Черных К.Ф. - Введение в механику сплошных сред (1050346), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Введем функцию ф = Ф вЂ” Ф,, Ф.. = ч (1) г, которая будет решением задачи (4.173) (4.174) (4.175) Аф-о, — (Ч(Г) — ч (1)) ° п+м(«) ° (гХп), (х, у, г)~5, Чр- О, х'+у'+г'-«оо, ибо дг/дп.= п, ределении потенциала скорости ставится следующим образом. Пусть Ф = Ф(й, т(, (, 1) — потенциал абсолютного движения жидкости прн использовании неподвижных осей. Эта функция должна удовлетворять уравнению Лапласа ЬФ =О (4.165) Функция ф = ф(х, у, г,() определяет движение жидкости, покоящейся на бесконечности, которое обусловлено движущим-' ся в ней телом с поступательной скоростью % = Ч(1) — ч (1) и угловой скоростью от(1).
Решение задачи (4.173) — (4.175) можно представить в виде 6 ф = Е (71(1) ф1(», у, г) 1 ! где 0 =(0ь ..., О~) =(%(1), те(1)), а функций фт фт(х, у,г)' является решением задачи Аф,=о, . дф -~ = Чт (х, у, г) ен 5, Чф, О, х'+ у'+ г' оо, причем Ч=(Ъ ' «ут)=(п гХп) Перейдем к определению гидродинамических -силы и момента. При этом можно непосредственно использовать интеграл Лагранжа — Коши (4.172). Однако путь применения законов количества движения н моментов количества -движения быстрее приведет к окончательным выражениям. Предположим, что жидкость является невесомой. Проведем произвольную неподвижную в пространстве $519 поверхность Е, охватывающую движущуюся поверхность 5. Количество движения жидкости, заключенной в объеме т между поверхностями 5 и Х, равно К р ~ Чад».
По теореме Гаусса — Остроградского К р ~ ~ «1)п «(о — р~ ~ «)уп «(5, ' здесь и — внешняя нормаль к соответствующей поверхности. Рассмотрим массу жидкости, заключенную между 5 и Е в момент т, и будем следить за ее движением. Изменение количества движения этой массы за время Н равно (к«+а~;Ц«".«)-то, его можно представить в виде «(«Цо,«,-«Ць ««1«-Ц«ю.«а. Х 5 .1 х ибо разность К(1+И) — К(1) есть изменение количеств движения жидкости, заключенной между 5 и Х (разные массы).
Пусть г' — главный век вектор сил давлени, др д намическая сила де" д~йствукицая со сто оны а на основании закона со хранения количе- — — "((РФпао — — ~~РФп (3+"" д — Ц п — Ц РУФ-р-г . Так как 3 в а — Цр а —.— ~Цела +арф э~.а, а также ввиду неподвиж движностн поверхности Х вЂ” 111фпл(о 11Фапйг х то получаем А е*-З ~ ~ РФп ЫВ + р ~ ~ (- ! УФ ~а и — УФ ф 1 д момента выражение получаем для гн го для гндродииамического И вЂ” „, ~) РФ (Р Х ~) Б+ Р ~ ~~ ~Х (~! УФ ' — УФ вЂ” „ 3 ~ Уф ~а Р,п,~) —,абсолютный векто - а ектор-радиус точки пове х о а е хности Напомним, что Ф ф+ +У (г) р.
Тогда ))ф,ал-Ца аа+Цч„(а~ юж 3 3 ~ У„(т) рплБ=ЬУ (а з Ь- объем тела, л~.а-,ч+$' лхчт-юю (У й+Р (аа . л о (а.(а юх )ю-ллха.(о, О, Р,--й Рдт. Итак, имеем ()аул-() а лала И, (Р х л л - (~ а(Г х л а Ь п + 0р, Х У (г). Ф .а~о+О( — ',). где е — некого ый п ры постоянный вектор. Т ор. акже имеем Уф= — — 3 — 3 да ел Теперь путем непос е ся, что осредственного вычисления ления можно убедить- 1пп ~~ (2 )УФ)ап — УФ вЂ” ) а(а О.
Следовательно, получим + лЧ лв ла На сфере Х векторы Р и п кол 1 - - д коллинеарны, позтому ~ Р Х Я ~ уФ ~ап — уФ д д — — а(о. в — — = — Р ХУФ вЂ” 'по дл 'Затем имеем Е - дЖ Ф йе е а (е'л) Р + —,(и У) — 3 — (п У) — „и+У„(п У„), (4. Рб) Следовательно, — — 0 = — — +р0 л„+Р ~~(1!УФ~ап — дФ ~ 'аа 2 .дл 1 0 ла лч РОРл Х вЂ” + Р ла Р 2! УФ ~а ив УФ ~4 — УФ вЂ” „Й~+р0(п, Х У„), где  — р ~ ~ фи НВ, (, = — р 3 У Пусть Х вЂ” с е — ера большого рядну .
