Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если эти силы направлены по оси г, то, обозначая поверхностную плотность их суммы череа р(хь хо), будем иметь ЬА, = ~~ рбво(х, Их,. (Э.129) Вторая (ЬАо) есть работа сил, приложенных к боковой поверхности пластинки. Согласно сказанному выше, пластинка реаги- 1тв, Напомним, что возможные перемещения должны быть сов,', 'местимы с условиями закрепления края пластинки. Это значит, го что на тех частях контура /., где перемещения иь в'и поворот " — дв/дп заданы (кинематические граничные условия), биь бв , н бдв/дп равны нулю. Поэтому для выполнения .равенства ",'",'(3.131) при любых возможных перемещениях необходимо, чтобы 1 внутри срединной плоскости выполнялись уравнения (3.132) ",, (уравнения равновесия пластинки), а на тех частях контура 1., "„'оде и;, в, — дв/дп не йвляются заданными величинами, соблю:;'дались соответственно равенства 1- )' ' %7ы 1 и па0а+ д ~ и Мял ~ (3.133) „„.
'(статические гранйчные условия). .Кроме того, в угловых точках пластинки, в которых прогиб ~ Не является заданной величиной, следует задать скачок крутя,'; щего момента (3,134) оо+ о Мао 1, о Роо ' т на силы Р„(з)е„+Р,(з)» и изгибающий момент 0(з)1, аспределенные вдоль ее края, а также на сосредоточенные веркальные силы Р, » в угловых точках границы, при переходее зо )оерез которые крутящий момент претерпевает скачок. Работа 'казанных сил определится следующим выражением: ЬАо= ')(Р,био+Р,бв — ОЬ вЂ” )дз+ ) Р, Ьи(зо), (Э.!30) >.' с Фо ''»ак как — 6(дв/дп) есть поворот нормали к срединной плоскости пластинки вокруг касательной т к контуру 1,.
' Согласно принципу возможных перемещений имеем Ь*г' — ЬА = О, ;,бу выражается формулами (3.125) и (3.128), а ЬА задается '::формулами (3.129) и (3.130). Собирая вместе члены при биь 1;йи и — 6(дв/дп) в двойном и контурном интегралах, получаем ~(п,Т вЂ” Р )Ьи .+ (п,Я,+ — "' — Р,) бв— % — (Мяя — б) б д 1'~з+ Х (Мы 1,', о — Рво) би (зо)— во — ')') ~ д" био+( д + Р)бв1г(х,ахо=О.
(Э.131) При этом удовлетворяются первые два уравнения равновесия (3.132). Выразив-в (3.117) деформации по формуле (3.114) и исключив из них продольные перемещения иг так, как было проделано в $ 37, вместо полученного там бигармонического уравнения (3,86) будем иметь уравнение ,~б(/ Е ~( д'в )г дгв дгв 1 (3.136) (условие совместимости линейной части тензора деформации еи). Второе уравнение, связывающее функции иг и У, получим, обратившись к последнему уравнению равновесия (3.132). Подставив моменты (3.118) в (3.126), выразим перерезывающие силы через прогиб М,= — 0 —. дй в (3,! 37) дх~ Выражая С~ по формулам (3.126) и (3.137), записываем третье уравнение равновесия (3.132) в следующем виде: —.0ггоге+ Т вЂ” + р =-О.
(3.!38) Здесь учтено, что в силу первых двух уравнений равновесия Для получения второго уравнения, связывающего ге и У, осталось подставить в (3.!38) усилия по формулам' (3.136). Линейная теория изгиба пластинки. Как видно из формулы (3.137), перерезывающие силы будут иметь поря- Полученные соотношения являются нелинейными ввиду .нелинейности зависимостей (3.114) и первого равенства (3.126). Если на пластинку не действуют никакие вертикальные силы и изгибающие моменты, то, полагая во всех предыдущих соотношениях прогиб ш равным нулю, придем к уравнениям пло.ского напряженного состояния пластинки, рассмотренного в предыдущем параграфе.
