Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(21.15) Материальный же тензор четвертого ранга А, симметричный хотя бы по первым двум индексам, выражается через тензорный базис в виде А11~1: А1611бц + А2 (дг~д11 + дг1~~/д). (21. 1б) В (21.15) и (21.16) 6, А1 и А2 — материальные коэффициенты. Из соображений четности числа индексов ясно, что тензор нечетного ранга нельзя представить в виде комбинаций символов Кронекера 4 . К числу материальных тензоров нечетного ранга можно отнести введенные в лекции 20 материальные векторы р, и тензоры пьезомодулей д;,1,.
Отсюда сразу следует, что как пироэлектрический эффект (20.20), так и пьезоэлектрический эффект (20.18) в изотропной среде невозможны. Рассмотрим два распространенных вида анизотропии, или две подгруппы полной ортогональной группы в Кз [25, 36~. Трансверсально изотропная среда характеризуется тем, что в ней свойства не меняются при повороте на любой угол относительно некоторой оси (например, оси (Охз)) и при отражении относительно произвольной плоскости, содержащей эту ось.
Тензорный базис в данном случае состоит из единичного вектора вдоль оси трансверсальной изотропии с компонентами ~~ = БЗ1„ а также тензора "~т',1 = о11о11 + о2го21 (21.17) Материальные тензоры 6 и А в трансверсально изотропной среде представляются следующим образом: 611 = 61~1~~ + 627г1~ (21.18) ° 1уИ = '11 ~у'"~Ы + А2( ~гИ "~~1 + Я ~~ И) + Аз Ьу М1 + "(И~г Ц) + + А4~1~1~1с~1 + Аз("~М~1~1 + '1~й~г~1 + "~11~1~/с + '7~1~г~й) (21.19) Элементы теории определяющих соотношений 227 В ортотропной среде свойства не меняются при отражении относительно каждой из трех взаимно перпендикулярных плоскостей, например координатных.
Тензорный базис ортотропии состоит из трех тензоров (21.20) Тензоры б и А в базисе (21.20) имеют вид 3 (о) а=1 (21.21) 15" А и=А1 у..у~1+у.. у~1 + / (1) (2) (2) (1) 1 +АЦ-Ы,,1 + У;и У,1 + У,1 У,к + Уа У,к)+ / (1) (2) (2) (1) (!) (2) (2) (1) 1 +Аз~'уО 'уи +уО 'уи )+ / (1) (з) (з) (1)~ + А4 ~ ~1~' 'уц + у1~ ~ '1 + у11 (у~ ) + / (3) (3) (3) (3) (3) (3) 1 + А5 ~ у~~ у~1 + 'у11 'у11 + ~и у1'и + уи 'уф ) + / (1) (3) (З) (1) (1) (3) (З) (1)~ 1 ( (1) (1) (1) (1) (1) (1й + — Ав ~~Ь 'уи + уи 'уд + Ъ Ъ ) + / (2) (2) (2) (2) (2) (2) 1 + — А7р у,, +у,, у +у, у,)+ +Азр у, + у, ~,)+ / (2) (3) (3) (2) 1 + А9р, у, + ~1, у +.у,, у „+ у., у ).
(21.22) / (2) (3) (3) (2) (2) (3) (3) (2) 3. Если вид материальных функций определяющих соотношений зависит от пространственных координат х,, например, С, н1Я, Л; Я, д„ 1,(х), говорят, что материал неоднороден. В частном случае неоднородности, когда имеет место зависимость только от одной координаты, например хз, т.е. дС, ц/дх1 = дС;,1,1/дх2 = О, речь идет о стратифи1(ироеанном вдоль оси хз материале. Типичным стратифицированным материалом явлется земной шар вблизи его поверхности. Если зависимость материальных функций от координат непрерывна, то имеет место непрерывная неоднородность.
Если же данная зависимость описывается разрывными функциями координат, то такое тело называется композитом (37]. Эти Лекция 21 разрывные функции зачастую являются кусочно постоянными, что соответствует композиту с однородными компонентами. По геометрической структуре различают слоистые, т.е. стратифицированные вдоль определенного направления (рис.
55), Рис. 56 Рис. 55 Рис. 58 Рис. 5? волокнистые (рис. 56), гранулированные, или зернистые, композиты (рис. 57) и др. Часто материальные функции периодичны по координатам и в композите можно выделить геометрическую ячейку периодичности. Тогда говорят, что он имеет периодическую структуру (все изображенные на рис. 55 — 57 композиты имеют периодическую структуру), в противном случае — непериодическую (рис. 58).
В неоднородных телах (в частности, в композитах) трудно создать однородное напряженно-деформированное состояние. Поэтому часто экспериментально находят только осредненные, или эффективные, характеристики материала. Элементы теории определяющих соотношений 229 о® = Л(~ — т) сЫт) о (21.23) или о-® = Г(1, т)а(т) 0т, (21.24) о где В® — функция релаксации, Г(г, т) — ядро релаксации, являющиеся материальными функциями вязкоупругого материала.
