Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Возьмем на прямой Е точку А, а также точки В и С, расположенные на прямой Ь по разные стороны на одинаковом расстоянии 1/2 от.точки А. Если сь (), т — направляющие косинусы прямой Ь, то -( -Ф -д' -Ф) А(х, у, г), С (х+ —, у+-й-, *+ 1!-) ° Рассмотрим течение жидкости от источника, помещенного в начале координат. Оператор Лапласа в сферических координа- тах г, 8, Х, которые связаны с декартовыми по формулам х = г з!и О соз Х, у = г з(п О з!и Х, г г соз 8, 0 ( О а- л, 0 -Х<2л, Поместим в точке В источник обнльностн а(!),.л в тачке.
' С вЂ” сток той же, обильнасти. Тогда течение от источника н стока .. будет характеризоваться потенциалом вида д(0 1 (х — -~-) + (у Пусть 12-0, д(!) 1-~М(!). Тогда фее-а ф. Течение, характеризуемое потенциалом скорости ф, называется течением от диполя. Вычислим ф. Так как ! (( + — ",')'+( Т)'+(. — 2')'Г =. '1 1 г' а! р! т(Х вЂ” — — (~ х — ~у — ~г — ), г га а 2 2 2)' то ф= — 4, (ха+ур+гу) М (!) Учитывая, что д ! ко+уй+»т 'д получаем другое выражение потенциала скорости от днполя: ф М(!) д 1 4я д! г', (4.155) Линия'7. носит название оси диполя, а М(!) — момента ди- поля. В случае обтекания неподвижного тела потоком, имеющим скорость т = т, нужно найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям ~ =О, (х, у, г)ыЯ, Чф ч, х»+у~+г»-+оо, где 5 — поверхность тела. В, силу линейности данной задачи ее решение можно пред- ставить в виде ф Оаа» (!) ф! + Оа,д (!)фа+ Оа 2(!) фа~ где фг=ф!(х,у,г), ) 1, 2, 3,— функции, удовлетворяющие условиям Ьр,=О, О, (х;у, г)евВ, др, Чфг- 1и х'+У +г - оо, где 1! — орт координатной оси, ) ен (х, у, г).
Таким образом, задача для ф! — ф!(х,у,г) есть задача обтейання неподвижного тела при набегании на него установившегося' потока со скоростью, по величине равной единице. Обтекание сферы. Эадача принимает вид уф=о, дф О х2+ у»+ г2 до — -~0, — -+О, — -+К, х +у +г -ьоо, дф дар дф 2 г 2 дк ' ду ' дг где а — радиус сферы. Решение задачи ищем в сферических координатах, причем полагаем, что ф = ф(г, О). Уравнение Лапласа принимает вид — (г' в!и О ~ ) + (в!и О Р ) — О. (4,150) Пусть ф )гг+Ф, г=гсовО.
Тогда граничные условия запишутся следующим образом: ' — г=)гсовО+ —,=О, г а, ЧФ-» О, г- оо. (4.157) дф ' дФ Потенциал возмущенного движения Ф будет также удовлетворять уравнению (4.156). В силу условия (4.157) решение ищем в виде Ф = Р (г) сов О. Тогда Р(г) будет удовлетворять уравнению — (г»Р') — 2Р = О. дг Полагая Р = г», для определения й получим уравнение я(я +1) — 2 = О, откуда я! — — 1, й»= — 2. Следовательно, Р = Аг + В/г». Но Р(оо) = О, поэтому А 'О.
В силу (4.157) — 2 р1-~ — У, В г а уаа В=,—. Итак, имеем у да Р=— 2га ' Следовательно ф = ()гг + —,) сов О. (4.158) Обтекание тела вращения. Пусть поток со скоростью ч (!) набегает на тело вращения с осью г. В сиду линейности задачи потенциал скорости можно представить в виде ф-о *(!)ф!+о .(!) Ь где ф, и фа соответственно являются решениями следующих задач, За». »»0 За д ача 1. Лф! -0; + = О. («, у, «) ~- =З. )рф! — У1., «з+ + у'+ «'-Р оо. Задача 2. оф, 0; дф„' О, («, у, «)~З )рф, ' у „в+уз+ + «р-ь оо. Функция ф! характеризует течение при обтекании тела вра-, щения потоком, направленным на бесконечности вдоль оси «, а фр — потоком, направленным на бесконечности, перпендикулярно к оси вращения. Течение при продольном обтекании тела вращения будет освсимметричным.
