Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда в любой момент времени — Р 6Ъ' — Л'- дХ+ — 2 дК (14.50) Последний интеграл в правой части (14.50) называется производством энтропии: (14.51) 2 и всегда неотрицателен. Покажем это. Лекция 14 166 Заменяя поверхностный интеграл в (14.50) на объемный, дЕ = 'г7, — Л' = ' — ' сЛ', (14.52) (14.54) Дифференциальное ния (14.55) имеет вид аа ра следствие интегрального соотноше- (14.58) = рА+ Ри В+ С.
и применяя основную лемму, получим дифференциальное следствие пятого постулата МСС вЂ” уравнение притока тепла: а8 рТ = ро — ~,д'+ ш*. й (14.53) Согласно (13.40) и>* > О, а в силу (13.25) Т > О. Поэтому первое слагаемое подынтегрального выражения в (14.51) неотрицательно. Далее, согласно закону теплопроводности Фурье (14.41) производство энтропии Я* записывается в виде — +Л; ' ~Л' >О. Тензор Л положительно определен, т.
е. Я* не может принимать отрицательные значения, что и доказывает неравенство (14.51). Модель МСС, для которой ш* = О, называется обратимой. Из (14.51) и (14.54) видно, что производство энтропии не равно нулю и для обратимой модели, если только рассматривается необратимый процесс (теплопроводности). Все пять постулатов МСС допускают запись в едином виде.
Пусть а — некоторая скалярная либо векторная величина, т. е. тензор нулевого либо первого ранга. Тогда закон изменения этой величины представим в интегральной форме: ~ 1 р и = ~рАЛ + 1В( ) КС+ ~СЛ, (14.55) Ю) Ъ Ъ Е где А — некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый источником величины а; В ° — поток величины а: (Я) В(~) = В Х, (14.5б) где тензор В имеет ранг, на единицу больший, чем а; С вЂ” некоторый тензор того же ранга, что и а, называемый производством величины а, причем для скалярной величины а С > О.
(14.57) Термодинамические постулаты МСС 167 (14.60) с„, = рс,Л', с,, = рсрдГ (14.64) В силу (12.13) из (14.64) следует другое определение величин с, и ср. (14.65) с„с,, с,= —, с„=— то' -% В самом деле, при малых, но конечных величинах Г из (14.64) следует: с„, = рс,Ъ'. Если А = В(77) = С = О, то (14.55) называется законом сохра- нения величины ~ расХ. Для первого постулата (6.8) имеем а=1, А=В(~) =С=О, (14.59) для второго постулата (6.34) а=о, А=К, В(~) =У~), С=О, для третьего постулата (7.2) а=гхо, А=гхЕ, В(~) =гхУ~), С=О, (1461) для четвертого постулата (14.44) а = е, А = рч+ Р'~0г,, В(~) = — ц(~), С = О, (14.62) для пятого постулата (14.50) (Х) а~7 У а=в, А= —, В(~) = —, С= — — ' .
(14.63) Т' Т ' ' 7" 7'2 Как уже было отмечено, в задачах МСС удобней пользо- ваться плотностями е, з термодинамических потенциалов Е, Я (14.35). Это яе относится и к теплоемкостям с (12.20) и с,, (12.21). Будем пользоваться массовыми плотностями этих вели- чин и называть их для сокращенности просто соответствующими теплоемкостями: ЛЕКЦИЯ 15 НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Вооружившись знанием пяти основных постулатов МСС, вновь сформулируем рассмотренные ранее основные модели сплошных сред, но уже с учетом неизотермических процессов. Выпишем дифференциальные следствия известных постулатов.
Из постулата о сохранении масс имеем уравнение неразрывности (6.10) Ир Ю +рйъю=0. (15.1) Следствием постулата об изменении количества движения явля- ются уравнения движения сплошной среды (6.58) (15.2) При этом согласно постулату об изменении кинетического мо- мента тензор напряжений Коши (6.55) р Е,з рг рггЕ З Е (15.3) оказывается симметричным. Дифференциальным следствием первого закона термодинамики (14.48) является уравнение сохранения энергии де р ро с11чо+ Р «В Ю (15.4) а следствием второго закона термодинамики — уравнение прито- ка тепла (14.58) ~Ь РТ вЂ” = рд — Йч д + ш".