При этом, если выбраны соотношения разностного типа, такие как (21.23), то связь о ® с к(1) инвариантна относительно сдвига по времени (такие реономные материалы называются нестареюи1ими). Для соотношений неразностного типа, таких как (21.24), связь о ® с ~(1) неинвариантна относительно сдвига по времени. В этом случае реономные материалы называется стареющими. Эффект нестарения можно объяснить на следующем примере. Зададим два процесса деформирования: з1® = Г®6(г) и ~2® = = я1(1 — 10), отличающиеся друг от друга только сдвигом по времени на 10 (рис 59).
Подсчитаем для некоторой выбранной функции релаксации В® согласно (21.23) о.1(~) и о2®. Получим 02(с) — Л(1 т) Ж1(т со) — Л(1 8 со) а1(Я) ~ — ~о В(~ — ~о — а) Ж1(в) = о! (~ — ~о) (21 25) 0 Равенство (21.25) о2® = о1(~ — йо) (рис 59) свидетельствует о нестарении материала. Если же функции а.1 ® и о.2® находить на основании определяющего соотношения (21.24) для произвольно выбранного ядра релаксации Г(1, т), то, вообще говоря, о2(г) ф о~ (г — 10), что по определению соответствует стареющему материалу. 4. В материальные функции может явно входить время 1, тогда среды, описываемые такими определяющими соотношениями, называются реономными 141, 49~. Примерами реономных соотношений служат связи напряжений и деформаций в теории вязкоупругости: Леки,ия 21 Рис. 59 Если в материальные функции время явно не входит, то среда называется склерономной. Простейшим примером склерономной среды служит упругая среда.
Для проверки гипотезы о склерономности среды можно, например, задать поверхностные силы, не зависящие от времени, и снять показания деформаций в течение контрольного времени в рабочей части образца. Неизменность деформаций во времени подтверждает допущение о склерономности модели. 5. Среды можно разделить на обратимые, для которых плотность рассеивания и~*, определяемая равенством (14.35), а следовательно, и сама функция рассеивания И~" тождественно равны нулю, и необратимые, для которых ш* ) О. Обратимыми средами являются упругая среда и идеальная жидкость. Рассмотренная ранее вязкая жидкость с коэффициентами вязкости Л1 и р1 и функцией ш* в форме (15.39) относится к необратимым средам.
6. Если свойства в каждой точке тела зависят от состояния только в этой точке, то говорят, что среда локальна по координатам. Все рассмотренные ранее определяющие соотношения соответствуют локальным средам. Для локальных сред справедлив постулат макроскопической определимости Ильюшина 11б~, согласно которому каждой точке среды может быть поставлено в соответствие тело конечных размеров (макрообразец, или ЛХ-образец), находящееся в однородном напряженно- Элементы теории определяющих соотношений 231 деформируемом состоянии, на котором могут быть изучены все процессы, протекающие в выделенной точке среды. Примером нелокальной среды по координатам может служить среда, для которой связь напряжений и деформаций в любой точке х описывается соотношениями о., (х) = С; ц®еы®Л~~, (21.26) ~~~(х) где Ъ;(х) — шар радиуса а ) О с центром в х.
Для нелокальной среды постулат макроскопической определимости несправедлив. 7. Среды различаются свойствами локальности и нелокальности по времени. Локальной по времени называется среда, в которой свойства в каждый момент времени зависят от параметров состояния в этот же момент. Такими свойствами обладают упругий материал, идеальная и вязкая жидкости. Там же, где напряжения в любой момент 1 зависят от всей истории деформирования на интервале О ( т < ~, т. е являются функционалами процесса деформации, говорят о нелокальности среды по времени, или о средах с памятью. Примером такого рода определяющих соотношений служит связь напряжений и деформаций (21.23) или (21.24) в теории вязкоупругости, а также в большинстве теорий пластичности.
8. Как уже отмечалось, материальные функции не могут вычисляться или быть решениями каких-либо уравнений, а должны определяться лишь опытным путем в результате установочных экспериментов 11?, 3?). Во всех таких экспериментах суждение о приемлемости того или иного утверждения должно быть согласовано с точностью, которую необходимо достичь при расчете по выбранной модели. К установочным также относят эксперименты, в которых устанавливаются общие свойства операторной связи напряжений и деформаций, например рассмотренные в этой лекции линейность и нелинейность, изотропия и анизотропия, склерономность и реономность и т.д. Теорию, основанную на некоторой выбранной модели механики сплошной среды, будем называть "серьезной", или адекватной, если описан полный набор экспериментов для нахождения всех материальных функций.
В противном случае теория называется "несерьезной" (неадекватной). ЛЕКЦИЯ 22 УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ РАЗРЫВА. ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Основные постулаты МСС в лекциях б, 7 и 14 были представлены в интегральной форме и в виде дифференциальных следствий. До сих пор считалось, что все изучаемые функции дифференцируемы столько раз, сколько требуется. Рассмотрим теперь более общий случай и будем считать, что в сплошной среде движется так называеЕо мая материальная поверхность разрыва Хо -~" у" с единичной нормалью й(х), х != Хо. БуУ дем обозначать характеристики механических величин с одной стороны от поверхности Ео одним штрихом (условно "перед поверхностью*'), а с другой стороны — двуРис.
60 мя штрихами ("за поверхностью") (рис. 60). Множество Ео может моделировать границу раздела двух различных сред, а может находиться внутри однородной среды. Эта поверхность Хо не будет поверхностью разрыва, если при переходе через нее векторы перемещения, скорости, а также напряжения не терпят разрыва, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