Его можно описывать в цилиндрических координатах, связанных с декартовыми, по формулам « =рсозб, у р з)п О. Рассмотрим уравнение неразрывности в цилиндрических координатах др ! д(ррор) 1 д(ров) д(ром) — +- — '+ — — + ' -О. д! р др р да д« В случае установившегося движения несжимаемой жидкости с осевой симметрией оно принимает вид д (рор) д (ри,) (4.169) Дифференциальным уравнением любой линии тока является лр л« РР Р Уравнение (4.159) есть условие того, что выражение ррр!(« — Рплвр будет полным дифференциалом некоторой функции Ч'= Ч'(р,«): Ррр !(« — Рр !(р !(Чр, откуда дЧ' дч' Рр — Рр д«' о .др' (4.160) Функция Ч' Ч'(Р,«) есть функция тока.
Она принимает постоянное значение на линии тока и, следовательно, будет оставаться постоянной на поверхности, получаемой вращением линии тока. Расход жидкости через поверхность, получаемую вращением кривой АВ вокруг оси «, равен (4 ()() ч и 4(З Я (п„а, + п,п,) г(З. 3 3 Так как НЯ Р4ЬЛ, Ж вЂ” элемент дуги АВ, то в 4) 2я Р(орр)Р + р и ) Ж. Учитывая, что пр=й«(й, и,= —.йр!й, получаем Я = 2ррЧр )з. В случае потенциального движения при использовании цилиндрических координат дф аф р Р др' р д« ' ! дф во=-р р ав -Для течения с обевой симметрией имеем соотношения Р Р дф дЧ~ дф дЧ' (4.161) др д« ' д« др Функция тока удовлетворяет уравнению д|Ч' длЧ" 1 дЧ' — + — — — — =О, др' дг' р др Для течения от источника ф= — — —. Имеем д 1 4« )(рг+«~ д<р Ч р д~р Ч « др 4« (р~+ «Р) Ь а«4« (рР+ г~) Ь Сначала интегрируем второе уравнение из (4Л61) Ч'= ~ — +1(«) 4я !/р~+ «~ Затем в силу первого уравнения из (4.!6! ) — — -+!!о — ' д«4« (р~+«Р) Ь 4«(р~+ «Р)'~' откуда 1'(«) = О, 1 = сопз1.
Следовательно, для течения от источника Ч'= — — + С. . 4« !БАРР + «л В случае течения от диполя с осью « М д ! 4в д«' ~/РР+41 ' а потенциал скорости — уравнению дф арф ! ар — + —. + — — =О. др' д«~ ' р др Если известна одна из функций ф или Ч", то вычисление другой сводится к квадратуре, В случае поступательного потока ф = У«, поэтому Ч'= — У вЂ” + С. р2 2 чфс[~ 424У. (4.164) )2 (Ь) 2[~ = О. (4.16г) Имеем др 422 дг др ТР2 + гр дг 4к (р| („г2)"/2 ' В силу первого уравнения из (4.161) — ". — — ".
—:. Ы-д-'д ) ку — — . +и). Р2 422 (р2+ г2)22 Теперь. вычислим производную д|Р М Р2 — 2г2 р др 422 (р2'+ г2) Ь откуда ['(р) = О, 1 сопз(. Следовательно, для течения от диполя М 2 ч'.= — — р . + с. 422 (р| + г|) ь П р одол ьное обтекание.
