1 ° Р *] ° Е, (4.62) Действительно, так как ! = а(Е+чХ В) = ] — р,«, то Р, «+а ' Р=(рЕ+] ХВ) ч+(Е+«ХВ)(] — р ч)=Е ]. В предположении а = оо получаем Е = — «Х В. Тогда в силу первого из уравнений (4.59) магнитная индукция удовлетворяет уравнению Будем рассматривать-идеальную несжимаемую электропро- ,"водную жидкость.
Ее движение описывается с помощью сле. ,'„'11ующей системы уравнений: рР, Рр+ Р„ лч Р р Е'+] ХВ, Р— РК, йч«=О, го1Е= — —. йч В =О, дВ го1Н =!+-х1-, йч Р =р„ дп ] =р,ч+ а(Е+ ч Х В).. Р = аЕ, В = 11Н. В результате применения операции го! к уравнению го1 Н ';.' = ]+ — получим -дп д! го1го( Н го(]+ го1— дП дг Имеет место тождество го1го1 Н = ч йч Н вЂ” ЬН. , Так как 14 сопз1, Й!ч Н = О. Учитывая также, что в = сопз(, а =сонэ!, с помощью закона Ома имеем — ЬН = а [го! Е + го1 (ч Х В)] + го1 рз«+ в;ЗТ го1 Е.- Вводя вместо Н вектор В и используя первое уравнение электродинамики, получаем дВ 1 1 в У — — ЬВ + го1(ч Х В) + — го1р ч — — —. дС ва а ' а ды' йчВ =О, 'р,=йч Р, го! Р— в-й)-.
дВ' Представляя вектор плотности тока в вида 1 дВ =-го1 — —, в д1 для пондеромоторнбй силы, характеризующей взаимодействие гндродинамического и электромагнитного полей, 'получаем следующее выражение: Р, -р,Р— -ВХ(го1 — —,, ). 1 ! дп Заметим, что проведенные преобразования электродинамических уравнений не опирались на уравнения гидродинамики и поэтому справедливы как для несжимаемой, так и сжимаемой жидкостей, равно как и для вязкой жидкости. В случае магнитогидродинамического приближения имеем 1 д! — +(ч .Ч) ч — ЧУ вЂ” -Чр — — ВХго(В Р Ф дв 1 а! = — ЛВ+го((чХВ), йчВ' О, что справедливо также для любой жидкости. Имеет' место тождество го((чХВ) (В ° Ч)ч — (ч ° Ч) — Вйчч+чйчВ, в котором последнее слагаемое в нашем случае равно нулю.
Теперь уравнение для В можно записать в виде ав -й — = — пв+(В Ч)ч — (ч Ч) — Вйчч. Сделаем еще одно простое преобразование — выделим постоянную составляюшую в векторе магнитной индукции В Во+ Ь, В, еопз!. Тогда ВХго(В Ч(Во Ь) — (В, Ч)Ь+ЬХго(Ь, причем здесь мы воепользовалиеь тождеством' Ч(а ° $3) (РЧ)а+(аЧ) Д+ В Хго(а+а Хго((3, в котором положили а Во' р Теперь, учитывая, что ро (ч Ч)ч Ч вЂ” — чХ го(ч, з уравнения*движения для несжимаемой жидкости можно запи- сать в виде дч 1 1 ~~)- — -Р- (В, Ч) Ь вЂ” -Роя- Ь Х го! Ь + ч Х го! ч— — Ч(У+Х+ — ", + — ''), й,-О.
Уравнение для вектора Ь в случае несжимаемой жидкости за- пишется следующим образом: "у — (Во ° Ч) ч — !!Ь вЂ” (ч ° Ч) Ь+ (Ь ° Ч) ч, йч Ь О. дь 1 Пуоть о оо. В этом случае положим ч аЬ, а еопзь Тогда уравнение для Ь примет вид З2- — а (Во ° Ч) Ь О, дь д ~ а2 до, Ч=(0, 0 — ), Л вЂ”, йч ч= — ', дг)" аг2 дг ' дзг дЬ2 го2Ь = — —,)+ —,), дг дг дЬ„ дЬ„ Ь Х го! Ь = — Ь, — $ — Ь, — ) + дг дг В результате из системы уравнений для ч, р, Ь получим, что р Ьг + Ь2 + ЗВ ° Ь 2.2-,.2 — ' — 22 —,„-'' — --222 .-2,=2, а также уравнения дог 2"2г азг а! Рр дг ' доо н22 азо а! Рр дг ' дЬ до„1 дгд 2 дьг ао ! а2ЬУ вЂ” =в — + — ' а! — о дг Ро дг ° , а уравнение движения преобразуется следующим образом: дь 1 (2 1 23 а — — — (Во ° Ч) Ь ° (ог — — 1 Ь Х го! Ь— д! РР 2.
Рр ) :! ~р+ о+ оо + до Ь) Р З Р!2 ! ,Теперь определим а равенством 2 1 ао= —, РР ' " причем получим — + — — — ((в,+ь) — в 1. .1; С учетом уравнения для Ь будем иметь р+ рт ++ (в,+ ь)2-((!), где ((() — произвольная функция времени. Таким образом, исходная система уравнений свелась к одному уравнению; а(Во Ч) Ь дь при условии йчЬ О, из которого следует, что любое возму. щение магнитного поля распространяется со скоростью с=аво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
