Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(20.6) Р = — р1, кроме того отсутствуют намагниченность (р = 1) и поляризация (х = 1), но могут протекать токи. Уравнения движения для такой модели записываются следующим образом: ~д~ р~ — + о бгас1 о~ = — дгаг1 р+ рР+ р, ~Е+ — х Н) + — х Н, дг с с (20.7) причем последнее слагаемое в правой части присутствует в силу неинерциальности системы отсчета. Имеются также семь уравнений Максвелла (19.9): -Ф 1 дН - 4зг-, 1дЕ го1 Е = — —, го1 Н = з+ —,, йчЕ = 4лр„(20.8) с дг с сд~' и векторный закон Ома — 1 ~ =о Е+ — х Н +р~.
с (20.9) С учетом закона теплопроводности Фурье для изотропного тела (15.14): ® = — ЛТ„, (20.10) ~Ь р ар рТ = ро+ Л1~Т+ — + з ггг р Ю (20.11) Если температура меняется незначительно (Т = То), то левую часть (20.11) можно линеаризовать вблизи Т = То и получить уравнение теплопроводности, обобщающее (15.13): рс, = рц+ ЛЬТ+ — + ~ Е.
(20.12) аТ р ар О,г ,о Ю Определяющие соотношения идеальной жидкости (15.21) (20.13) замыкают систему уравнений МГД. Действительно, подсчитаем число неизвестных функций и число выписанных уравнений. уравнение притока тепла (20.5) при наличии электромагнитных сил запишется в виде (ю* = О) 216 Деки,ия 20 В число неизвестных входят векторы скорости ю", напряженности электрического поля Е, напряженности магнитного поля П, плотности силы тока 1, а также скалярные величины: массовая плотность р, плотность заряда р„ давление р, температура Т и плотность энтропии а, т.е.
всего 17 величин. С другой стороны, имеются: одно уравнение неразрывности (20.1), три уравнения движения (20.7), семь уравнений Максвелла (20.8), три соотношения Ома (20.9), одно уравнение теплопроводности (20.12) (либо (20.11)) и два определяющих соотношения (20.13), т.е. всего 17 уравнений. Следовательно, модель МГД для идеальной жидкости получилась замкнутой. Несложно дать обобщение модели МГД на случай вязкой сжимаемой жидкости. Для этого вместо (20.6) необходимо записать определяющие соотношения (9.51) Р = — р1+ т = ( — р+ Л~й~о)1+ 2р~й (20.14) где Л~ и р~ — коэффициенты вязкости, 7. — тензор "вязких" напряжений (9.49),  — тензор скоростей деформаций (9.50). Тогда уравнения движения (20.7) дополнятся новыми слагаемыми: ~д~ р~ + й бгас1о) = — дгаг(р+ (Л~ + р~) дгаг1 йчю+ д1 -~- р~ ьп~- рР -~- р, (е ~- — х Й~ -~- — х Й, (2015) с ~ с а в правую часть уравнения притока тепла (20.11) согласно (20.5) войдет функция рассеивания (15.39) (ведь теперь модель необратимая): й = т: О = Л (йчо)2+2р 1гф = Л~ + — р~ (йчо) + 2р~.0 .
(20.1б) 2 3 Здесь .Π— интенсивность тензора скоростей деформаций (15.34). При этом число уравнений и число неизвестных функций не изменятся и останутся равными 17. Приведем теперь еще одну классическую связанную модель электромагнитотермомеханики, а именно модель электротермоупругости (ЭТУ) [13, 19~. Будем рассматривать, как и ранее, Связанные модели электромагнитотермомеканики 217 малые деформации 1 е1, = — (иЦ+ из,,) (20.1?) и считать тензор напряжений симметричным (сг,; = ~т,;). Некоторые кристаллы (пьезоэлектрики) обладают свойством прямого пьезоэлектрического эффекта (прямого пьезоэффекта), который описывается определяющими соотношениями, связывающими вектор поляризации Р с тензором напряжений о: Езй ~гзй~ 1.
(20.19) Такими эффектами обладают кварц, сегнетова соль, пьезокерамика (например, титанат бария) и некоторые созданные в последнее время композиты. Эти материалы используются в различного рода преобразователях, микрофонах, стабилизаторах частоты, адаптерах, вибраторах, громкоговорителях и др. В приборах, регистрирующих температуру (например, термопарах), часто находит применение пироэлектрический эффект (пироэффект) — возникновение электрической поляризации Р под действием температуры: Р1 = Рг'А '>-'1 = ~" ~'О> (20.20) где Р, — компоненты материального пироэлектричеокого вектора. Токи, в том числе и токи смещения, не учитываются, отсутствуют также и электрические заряды.
Поэтому можно воспользоваться уравнениями электростатики, являющимися следствиями уравнений Максвелла (19.9): го1 Е = О, йъ .О = О. (20.21) Из (18.38), (20.18) и (20.20) следует -Ог = Е, + 4~гр; = '~уЕз + 4~г(~уИз~ + Р~Я. (20.22) Р1 — ~1З йо З й. (20.18) Тензор третьего ранга с компонентами а; 1, называется тензором пьезомодулей. Заметим, что о11 ~ отличны от нуля только для анизотропной среды.