Т е са р. огда ЧФ=Чц+У„. 'д -++У„п. Гармоническая функция цня е градиент которой на беско , в окрестности бесконечно ение удаленной точки получим И!1 М1=- и,'+РОР,ХФ+Ч„ХВ. связанных осей. Тогда рю, !1= !+ Рю Х В, где ! н й! взяты относнтельн л но начала дВ Л~„Х И'! йй-(-Р,Х~ — — „, +Р() — „") = — —,' — Х! — '~' ХВ— ~1~ дв — РюХ вЂ” „+РВ(Р+г,)Х вЂ” „"+Ч ХВ. В связанных осях гядродннамнческне сила ннмают внд е сила н момент прн. А — — — еХВ+р0 — „ д'В дУ 414 йа — м ~~ ! — (Ч вЂ” Ч ) Х В + рог«Х — ".,(4.180) 1! ' (4.179) В результате приходим к тому, что Нш Ц РХ(з)ЧФ1'и — ЧФ и ) до=!пп —,~~РХ(2Ч„(е и)— 6~00 ' — е(п ° Ч )]4(о.
Оставшиеся интегралы вычнсляются с д — Ф ле ующнм образом: ) Р Х «1 ' «14 11 4 Р (Р Х «14- Р 1« Х «14- д + ею —,(РХЧ„))(г(т= ~ е~Ч„от= — пр'(е Х Ч ) ~~ Р Х е(Ч„° п) 4(о= ~ (!(Ч„! —,(Р Хе)+Ч„„— „(РХ )+ + „ю д (РХе)~~1Ь=~~Ч„Хе4(т=,— прз(Ч Х~). з Таким образом, (- 71 1пп ~ Р Х! ~1ЧФ1юп — ЧФ ~„)4!а — 4п(Ч Хе). Выражение для момента примет внд «П1 иУ ,= — — „, +РОРРХ д", — 4пр(Ч„ХЕ)+Р!7(П,ХЧ„).
(4.177) Воспользовавшись соотношением 4пе= — —  — 0(ц — Ч ) ! ««РР (4.178) д« Здесь — — символ и Н ронзводной в связанных осях (7 — б тела; г— х; — о ъем , — относнтельный ради с-векто = 'ч4, 4ю', В = (ВР !). Тогда Ц= — Р~~ф д'„' ~БЗ-~хц(~1(!), 3 1-1 дЮР =-И Ф- и Присоединенные. массы 1 оп е еля Уп р делаются нз решения соответТеперь остановимся на выводе соотношения 4пре = —  — р0(н, — У„).
По определению В= — Р ~~ фп ~З- — Р ~~ — "' бЗ Возьмем сд«е Е с е ф ру 1 ц нтром в начале связанных осей. В бласти между 5 н Е1 функции я г га монн се. огар~ынческне, поэтому со- ~~ (фиг — г-~е) !о=О, и+и Пе еп ш ерепншем предыдущую формулу иначе — ~ ~ (ф д" — г д„) 1Ь+ ~ ~ (ф д, — ' г д ) п4т О.
Теперь нмеем =- Ц" д'" — Ц( д.-'В"' ХР Так как дЧР— (П вЂ” У~~) П, (ХР й« Х) Ея о« ~~ Г д 4Б (И« — Уао),У. Для вычисления второго интеграла у а учтем равенства Тогда Р ' И, 11(«Р "ъ-)4 4 4 Таким образом, йриходим к соотношению (4.178). Движение элли псоида, Пусть дан эллипсоид с иелуееямн а, Ь, с х' у» г' -т+ —, + 1.
' От декартовых координат перейдем к эллипсоидальиым Л, р, », причем Л = О соответствует заданному эллипсоиду. Связь между ними дается формулами г (а»+ Л)(а~+)»)(а»+») (Ь»+Л) (Ь»+ !») (Ь +») (а' — Ь ) (а — с') ' У (Ь' — с') (Ь» — а') Коэффициенты Ламе равны Нг ! (Л вЂ” (») (Л вЂ” ») г ! (!» — ») (и — ») 4 (а + Л)(Ь»+ Л) (с»+ Л) ' 4 (а»+(») Ь + и) (с»+ )» Нг г ! (» — Ц(» — и) 4 (а' + »)(Ь' + »)(с' + ») ' Оператор Лапласа в криволинейных координатах -1»1ри атом имеем ~ В ) 4 (Л вЂ” )»)' ( ~ ~,, ) , К» = (а' + Л) (Ь' + Л) (с' + Л). Уравнение для потенциала в эллипсоидальных координатах примет вид (~- )К дл(К дл)+( -')К ди(Ка+~н)+ + (Л вЂ” р) К,— ~К» -82-) О.
