Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 32
Текст из файла (страница 32)
[пг] = !!! !~! = О [ог7пу] = [оу]п3' = (ого оиру)п! = О (22 1) Величины [и;] и [о., и ], заключенные в квадратные скобки в (22.1), называются скачками перемещений и напряжений при переходе через поверхность Хо. Если при переходе через Ео терпят разрыв перемещения, или скорости, или температура, то Ео называется поверхностью сильного разрыва. Если же эти величины непрерывны, но в точках х Е Ео терпят разрыв их производные по координатам и времени, то Хо называется поверхностью слабого разрыва. Пусть движение этой поверхности задается соотношением ,„(~ 1 2) (22.2) Лекция 22 — ~(т",~) Л' = Л'+ ~о„дЕ, (22.11) и применим ее последовательно к жидким объемам Г и 1'О (рис, 61): — ~(т, ~) Л' = — Л'+ ~~„'ЙХ+ ~'ВдЕ.
(22.12) И дг' ~Й до — " У(т",~) сЛ' = ~ — Л'+ ~ ~о„"ИŠ— г'О.О ИХ. (22.13) Ю~ ' ~ д1 ,1О О ,!О ~о Здесь ~о и ои — значения нормальной составляющей вектора скорости на поверхностях Г и ЕО соответственно. Выполним предельный переход при Г = Г 01'Π— ~ О, при этом à — Ео, Г' — Хо. Обозначим ~' и гО предельные значения непрерывной функции Д(т, ~) при стремлении Ъ' — О со стороны Г и Г' соответственно.
Тогда ~о,'„ИХ вЂ” + — ~'о' дХ, Я,' ИХ вЂ” ~ — ~Оси ИХ. (22.14) О О О Из (22.12) — (22.14) получим 1пп — 1' о(Ъ' = 1пп дЪ' — ~'(о'„— О) дХ + д . д~ г-о Ю 1-ю д1 + ~О(ои — .О) дХ. (22.15) т-о Проделывая ту же процедуру разбиения Ъ" на Г и Г' с последующим устремлением Г к нулю в (22.9), где положим Полагая а, А, В, С такими же, как в (14.59) — (14.63), из (22.9), (22.10) получим интегральные и дифференциальные форму- Ъ' лировки всех пяти постулатов МСС. Рис.
61 Воспользуемся леммой о дифференцировании по времени интеграла по жидкому объему (6.4): Условия на поверхностях Разрыва. Постановки краевых задач 235 ра = ~, будем иметь 1пп — ~А" = 1пп РАсЛ'+ (В» — В„') ИЕ+ т-ОЮ !' О Ъ' [«' ~о + 1пп С Л'. (22.16) Ъ' — «О '!« Если величины ~, А и С ограничены, то все объемные интегралы в (22,15) и (22.16) стремятся к нулю. Таким образом, в каждой точке поверхности ЕО справедливо соотношение для разрывных на ЕО функций ~ (~» — ~': — ~Я): ~»(ю» —.О) — Г'(о' —.О) = В» — В' называемое условиея на поверхности разрыва.
В формулировках каждого из известных постулатов МСС объекты ~ и В имеют конкретный вид (см. (14.59) — (14.63)). Рассмотрим условия на поверхности разрыва (22.17) применительно к этим постулатам. 1. Для первого постулата (6.8) (закона сохранения массы) г' = р, В = О. Получающееся из (22.17) скалярное соотношение Р»( .» — -О) = Р'( .' — О) (22.18) описывает скачок плотности при переходе через поверх- ность ХО.
Если р» ( р', то имеет место скачок разрежения, если же р» ) р', то скачок уплотнения. Из (22.18) видно, что если и,", = 0 (распад разрыва), то о„' (.О, 2. Для второго постулата (6.34) (закона об изменении ко- личества движения) ~ следует заменить на вектор ро, а В„на У„= Я и,. = о; и К. Из (22,17) получим Р ~г' (оп О) Р ог(~п ~О) = [!" гз]пз> (22.19) или, используя предыдущий закон (22.18), р'(„оаэи„'— В) = ~о,Дп .
(22.20) 3. Для третьего постулата (?.2) (закона об изменении момента — « количества движения) ~ заменим на г х ро, а В на р х Я„: >> «~ р">; »«(~)и — о) — р'х,ф~~„'— о)) = »,«х>',о!. '~>« . (22.2!) Видно, что три соотношения (22.21) являются лишь следствиями соотношений (22.19). Лекция 22 4. Четвертый постулат (14.44) представляет собой закон сохранения энергии в МСС. Положим ~ = е, В = — !7„и из (22.17) получим скалярное условие р е ('а — .О) — р е (!!,„— .О) = — (!7,' ц) пг (22.22) или, с учетом (22.18), р [е](т!„†.О) = — Цп,. (22.23) Этот же постулат можно записать и форме (14.43), при этом 7" = е+ о 2/2, В„= У„о — ц.„.
Тогда, принимая во внимание (22,18), '[ (~д О) — ~~ у!! Чг] аг ° (22.25) 5. Для пятого постулата о притоке тепла (14.50) необходимо положить ~ = рв, В„= — д„(Т: I! ! р" в" (аи', — .О) — р'в Я вЂ” .О) = — — ' — — ' и,, (22.26) или, с учетом (22.18), (22.27) б. Обратимся теперь к соотношению электромагнитодинамики (19.25), для которого ~ = (ж Е]2+ р Й]2)/(8~г), В„= — Я,„, где У вЂ” вектор Пойнтинга.