Если под действием электрического поля кристалл изменяет свою форму, то присутствует так называемый обратный пьезоэлектрический эффект (обратный пьезоэффект): 218 Деки,ия 20 (20.24) Тогда (20.27) дС! = — ЯМТ вЂ” я, йт;- —.О, йЕ;. Введем потенциал С~ такой, что ~С2 = ~г~Т+ ~г,у оиру + 1-1г г1Ег = — Ядд+ е; Йо~+.О,*ЙЕ;, (20.28) ') Заметим, что уравнение (20.25) не может быть учтено, ибо из него следует тождественное удовлетворение первого соотношения в (20.21). Уравнения движения запишем в виде д~и; д1 (20.23) а уравнение притока тепла ~Ь 1 Р = [Ря + (ЛгуТ,у) г] . гй Т Из первого соотношения (20.21) следует существование электрического потенциала р (18.22): Е = — дгас1 р. (20.25) Таким образом, неизвестными величинами являются ~т, ~, й, Е, .О, р, в, Т, т. е.
всего 24 величины. Для их определения имеем шесть соотношений Коши (20.17), четыре уравнения Максвелла (20.21), три уравнения движения (20.23) и одно уравнение притока тепла (20.24), т. е. всего 14 уравнений ') . Поэтому для замыкания системы необходимо привлечь десять определяющих соотношений. В лекции 14 уже были введены некоторые термодинамические потенциалы, зависящие от различных параметров.
Рассмотрим восемь таких потенциалов, каждый из которых зависит от механических и электрических параметров. Это внутренняя энергия Е(Я,к,.О), Е~(Я,я,Е), свободная энергия Гельмгольца Е(Т,~, О), Г~(Ь',в, Е), энтальпия Н(Я,сг,.О), Н~ф,о, Е), потенциал Гиббса С(Т,а.,.о), С~(Т,~т, Е). Любой из этих восьми потенциалов выражается через другие с помощью преобразования Лежандра. Так, потенциал С~ можно выразить через внутреннюю энергию Е с помощью преобразования С~ = Š— ЬТ вЂ” о,,~„— КЕ;.
(20.26) Связанные модели электромагнитотермомеканики 2!9 где для удобства использована величина Х~,* = .0;/(4зг). Для нее из (20.22) имеем 1 О~г ~'~ц Ез' + ~~у'ио~'1с + Рги. (20.29) 4~г Вместо энтропии Я будем рассматривать ее плотность а, для которой справедливо соотношение (15.71) Т рв рс 1п +о о (20.30) Т Если температура Т не очень сильно отклоняется от ТО, т.е.
д « ТО, то вместо (20.30) можно записать д Рв = Рср + Оуоц'. О Из связи дифференциалов (20.28), очевидно, следует, что дС2 ~ дС2 дС2 = п* (20.32) дТ ' до, '~' дЕ, Вторые производные от С2 по основным параметрам дают д С2 (дЯ'~ ср д С2 д~гз д~2 ~,дХ( ~О д0 до'и д С2 д~ ~г ~~О дЕдЕ, дЕ 4зг (20.33) компоненты материального вектора пироэлектричества р;: д2С дД* д~ дЕг а также пьезоэлектрические модули о1; ~. д С2 д~з~ дЕ,до,~ дЕ, (20.35) (20.3б) Здесь,У, ~~ — компоненты изотермического тензора упругих податливостей.
Учитывая "связанные" эффекты, выпишем вторые смешанные производные С2. Получим компоненты тензора теплового расширения а;з: д2С Щ дТдо ' ' дТ (20.34) Лекция 20 О дС2 д С2 С2 = С2+ ', Рг~+ ~ ~ Рц'Ры. ':~Р у' с~Рц дРИ (20.37) Так как любой термодинамический потенциал определяется с точностью до константы, без ограничения общности примем СО = О.
Кроме того, в некотором равновесном положении,ио = 0 равна нулю обобщенная сила (дС2/др, )(по) = О. Таким образом, на определяющие соотношения не оказывают влияния первые два члена разложения (20.37). Используя данное разложение, можно записать д С2д д С2 д С2 — дТ2 + дТд~~у~с~+ дТдЕг д С2 д д С2 д С2 (20.38) д С2 д д С2 д С2 дТдЕ; дЕ:,доы ы дЕ;дЕ или, в терминах плотности энтропии з, учитывая (20.33) — (20.36): рср Рз = д+ ~~г~о~у + ЯК Т (20.39) ~у = оруд + 7уы~ы + Аау'ЕЬ1 Равенства (20.39) и являются недостающими десятью определяющими соотношениями, о которых шла речь в этой лекции при постановке задачи ЭТУ.
Если напряженность электрического поля отсутствует, т.е. Е = О, то определяющие соотношения (20.39) принимают вид рз = д+ а,~а;.~, а,; = я,~ — а,;д =,7,~ысты (20.40) Тд Потенциал С2, как и всякий термодинамический потенциал, зависит от термодинамических параметров состояния, например тензора второго ранга р.
Чтобы получить физически линейные определяющие соотношения, будем считать С2 квадратичной функцией от р: Связанные модели электромагнитотермомеханики 221 т <~тп = Стпц'(~г~ <-"уд) = Стппу~ц (20.41) или, с учетом обозначений (15.69): (20.42) отп — Стпу~ц ~тпд. Итак, определяющие соотношения линейного термоупругого тела, о которых говорилось в лекции 15, получаются как частный случай соотношений (20.39). Подставим теперь (20.42) в первое равенство (20.40): рв = — д+ о, (С; ь1~1,1 — Я д) = — д+ Дц~1,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
