Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 28
Текст из файла (страница 28)
ь Согласно (18.52) заменим в (18.65) И на т' йИХ и, далее: а168 = 1 йа1, 61сК=30У, > йй='''л, Й= — ~''" л;. гз с ~ .3 Применим теперь к обеим частям второго равенства (18.66) оператор го1 по переменным х; и преобразуем полученное под интегралом двойное векторное произведение по известной формуле векторного анализа ) ~7 х (~' х †) = ~'( — ~7 ~гад -) + ~гад †(~7 . Д = 1 = — ~Ь вЂ” = 47гт' о(г — ~). 7' ЛЕКЦИЯ 19 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА по заданному полю ф = поле магнитной напря- Из предыдущей лекции ясно, что = го1 Й (18.б7) можно восстановить женности Й: -Ф и = го1 Ф, Ф = — Л' = — — Л~, -> — > — ~ ] 47г г с г (19.1) Ъ' — > причем вектор Ф соленоидален, т.е. йчФ = О.
Однако если наряду с полем тока ~ имеется еще поле постоянных магнитов й=~"'~л, (19.2) Ъ' то соленоидальное поле Ф может быть представлено в виде я=~( ~"' ) (19.3) откуда следует, что — ЬФ = го1 го1 Ф = 4~г — + го1 М с = го1 (Й + 4тЛХ) = го1 В, (19.4) или йчВ = О, В = рй, го1Й = . (19.6) с Физическая размерность величин, описывающих электромагнитные явления, так же как и механических величин, выражается го1 Ф = В, Йч В = О.
(19.5) Напомним, что выражение потенциала (19.3) указывает на то, что вектор сго1И можно интерпретировать как плотность некоторого тока. Итак, основные уравнения электромагнетизма записываются в виде 208 Лекция 19 (19.8) 1дВ с дг 47г -, 1 д.Π—,) +— с сдг го1Е = готЙ = (19.9) й~ О ~7гре~ йчВ = О. При этом должны учитываться определяюшие соотношения .О = Е + 4~гР = кР, (19.10) В = Й + 47гЛХ = БАЛХ, (19.11) ~ — аЕ (19.12) Система уравнений (19.9) — (19.12) состоит из восьми уравнений (19.9) и девяти соотношений (19,10) — (19.12), т.е. всего из 17 уравнений.
Эта система содержит 1б неизвестных величин: Е, Й, В,.0, ~ и р,. Однако последнее из уравнений (19.9) не является независимым. В самом деле, применяя к первому из уравнений (19.9) оператор йч, получим 1дВ 1д йч — — = О, или — (йч В) = О. с дг сдг При 1 = 10 положим йч В = 0 (начальные условия), тогда последнее уравнение (19.9) имеет место при любом 1 ) 1о. в классе систем единиц измерения (ЛХХТ). Подробнее на этом остановимся чуть ниже.
Связанность электрических и магнитных полей проявляется в динамике законом индукции Фарадея: (19.7) с1 дг Х По теореме Стокса из (19.7) следует 1 дВ„ — — дХ = го1Е. йИЕ = (го1Е)„дХ. с дг, Суммируя упомянутые законы электромагнитостатики и электромагнитодинамики, придем к знаменитым уравнениям Максвелла 124, 56~ Уравнения Максвелла 209 Применяя далее ко второму из уравнений (19.9) оператор Йч, получим 4т. -. 1д Йч~+ — (ЙчО) = О, с сдГ или с1и~+ ' = О, (19.13) (19.14) Элемент проводника, по которому протекает ток плотности ~, испытывает в магнитном поле Н так называемую пондеромо- торную силу Е= — ~'хЙ.
с (19.15) Сумма сил (19,14) и (19.15) называется лорениевой силой: Е= р,Е+ — ух Й. (19.16) с Умножим скалярно первое из уравнений (19.9) на Й, а второе на Е, после чего вычтем одно из другого: -~ -~ 1 дД ~ дО Н Го1Š— Е го1Н = — — Н+ Е+47Г~ Е с д1 д1 (19.17) Левую часть выражения (19.17) можно записать, применив свойство смешанного произведения векторов, в форме Н (~7 х Е) — Е (~7 х Н) = е; ~Н»О,Е~ — еу~Е,д Н~.
