Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При постановке задач о движении вязкой жидкости задаются начальные и граничные условия. В начальный момент задается распределение скорости ч(х,у,х,0)= чм а на границах жидкости скорость частиц жидкости равна скорости соответствующих точек граничной поверхности, Если искать решение в виде ч = Чф, ф = ф(х, у, з, 1), то, так как 61чЧф = Ьф=О, Ьч = АЧф=ЧЬф=0, уравнение (4.184) примет внд оч — — .Чр ос, р' т.е. движение вязкой жидкости может быть потенциальным. Однако лишь в исключительных случаях можно удовлетворить с помощью гармонических функций граничным условиям, которые выдвигаются в случае вязкой жидкости. Уравнения движения идеальной жидкости дч 1 — „=Р— — Чр, б(чч~О (4.187) обладают следующим свойством, Пусть ч = ч(х,'у, г,1), р = р(х,у, г, г) удовлетворяют си стеме (4.181).
Введем новые функции: ч'= —,ч(х, у, г, — 1), р'=р(х, у, х, Так как 0о'/Ж = до~Ф, Чр' Чр, то ч' и р' также удовлетворйют системе (4.187). Это свойство называется обратимостью течений идеальной жидкости, т. е. если движение идеальной несжимаемой жидкости возможно в одном направлении, то оно 26$ Учитывая выражения для компонент-векторов ч, ч„, ч„по- лучаем ;:возможно с теми же скоростями и давлением в противополаж:-:,Пом направлении. Движение же вязкой жидкости, вообще го"воря, необратимо, ибо Ьч' = — Ьч.
Работа массовых и повеРхиостных сил, йриложенных к объ,, ему т, ограинчекному поверхностью Я, равна ~ Р 'чр~(тш+ ~ Ро ' ч~(8л1 = 5 = ~ ~рР ° ч+ — (р„ч)+ — (р„ч)+ (р, ° ч)~о(чй ~ (р — ~ ° ч + Рх ' д + Ри ' д' + Рх ' д ) '(™ = = ~( ~ р —" Дт + ~ Ф от Й. х Из этого представления работы массовых и поверхностных сил видно, что она только частью идет на увеличение кинетиче- ской энергии. Другая часть рассеивается, диссипнрует, пере- ходя в тепло.
Эта часть энергии,.отнесенная к единице объема н единице времени, равна Ф, Диссипация энергии отсутствует лишь при движении жидкости как абсолютно твердою тела, когда компоненты тензора скоростей деформации равны нулю. Предцоложим, что скорость параллельна оси х, т, е. ох = = д,=0, а также Р= О. В этом случае система (4,184), (4.185) принимает вид до, ! др ар ар ао„ вЂ” — — — +чбо, — = ' =О, — =О. ~И р дх "' ду х ' дх Отсюда получаем, что о, = о„(у, х, 1), р = р (х, ().
Теперь имеем Здесь левая часть зависит от у, х, г, а правая. — от х, 1, сл вательно, Р- = 1Я, Р = ((1) х+ (, (1). В одномерном движении давление линейно зависит от х. Если известно давление в сечениях х~ и хь то 1= (Рз — Р,)/(х, — х,). При данном перепаде давления скорость о, будет удовлетворять уравнению 'Одномерные движения могут осуществляться прн течении жидкости в цилиндрических трубах нлн вне нх. Поэтому ннчн ые' условия записываются на контурах 1, получаемйх сетому граченнем цилиндра плоскостью х сопз!: о„!! и (1). Начальные условия имеют внд о„(у, х, О) = р(„х) Если движение жидкости в трубе установившееся, то о, удовлетворяет уравнению д'ос д'ох д„с + д, = -„'-, / сова!.
Для неподвижной трубы ос !! — — О П усть 1 — окружность радиуса г = го. Перейдем к полярным координатам г, 8, тогда задача примет вид: дсох ! д'ох ! до„ Будем искать решение, зависящее от г, о,= о,(г). Имеем Интегрнруя, получаем г — — г'+ А оос с!г 2!0 делим на г н интегрируем еще раз: о„— г + А!п г+ В. 400 Скорость должна быть ограниченной, поэтому А = О. Из уело.