Возвращаясь к задаче продольного обтекания тела вращения, представим функцию тока в виде суммы функции тока поступательного потока и системы источников (стоков)2 расположенных на оси г вращения. соответствующие постояйные в вырйжениях для функции тока подберем так, чтобы она равнялась нулю на оси г: 2 = — 2 21 2- —,' 1(гр+-,2-,~ — |), в 2|. В силу непроницаемости тела в Поверхность тела должна быть поверхностью тока: в — )2 (Ь) 2[Ь = УТ2 (г), (4.163) где р = Т(г) есть уравнение поверхности тела.
Таким образом, задача о продольном обтекании тела вра. щения сведена к задаче о нахождении р(() как решения инте. гральиого уравнения. Фредгольма первого рода при условии (4.162). П о п е р е ч н о е о б т е к а н и е т е л а в р а щ е н н я. Пусть тело вращения с осью г обтекаетея поперечным потоком со скп. ростью У| НаПРавленной КЗ бесконечности вдоль осн х. 36$ Представим потенциал скорости в виде суммы потенциала скорости поступательного потока и потенциала риореети еуМ- 'мерного распределения диполей, расположеннмх нв ови г е м42- менгом, направленным вдоль оси г в 2-и2 *2 — — '[ — 2-" — '2 - 22|22. 422 [р' + (г — 12)[ ь А Требуется выбрать т(ь) так, чтобы поверхность тела была поверхностью тока.
Запишем выражения для проекций скорости в сов В Г (г — Ц2 — 2Р2 — [ "|2) 22 422 [р'+ (г — 12)1 ь в Ъ- — 2 2( — ~ — '2. |2|22 422 ( [р2+ (г — 1)2[ч2 в ор — 0 з!п6+ в|по Г т( ) 44 422 [рр+ (с — 1)2[в Подставив рр и о, в уравнение для линий тока Фр рр лг р, ' мы должны удовлетворить условию, чтобы интегральные кривые этого уравнения располагались на поверхности тед» р - Т(г) $ 61. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ Рассмотрим задачу о 'произвольном движении твердого тела в жидкости, движущейся на бесконечности с заданной ско- роотью ч .
Пусть $2)ь — неподвижные оси. Распределение ско- ростей в теле относительно этих осей дается формулой и* У+еХг, где У = У(1) — скорость фиксированной точки тела, е = е(1)- угловая скорость, г' — относительный вектор-радиус. Нормальная скорость точек поверхности 5 тела будет равна и, У В+ е (г Х и), где и — орт внешней по отношению к Я нормали. Движение тела. возмущает заданное движение жидкости, ха- рактеризуемое скоростью ч . Пусть ч, =, У (Г). Задача об Оп- и граничным условиям д„— ".. ($. Ч, 1)~5, (4.166) дй ЧФ-~ Ч, $5+ т1'+~5-+оо. (4.167) Давление в жидкости определяется с помощью интеграла Лагранжа,— Коши — = — — — — 1ЧФ ~ — д4 + Р (1). (4.168) р дФ 1 Абсолютное движение жидкости можно рассматривать и в связанных осях хуг.
При заданной ориентации тела будут известны формулы преобразования координат $т)ь в координаты хуг. Обозначим Ф ф(х, у, г, Г), т1(х, у, г, Г), ~(х, у, г, 1), 1) =Ф(х, у, г, 1). В интеграле Лагранжа — Коши стоит частная производная от Ф по Г в неподвижных осях. Так как Ф«=Ф1В«+Ф~т1«+Юь (х«У«г) =сопз1« то, учитывая, что (вь т1о ь,) ~, „„„„„=и есть переносная скорость, получаем Ф« = Ф« — ЧФ н. Операторы Ь, д/ди, н Ч, 1Ч1' инвариантны относительно преобразования, соответствующего переходу от неподвижных осей' к связанным. Поэтому соотношения (4.165) — (4168) примут соответственно вид ЬФ=О, (4.169) — Ч(1) ° и+от(Г) ° (гХп), (х, у, г)ен5, . (4.170) ЧФ«ч (М), хе+уз+»5-+оо, (4.171) р = — Ф, — — 1 чФ 1т + и чФ + Р (г) — аь (х, у, г, 1), - (4.172) р где ч (т) — скорость жидкости на бесконечности, выраженная в связанных осях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