Последнее не всегда является единственно возможным, поскольку при достаточно больших сжимающих усилиях пластинка подобно стержню может потерять устойчивость и перейти в изгибное состояние равновесия, Этот вопрос будет обсуждаться нике ($ 39). Задачу о деформации пластинки можно свести к нахождению двух скалярных функций, прогиба иг и функции напряжений Эри (/(хи хг), вводимую так же, как и в предыдущем па. раграфе (см. (3.83)), дгу Тц =2И(баЫУ вЂ” ) дх дх )' .док М,,—,, где б — порядок прогиба пластинки, а 1 — велина порядка размеров пластинки в плане. В то же время, обозначая через Т порядок продольных сил, имеем дв д Т,и — У'-.
дх !Отсюда следует, что проекциями продольных сил на ось г можно пренебречь по сравнению с перерезывающими силами, если Т пренебрежимо мало по сравнению с ЕИг/(г. Это приводит к вотождествлснию вертикальных сил с перерезывающими Я~ = Мг , (см. (3.126)),и тем самым к переходу к линейной теории изгиба ,", пластинки, Вместо (3.138) будем иметь следующее неоднород- ',~.иое бигармоническое уравнение для прогиба пластинки: 0йбге=р. (3.139) Из четырех граничных условий (3.133) остаются последние два - (с заменой ф на М;). Если к контуру пластинки не приложены горизонтальные гусилня и продольные силы в ней возникают вследствие самого '' 'изгиба, то из соотношений (3.114) и (3.117) следует дг еьдг — Т„- ЕИец- : По сказанному выше в этом случае проекциями на вертикаль продольных сил можно пренебречь и рассматривать изгиб пла- 4 стиики по линейной теории, если ее прогибы пренебрежимо 'малы по сравнению с толщиной (так как тогда Ти ЕИбг/1г « « ЕИг/(г).
Заметим, что при этом (см. (3.114)) изгибные де,'формации — гдгги/дх,дх1 — Иб/Р велики по сравнению с про: дольными ен. Рассмотрим задачи на изгиб прямоугольных пластинок по ", линейной теории. а) Прямоугольная пластинка, опертая в трех углах и нагруь женная силой в четвертом. Прямоугольная пластинка 0 ~ ', я' х1 ( а, 0 ( хг ( Ь оперта в трех угловых точках (О, 0), ;::, (а, О), (О, Ь), а в четвертой точке (а, Ь) приложена сосредото: ченная сила Р; все четыре кромки свободны, поперечная нагрузка отсутствует (р = О).- Прогиб в = Ах1хг удовлетворяет однородному бигармониче" 'скому уравнению и условиям опирания трех углов пластинки: ; Ьггге = О, ге (О, 0) = ге (О, Ь) = ш (а, 0) = О. Отвечающие ему мо,!: менты равны Мц = Мгг = О, Мы = — А(1 — т)0.
Граничные :, условия свободного края (3.133) (Р, = О, С = 0) очевидно выполняются на всех четырех кромках. На кромке х1 = а и = е„ ".;4=ег и М„~=М1г, а на кромке хг=Ь п=ег, 1= — е, и ',Хл4,г = — М1г. По сказанномУ выше скачок М,г пРи пеРеходе 181 через точку (а, Ь), равный — 2Мм, должен быть равен. силе Р.
Отсюда получаем . длт п5) О,е 5 дх! дои «5 =О, к,-о . =О, х,-о, ь Рпе. 33. выражающих отсутствие на кромках прогибов и изгибающих моментов. Решение задачи целесообразно искать' в виде двоййого тригонометрического ряда тпх! . пп«5 ш= ~" ш зш — зш л!л а ь т,л ! поскольку каждый член такого рида удовлетворяет всем граничным условиям.
Разложим нагрузку р(х!,хо) в двойной ряд Фурье по синусам в прямоугольнике 0 ( х! ( а, 0 ( х, ( Ь: Р(х!. »5) = ~~ Р „з1п — ' з(п — ', (3.141) т„л 1 (3.140) е ь р„„ ь ь з!и — 5(х! 1 р (х„ х,) 3!п — а!»5. 4. Г ° /лпх! -Г .