Условие на поверхности разрыва (22.17) запишется следующим образом: [(х~е .!- р~Й ~)(ю„— В)] = — 8т(Я;)и;. (22.28) В заключение рассмотрим вопрос о так называемой постановке задач для изучаемых в этой книге моделей сплошных сред. Данному вопросу достаточного внимания еще уделено не было, так как для этой цели требуется знание более серьезного математического аппарата, чем тот, который использовался до сих пор. Условия на поверхностях разрыва.
Постановки краевых задач 237 Начнем с простейшего примера. Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение а и ,=У() (22.29) при х > О. Заданная функция г(х) называется правой частью уравнения (22.29). Чтобы решение было единственным, надо записать дополнительные условия (начальные данные) при х = =0: аи и=С1, — =С2. (22.30) дх Задача (22.29), (22.30) называется задачей Коши. Очевидно, она имеет единственное решение и(х) = (х — у)1(у) с~у+ С2х+ С1.
(22.31) О Если решается уравнение (22.29) на конечном отрезке 0 < х < 1, то дополнительные условия в граничных точках отрезка можно записать в виде и(О) =С, и® =С. (22.32) Эти условия называются краевыми или граничными, а задача (22.29), (22.32) называется краевой задачей. Ее единственное решение таково: х и(х) = (х-у)Х(у)ау+С +-', С,-С, — (г- у)Х(у)ду о о (22.33) В механике принято называть начальными данными (начальными условиями) величины, которые задаются в начальный момент времени 1 = 1о или 1 = О.
Если уравнения МСС содержат производные по времени, то они называются начально-краевыми (нестационарными или, иногда, динамическими). Правые части таких уравнений, а также заданные величины в начальных и краевых условиях называются входными данными. Статические задачи (как и стационарные) не содержат в своей формулировке времени. Для таких задач начальных условий во "входных данных" нет.
Если же время входит как параметр в правые части и краевые условия, но уравнения не содержат производных по времени, то Лекиия 22 такие задачи называются квазистатическими или квазистационарными. Начальные условия для них также не задаются. Область Г, занимаемая сплошной средой, может быть ограничена замкнутой поверхностью Х, но может быть и неограниченной. В последнем случае нужно задавать еще дополнительные условия на бесконечности. Может случиться, что поверхность Х содержит особые точки (например, ребра или конические точки). Тогда в них также должны быть заданы некоторые дополнительные условия.
Не будем здесь рассматривать вопрос о необходимом числе краевых и дополнительных условий, а приведем примеры для разобранных моделей. Рассмотрим сначала модель идеальной жидкости (лекция 9). Уравнения движения Эйлера (9.9) в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид (22.34) В силу того что в уравнениях (22.34) присутствует только первая производная по времени, начальное условие при ~ = О для вектора й будет одно: О1 = Ог. (22.35) В правой части уравнений (22.34) имеются производные по координатам от одной скалярной величины — давления р. Следовательно, граничное условие для р на поверхности Е с единичной нормалью й будет одно: (22.36) Граничное условие (22,36) называется статическим.
Если же идеальная жидкость движется в области Г, ограниченной поверхностью Х, не протекает сквозь эту поверхность и не отрывается от нее, то граничное условие (условие непротекания) на Х будет, разумеется, тоже одно: (22.37) Граничное условие (22.3?) называется кинематическим. Его единственность физически оправдана тем, что в идеальной жидкости на касательные составляющие вектора скорости й поверхность Х не оказывает никакого влияния (вспомним парадокс Эйлера — Даламбера). Условия на поверхностях разрыва.
Постановки краевых задач 239 (22.38) Что касается начальных условий, то и для вязкой жидкости они записываются в виде (22.35). Однако в силу того что в уравнениях (22.38) содержатся вторые производные по координатам от вектора скорости, граничных условий на поверхности Е будет три. При этом кинематические условия (9.55) (условия прилипания) (22.39) означают, что на границе Х все три компоненты скорости жидкости совпадают с заданными компонентами о," вектора скорости твердого тела, движущегося вместе с Х.
Статические граничные условия (9.56) выглядят следующим образом: (оюза) о (22.40) Разумеется, и здесь можно сформулировать смешанные граничные условия. Итак, задача о движении вязкой несжимаемой жидкости заключается в отыскании трех компонент вектора скорости ю и давления р из решения трех уравнений Навье †Сток (22.38) и уравнения несжимаемости (9.10) при удовлетворении начальным данным (22.35) и граничным условиям (22.39), или (22.40), Иногда оказывается, что поверхность Е разбита на две части: Х1 и Х2, такие что Х10 Х2 = Х, Е1 Г1 Е2 = О. При этом на части поверхности Х1 задано статическое условие (22.36), а на части Х2 кинематическое (22.37).
Если же область Г неограничена, то, как уже говорилось, требуется задать дополнительные условия на бесконечености. Теперь можно говорить о постановке задачи, например, для идеальной несжимаемой жидкости. Эта задача заключается в отыскании трех компонент вектора скорости о и давления р из решения трех уравнений Эйлера (22.34) при учете одного уравнения несжимаемости (9.10).
При этом должны удовлетворяться начальные условия (22.35) и некоторые граничные условия, например (22.36), или (22.37), или смешанные: на части границы Е1 (22.36), а на оставшейся части Е2 (22.37). Рассмотрим теперь уравнения Навье-Стокса (9.54) для течения вязкой несжимаемой жидкости: Лекция 22 и выражения -оу = ( ',з+М. 1 2 (22.42) Постановка задачи линейной теории упругости была уже рассмотрена в лекции 10. Напомним, что для изотропной среды задача заключается в отыскании трех компонент вектора перемещений й из решения уравнений Ламе (10.36) д~~ Р = (Л + /~)д,з + /~Ь'иг + РЕг> (22.43) д1 где (22.44) В = и~1, = йЧй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