вня на контуре  — — го. l 400 Итак, решение имеет вяд 4 0 о)' Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поперечное сечение трубы, равен Я= 4! о 0/В= — — г о = — — г'. и/ с / сР— З00 3 "Определим силу трения, действующую на стенки трубы, Сна- " чала имеем дос ! с с, На стенку будет действовать напряжение то = — Рсх = ,с Оср.
4р сс Воздействие жидкости на внутреннюю пойерхность части 1 хр — х! трубы определяется величиной силы Р = 80!го/ОР~ )~ =йгс/)хоср Вводя ковффнциент трения яо формуле получаем для него следующее выражение: о/ = 8/Ве, Ве о,ргс/о. Напишем уравнения плоского движения вязкой несжимаемой жидкости +о — +о — = — — +о — ++— до дос дос ! ду Г д'о д'ос Ч дх ° о ду р дх ~дх дус3' Яоо доо доо, ! дР Г д'оо дсоо 1 — + ос-~-„-+ со — „' — —.у-+о ~ — „;+-оо-4-г!, (4,!88) дос до о — + — О. дх ду Пусть поток набегает на контур 1,прн этом на бесконечностн и на контуре соответственно имеем ч!„ч„, ч!! О. Кроме того, надо иметь в виду еще н начальные условия.
Однако даже в случае стационарного течения жидкости задача обтекания контура вязкой жидкостью является довольно сложной. Поэтому возникает необходимость построения приближен. ного ее решения. Прн малых значениях кннематнческого коэффициента вязкости т Прандтль предложил учитывать вязкость лишь вблизи обтекаемого контура. Прн этом он нсходнл из того, что скорость вдоль обтекаемого контура меняется медленно, а в поперечном направлении — быстро. В результате этих предположений Прандтль получил упрощенные уравнения, опнсыдающне Движение жидкости вблизи обтекаемого контура — уравнения пограннчногослоя.Мизес дал систематическнй вывод этих уравнений, состоящий в следующем.
!(о~ [(г(8) 1 л),зй)з 1,( з Поэтому коэффициенты Ламе примут следующие значения! +ив з (в) ' взнедем новые безразмерные переменные н искомые функции: !1! 8 =з,з, о! Но!, '!з »=Н» ~ ( (! (> о з У аз! Р РЦз„,г Напишем уравнения (4,186) в ортогональных криволиней- .ных координатах д!, дз.
дз! ) н,из дчз 1, из,з дзз Н!и 'ддз дд! н,нзз дз! доз ач,, Н!Нз до! ~ Н! / да! Н!Изз да! дзз НЗН! диз дз! ' ди! доз дНз Н, а +Н,— +о! — +о — '=О. Ч, аз дз, ' ао, Пусть теперь д! —— 8, де= и, где 8 — координата некоторой точки, отсчитываемая по контуру й и — расстоян й ки до контура. — яние от это точПусть г= г(8) есть радиус кривизны контура — непрерыв- но дцфференцируемая функция, Расстояние между двумя близ- кнмц точками равно рвое уравнение системы примет внд 80! Изи! д(!! ИУо до! Уо ( Ио, дН! ° з в+НИ" Н!Ь дз Н!1.
дз НзК дл 2У днз аов Р— 7+ И д ( Н! ~) ди! 2У дН! доз Н!Ион~ дл ~ Нз,з дл Н!Из(.К дл дз И!Нз(.М дз дл з з + З 7 з 3 + — ',."'-,.' ( —.,', Ф) —:,",'. —:. ( —.,', ФВ Определим М и У условиями. Нз(!'. БУ(!з' = тЦМз Отсюда имеем У =1.~4Ре, У=УЯЧ~йе, Ке=УЦт, и л' : а также Н, = 1+ = —, Н, = 1. ~/цо з (ЬЗ) Перепишем второе и третье уравнения системы: ИУ ди ИУ до Уз доз И 1' У дН! У днз ') Т авт+ И!1. дв + НзМ дл И!Из ! ~Ф дл' П дз l Нзн дл Е И!1. дз Нзн д» Н,нзМ д» и з, 3 3 з 3 72з Издддд Н' У д Г Нз~ доз 2И дНз до! 20 дИ! до! И! 3 ! з( 0 до! У доз И днз У дН! з дз' Ж ' дл з'.