(19.18) С другой стороны, воспользуемся записью смешанного произведения ~7 (Е х Й): ~. (Е х й) =, д(Е Н.) =, Н~дЕ + + ецФ~дЛ1с = еу_#_»д~Е1с — еуФгЦН». (19.19) 14 Б.Е. Победря, д.В. Георгиевский т.е. уже известное уравнение, которое является следствием закона сохранения заряда. Рассмотрим теперь силы, действующие на заряды в электромагнитодинамике. Из (18.20) и закона Кулона (18.25) при непрерывном распределении заряда с плотностью р, следует Лекция 19 Из сравнения (19.18) и (19.19) заключаем, что йч(Е х Й) = Й готŠ— Е го1Й. Введем теперь так называемый вектор Пойнтинга У: У= — Е х Й, 47г (19.20) (19.21) так что Йч(Е х Й) = ЙчУ.
(19.22) с Используя определяющие соотношения (19.10) и (19.11), преобразуем первые два слагаемых в правой части (19.17): — Й+ Е=рй.Й+~Е.Е=-(фй2+~~Е~2). д1 д1 2 (19.23) Учитывая (19.20), (19.22) и (19.23), из (19.17) получим йчУ+ (р Й + хЕ~~) + у Е = О, (19.24) 87г или, после интегрирования по объему Ъ'. 8л Ю~ — "(Р Й~' 4- х~е ') Й$' = — ~Я йище — ~7.
енк (19.25) Величину Т обычно называют потоком вектора Пойнтинга. Как видно из указанного выше сравнения, источники в (19.24) и (19.25) отсутствуют, а производство ~ .Е называют джоулевым теплом: 2 ~2 ~2 1 1.2Л и~*=Э' .Е= — ~' 7= — = = — — = ', (19.27) о~„2 ~,~~~, где 1 — длина проводника, Х вЂ” площадь его сечения, а и',— сопротивление.
Обратим внимание на единую запись постулатов механики сплошной среды в интегральной форме (14.55) и их дифференциальные следствия (14.58). Сравнивая (14.55) с (19.25) и (14.58) с (19.24), заключаем, что уравнения (19.25) и (19.24) имеют форму законов сохранения энергии применительно к электромагнитной энергии Т: Т = (р Й~2+ ж~Е 2). (19.26) Уравнения Максвелла Предоставляем читателю самостоятельно показать, что для проводника, имеющего форму прямолинейного кругового цилиндра радиуса а, длина вектора Пойнтинга представляется в виде г2 ф = (19.28) Выпишем теперь размерности некоторых используемых электромагнитных величин.
Из закона Кулона (18.15) следует, что [в] = [Г]1~2Л = М112гР"т-1 из (18.16) из (18.20) из (18,49) [ ] 1- — 3 М1/2~ — 3~2т — 1 [Е] ф] ~[ ] М1,12~ — 1/2т — 1 у] = [в]т-1 = М1 ~2~Р~2т-2 из (18.51) или (18.58) [ ] у] ~ — 2 м1/2~ — 1/2т — 1 из (18.67) из (19.21) [Л ] = ~~ ]й([с] = М1~2~, 1~2т ' = [Е], ф] = [я]2[с] = мт-', [ 11 У] = мь-1т-з, и, наконец, из (19.26) и того, что коэффициенты р и х безразмерны, следует щ [Е ]2 М~ — 1т — 2 (19.30) Для движущегося проводника необходимо учесть некоторые преобразования. Ведь до сих пор считалось, что все рассматриваемые величины изучаются в некоторой инерциальной системе отсчета, которая условно принималась неподвижной.