(4.181) Пусть а а(Л,)»,») есть некоторая функция, удовлетворяю. щая (4.181). Будем искать другие 'решения в виде Ч» а Х(Л). Вычислим 3~ (К» Я ) Х дЛ (К» д») +2К»-дЛ 'Ь)Л(+а дЛ дТ-+аК» д»т, В результате подстановки в (4.181) получим 2К» дЛ дг +а зГФ+аК» дд' да дХ, дК» д' Отсюда имеем -»-1п(К -~-) =- — —. (4.182) »» а» В силу граничного условия ааг г лх С! а л з(1» Аэ=адс 4! (а +")» Следовательно, а = Л (Л) ) (р, »).
Затем, в силу '(4А82) ддл 1п(К В = — 2 А-= Л !ил Интегрируя, получаем 1п (К» -Д ) 1п Л г+ 1п А, 4» откуда следует, что Х = А ~ —, + В. Для функции.»р = х имеем а' =(а'+ Л)(а'+)»)(а'+»), Л'=а'+ Л. Для функции ф =ух аг = (Ьг + Л) (Ьг + )») (Ьг +») (с» + Л) (сг + р) (сг +»), Л~ = (Ь' + Л) (с + Л). Таким образом, получаем следующие эллипсоидальные гар- .монические функции, убывающие на бесконечности: ° » — С»*!», . »»А»»» Поступательное двйжение эллипсоида. Пусть эллипсоид движется вдоль оси х со скоростью У. Граничное дч условие — =(» соз(п, х), (х, у, х) ен Я принимает вид дэ дх д д Н д Л Л О ибо Лп = Н»ЛЛ, соз (л, х) = ~ —" Н~ дЛ Рассмотрим функцию Вращательное движение эллнпсонда.
Пусть эллипсоид Л = 0 вращается с угловой скоростью аь вокруг оси х. Скорость точки на его поверхности равна Х.--..)+у .й. Граничное условие д = [ — 2соз(нь у)+ усоз (нь х)]та», (х, уь х) ж Зь принимает вид дф у ду дк х -у-= ! — х — +у — ~~аа»ь Л-О. д ~ дх дх ) ьь дх Полагая ьр Саух) (ь,+ (,,+ и учитывая, что ь ду 1 у де 1 Е дь 2 Ьа+Л дх 2 со+А получаем ьа Т1 1~ 2 1 Ь' — са Г 4Л ~'Ы~ в) ' ~ь»Ь ь * "* '=''!ьььтььь»аььа; 'о Имеем представление 1 ььь ььоаьь ь' — '(ь аь утт) поэтому 1 Во — Со Ьо=- —— Ь' — со аЬс ьь ьь в, ь.! ь„, „, . с,-.ь.ь„„ о о Теперь имеем У Ьа+ со Ва — Со 2 откуда получаем (Ьа — са)а а ~»а с 2(ьа ) ( (ьа 1 а)(В С) Окончательное выражение для потенциала скорости; Ьр аьы 2 (Ьа — ) + (Ь + Са) (Ва — Со) У ' ' Ьрьавать», Вычисление определяем присоединенных масс.
Сначала Ль! р — ~ ~ х соз (и, х) а!о. Аа Следовательно, 4 Ао 4 В, 4 С, Лн — прайс —, Лм — прайс —, Лм = — праЬс — ' 3 . 2 — Аа' 3 2 — Во ' м 3 2 — Со' Затем находим р (Ьа — са) (Ва Со) 2 (Ьа — са) + (Ь'+ с') (Во — Со) С помощью формулы Гаусса — Остроградского получаем ~~ух(уу — гр) ь(о ~(у' — ха)ь(т, з (уа — га) Ыт = — яадс (Ьа — са). 13 Окончательное выражение для Лаа будет следую!цим! 4 яраЬс (Ьа — са)а (Во — Со) Л 16 2(Ьа — с ) + (Ь + са) (Ва — Со) В силу наличия плоскостей симметрии Лп = О, ! ~ 1. ат дт» дту дт р — =рр — рр+ — + — + —, а! дк ду дк б!ту О, да» .
дат да» р — Ф+ ь(!т о(+ ре, аУ У=сТ, 4(=' — йтТ, е=О, дт дт дт Ф т — +т — +т дк е ду а де ° $32, ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим общие свойства движений вязкой жидкости, Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается с помощью следующей системы уравнений: Р) (дх ) +2(д' ) +2(д ) + ( ду ах ) ( чх + ду ) + ( д + дх ) ~' Если 1х и й постоянны, то дч - — =Р— -Чр+чМ, ч= — ", о' 41чч=0, аг рс — = — ЙДТ+ Ф. ~И (4.184) (4.185) (4.186) Первые два уравнения системы (4.184) — (4.186) не- содержат температуры. Вместе с тем температурный режим зависит от динамики жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