дз Н» — Н вЂ” + — Н вЂ” ~+ — о! — з-+ — —, ==О. Рассматриваемая система уравнений прн 1(е-з-оо прнннмает ,- вид до! до! до! 1 др дзо| — „+ — + аз — = — — + — *г а! , ! дв ди р дз д» 'о « др — О, дл — + — = О, до! доз дз д» причем надо иметь в виду граничные и начальные урловия, которые сохранят свой прежний вид.
В этой системе функция р = р(з) должна быть определена нз условия обтекания контура потоком идеальной жидкости. . Используя привычные обозначения з=х, п=у, о, -о„„о запишем систему уравнений движения жидкости в пограничном слое в виде до„до до„1 др дрок +о +о — = — — — +т — т-, оГ " дк . У ду Р дк ду до„ доу + — =о. Используя функцию тока, указанную систему можно свести к одному уравнению, Так как о, фу, о„— ф„то для ф= ф(х,у,1) получаем уравнение фог + фофок — фкфУУ = — —, дк + тфУУУ. 1 др В качестве примера рассмотрим случай продольного обтекания установившимся потоком полубесконечной пластинки, занимающей положительную часть оси х.
Здесь мы имеем уравнение фуфку — ф.фуу = офууу. Согласно подстановке Влазиуса '~~ 1/хьюг 1=~/Щ д, при которой ф.--,' ~/ — '„' К-КЪ ф,=УГ. приходим к следующей краевой задаче 'для уравнения Влазиуса: 2~о' + ~~о * О, ~(0) = ~'(0) й~ О, ~'(оо) = 1, Пусть ~ ьо(а) удовлетворяет уравнению Влазиуса при начальных данных: ~о(О)-~;(О) =О, ~,"(О) =1.
Эту функцию можно рассчитать численно, По данным расчета Вш ~ Й) = й 2,0854, йа = 1/0,332. у усо Функция вида ~= К.(й). „где а —. пр — оизвольная постоянная удовлетворяет уравнению Блазиуса, причем первые два условия ь( ) = ~ ( ) — ° у ; иены. Постоянную а определим из третьего условия ~ ( )= / '. Имеем рой= 1, поэтому В=й ь=а'. ',Определим напряжение трения: док ! у ок (/ь . ду 1„о Следовательно, т = а 1/РРО/х ° УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 1. В а л л а ядер С. В. Лекции по гндромехаинке. Л., Изд-во ЛГУ, 1978.
295 с. 2, Воль мир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М., «Наука», 1967. 984 с. 3, Г и и з б у р г И. П. Аэрогазодииа мика. М., «Высшая шкала», 1966. 404 с. 4. И лью ш ив А. А. Механика сплошной среды. М., Изд-во МГУ, 1971. 245 с. 5. Канторович Л. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М„Л., Физматгиз, 162. 708 с. 6. Ка гав В, Ф. Основы теории поверхностей. Ч.
1, Мл Л„Гостехиздат, 1947. б!2 с. 7. Кочин Н. Е. Вехториое исчисление и начала теизорного исчисления. М., «Наука», !965. 456 с. 8.,Кочин Н. Е., Кибел ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеха- ннка. Ч. 1; 2. М., Физматгиз,'!963, 583; 727 с. 9. Курант Р:; Г ил ьб ерт Д. Методы математической физики.
Т. 1. М., Гостехиздат, 195 !. 476 с. 1О. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродниамнки н их ' математические модели. М., «Наука»,' 1977. 408 с. 11. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика сплошных сред, М., Фнз. маттиа. 1954. 376 с. 12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М: Теории упругости. М., «Нзука», 1965. 204 с, 13. Лой ц я нский Л.
Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1970, .904 с. 14. Л у р ь е А. И. Теория упругости. М., «Наука», 1970. 939 с. 15. Мнхл ни С. Г. Вариационные металз) в математической физике. М., «Наука». 1970. 512 с. 16. Мусхелишвили Н. И Некоторые основные задачи математиче- ской теории упругости. М., «Наука», 1966 707 с, !7. Йо во ж илов В. В. Основы нелинейной теории упругости.
М., Гос- техиздат, 1948. 211 с. !8 Н о в о ж илов В. В. Теория упругости. Л, Судпромгиз, !958. 370 с. 19, П р а г е р' В, Введение в механику сплошных сред. М., ИЛ, !926. 3!1 с, 20. Работ ион Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М., «Наука», !979, 744 с. 21, Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1, 2. М., «Наука», 1976, 536 с., 676 с. ° 22. Смирнов В. И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