Все законы механики одинаковы в любой инерциальной системе отсчета, или, другими словами, инвариантны относительно группы преобразований Галилея = г — Й. (19.29) Как же обстоят дела с электромагнитными величинами? Пусть, например, экспериментально установлено, что в некоторой области Ъ' пространства Кз Е = О. 212 Лекция 19 Г = Р,.Е+ — ~ х Й = р, .Е+ — ~7х Й = О. (19.31) с с Если же они движутся относительно системы А с некоторой скоростью оА, то появляется пондеромоторная сила — > ~А К=р, хН. с (19.32) Так как скорость этих зарядов согласно (19.29) равна (19.33) ~А' = ~А ~1 то Ре Ре Г= — оА хН+ — охН. с с (19.34) Итак, на заряд, покоящийся относительно системы А' (оА = 0), действует сила е=р „-,Й. (19.35) с Из (19.14) и (19.35) немедленно следует, что появляется на- пряженность электрического поля в системе А'.
-Ф вЂ” г ЕА/ = — х Н. с (19.36) Вместе с тем из (19.34) следует, что относительно системы А' появляется и магнитное поле > Ф (19.37) ибо сила Г должна быть одинаковой и в системе А, и в систе- ме А'. Она выражается формулой Лоренца -Ф Ф ~А' Ре ЕА' + х НА' с (19.38) Таким образом, электромагнитное поле разложить отдельно на электрическую и магнитную составляющие нельзя: поле, которое в системе А является чисто магнитным (Е = 0), оказывается с точки зрения системы А', которая равноправна с А, — Ф электромагнитным (ЕА ф 0), НА ф О. Если заряды покоятся в некоторой системе А, то на них не действуют никакие силы.
Тогда из (19.16) следует, что 213 Уравнения Максвелла Сравнивая выражения (19.38) и (19.32), убеждаемся, что справедливы следующие преобразования векторов Е и Й: — г — > ЕА~ = Е+ — х Н, НА = Н вЂ” — х Е, (19.39) с с > частным случаем которых при Е = 0 являются выведенные ранее формулы (19.3б) и (19.37). Легко обобщить формулы (19.39) на случай материальной среды при,и ф 1, ж ф 1: — У Е' = .Е+ — х В, В' =  — — х .Е, (19.40) .6'=й+ — 'хЙ, Й'=Й- — "х О с е 3 = 3 Ре~. (19.41) Соотношения (19.40) и (19.41) показывают, что уравнения Максвелла (19.9) неинвариантны относительно группы преобразований Галилея (19.29).
Они инвариантны относительно группы преобразований Лорениа в К~: 1 T =г — т~г, (19.42) 2 1 —— с~ причем следует учесть постулат о постоянстве скорости света с = 3 10зм/с. При о « с в первом из соотношений (19.42) знаменатель можно разложить в ряд по параметру о/с и в нулевом приближении оставить (19.43) с2 Отметим, что группа преобразований Лоренца является предметом исследования специальной теории относительности (СТО).
ЛЕКЦИ Я 20 СВЯЗАННЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТОТЕРМОМЕХАНИКИ (20.2) (20.4) Напомним дифференциальные следствия исследованных в лекциях б, ? и 14 пяти постулатов МСС. Это уравнение неразрывности (6.10) (1 постулат) — +рйчо = 0; Ир Ю (20.1) уравнения движения (6.58) (11 постулат) И~ р = рР+ ЭиР; ей симметрия тензора напряжений Коши (?.?) (111 постулат) Р=Р', (20.3) закон сохранения энергии (14.40) (1Ч постулат) Ие р = ро — йод+ Р: О Ж и уравнение притока тепла (14.53) (Ъ' постулат) ~Ь рТ вЂ” = ро — йч о + ш". ~Й (20.5) В лекции 14 эти постулаты и их дифференциальные следствия были записаны в единой форме.
Отметим, что уравнений (20.1) — (20.5) девять, в то время как число неизвестных параметров в них значительно больше. Это означает, что система (20.1) — (20.5) не является замкнутой, и для ее замыкания нужно выбрать конкретную модель сплошной среды. Модели, в которых учитывается взаимное влияние механических и других полей, называются связанными. Ниже рассмотрим две связанные модели сплошных сред, проявляющих как термомеханические, так и электромагнитные свойства.
Первая из них, модель магнитной гидродинамики (МГД) [21~, описывает явления, происходящие, например, в плазме, и используется при расчете и конструировании плазменных двигателей и МГД- генераторов. Связанные модели электромагнитотермомеханики 215 Примем, что среда представляет собой идеальную жидкость, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