Ппхл о о Подставляя ряды (3.140), (3,141) в уравнение (3.139) и прирав! пиная коэффициенты при одинаковых 31п(тпх!/а)31п(пп»5/Ь) слева и справа, получаем Ртл пл() (т' 1. и')' (3;142) Ряд (3.!40) с коэффициентами (3.142) н решает поставленную задачу. При ограниченности рт, его можно почлеино диф- 182 р' 2(1 о)(! Х!Хо~ Реакциями опор являются сила Р в точке (О, 0) и сила — Р в точках (О, Ь) и (а, 0) (рис.
33), б) Прямоугольная шарнирно опертая пластинка. Рассмотрим изгиб прямоугольной пластинки со сторонами а н Ь, все четыре кромки которой шарнирно закреплены. Задача сводится к решениюбнгармонического уравнения (3.139) в обЛасти 0 ~х!(а, 0(хе Ь, при гранпчных условиях шарнир- Р ного опирання ренцировать по крайней- мере два раза, что позволяет вычис. 'ять моменты.
При равномерно распределенной нагрузке р(х1, хз) р меем р„„= —," [1-(-1)")[1-(-1)"[, "(ь ряд (3.140) приобретает вид (2т — 1) пх! . (2п — 1) п«5 5!П 5!П 18р П го можно почленно дифференцировать четыре раза. 5л. Рассмотрим случай, единичной сосредоточенной силы, при' 'женной в точке (з!, 25). Тогда р(х!, хе) = 6(х! — э!)6(хо — $5), 'де 6(х) — дельта-функция Дирака (см. 2 36). По определению функции е 6(», — $!) 3!п — 5(х! = 3!и— тпх, .
тп3! е П о 'коэффициенты Фурье разложения (3.141) будут равны р — з1п 4 . тпрр! . ПППБ! пь П з(п —. о одставляя их в (3.142), (3:140), получаем ряд для прогиба (х1, хо, $!,45) в точке (х!, хе) от действия единичной силы, при'оженной в точке ($!, $5) (ф((нк!(ия Грина для шарнирно оперй прямоугольной пластинки). Пользуясь принципом наложе° ия ' решений, прогиб, вызванный произвольной нагрузкой Р(х„»5), можно выразить формулой е б и! (Х„»5) — ~ Щ! ~ р ($„$5) ш(х„»„$п зо) Х($5. о о При изучении изгиба круглых пластинок целесообразно исользоватв полярные координаты х! — — гсозО, хо = гз(пй. Для ,.записи в них тензора моментов М!1 заметим, что тензор момен:тов выражается через тензор и = Чав, компоненты которого :;в базисе е, = е! соз 9+ ео'з(п О, ео = — е! з(п 9+ ее соз О полу:"чим, записав д 1 д е — + ео-— 'дг г дз :: и воспользовавшись очевидными равенствами де, де „де, де, г' — О л дг дг ' дз "' дз 183 (3.143) в 'котбрых' до в н гг дго (3.144) 1 дв 1 дов оо=г д + —,* дво Тогда вместо (3.118) будем иметь равенства М„= — 0 (н„+»ноо), М,о = — (1 — ») г1н,о, Моо — Р (ноо +»н„), б) При шариирно-опертом крае прогиб и изгибающий мо' мент М„на нем должны быть равны нулю, что в силу ра'";: венств (3.143) и (3.144) приводит к условиям Ыов 1 дв в=Π— 4-+» — — =0 г дг , при г = Я.
Выполняя их, находим в= — (Я вЂ” г) — Я вЂ” г о Г6+» 6411 1,1+» Из (3.137) видим, что № является плоским градиентом ска- ляра — Ров, следовательно, в полярных координатах его ком- понентами будут У '= — 11 —, дав г д, о = — гг —, дз, (3. 145) где оператор Лапласа ! д г дх ! до л=» ° » = — — ( — )+ — —, г дг ~ дг! г' дв'' Изгиб круглой пластинки называется симметричным, если прогиб не зависит от полярного угла О.
Такой изгиб возможен, если граничные условия и нагрузка р(хи хо) не зависят от 8. Прогиб в этом случае должен удовлетворять обыкновенному дифференциальнаму уравнению четвертого порядка 1 д д 1 д дв р(г) г дг дг г дг дг В При равномерно распределенной нагрузке р(г)= р общим решением этого уравнения является в = во+ аг~+ ьго!и р + с!п ~., + 6411 г, (3.146) где через )г обозначен радиус пластинки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