Ю (15.5) ргг дгг (15.6) Рассмотрим вначале модель идеальной жидкости, под которой будем понимать обратимую среду (иг* = О), обладающую шаровым тензором напряжений (9,6): Неизотермические модели 169 Тогда изменение работы внутренних сил оА®, учитывая (15.1), (15.6), можно записать в виде дА(') = — Ю Р'~0уЛ' = да® Л', (15.7) где ае, рар Р— = РЯ вЂ” Й1ъ'Я + — — > аг Р~Р (15.10) а уравнение притока тепла (15.5) для произвольной обратимой среды будет следующим: ав рт = Ро — 01~ о.
й (15.11) Для совершенного газа имеется определяющее соотношение (уравнение состояния) (12.9). Согласно (12.25) и (14.35) внутренняя энергия Е и ее плотность е приобретают вид .Е = с,,Т+ сопз1, ре = рс Т+ сопз1. (15.12) Подставляя (15.12) в уравнение (15.10), получим дт рар рс, = рд — Йчд+— р д~ В случае несжимаемости (ар/й = О), учитывая закон теплопроводности Фурье (14.41) для изотропной среды л,, =лА,, ~,=-лт;, (15.14) получим из (15.13) уравнение теплопроводности ат рс,— = рд+ ЛЬТ, ' ~Ю (15.15) которое с учетом (15.11) можно записать в виде дв Рт = р~+ лат.
~Й (15.13) (15.1б) оа® = — ЮР'~К = ЮрС'~В, = Йр6п о = р 1 = — — Ир = рре1 —. (15.8) Р Р Для идеальной жидкости уравнения движения (15.2) называются уравнениями движения Эйлера (9.9): Ию 1 = — — дгас1р+ Г. (15.9) сЫ р Уравнение сохранения энергии (15.4) согласно (15.7), (15.8) примет вид Лекция 15 Сравнение уравнений (15.15) и (15.16) для несжимаемой среды дает связь (15.17) гЬ дТ рТ вЂ” = рс,, —, ~Й ' ~Й' Е = Е(Я, Ъ'), е = е(з, р). (15.19) Тогда из сравнения (15.10) и (15.11) получаем Ие = ТсЬ+ др, 2 (15.20) откуда имеем ®),= (15,21) Таким образом, замкнутую систему уравнений для совершенного газа при неизотермических процессах составляют три уравнения движения Эйлера (15.9), два уравнения состояния (15.21), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.11) (или (15.16)), т.е.
всего семь уравнений относительно семи неизвестных: о, р, р, в, Т. Для совершенного газа известно выражение для энтропии (13.50): Я = с„1п ТГ' ' +сопз(. (15.22) Полагая термодинамические параметры для некоторого состояния фиксированными: Яо, То, ~о, запишем (15.22) в виде о = 1п — —, (15.23) или, для плотности энтропии: 8о Т ро Тогда из (15.24) можно выразить температуру: (15.24) Т =То — ехр * (15.25) откуда находим выражение плотности энтропии для несжимаемой идеальной жидкости: з = с,,1п Т+ сопз1. (15.18) Для сжимаемой идеальной жидкости (идеального газа) внутренняя энергия Е и ее плотность зависят от двух параметров состояния: Неизотермические модели гии: 'у — 1 е = с„,То ехр + сопз(.
(15.26) Определим теперь модель ньютоновской вязкой жидкости как необратимую среду, для которой плотность свободной энергии Гельмгольца 1' зависит от двух параметров состояния: У = ~(Т,Р), (15.27) а тензор напряжений Коши имеет вид (9.47) Р1,1 Рсо + Т3 (15.28) где тензор "вязких" напряжений т — линейная тензорная функция от тензора скоростей деформаций (9.49): 1 г 1 1 ~ ~ о Д ~ + 2 1 ~ ( ф (15.29) Из (15.8), (15.27) и (15.28) следует, что для вязкой жидкости изменение плотности работы внутренних сил имеет вид оа(') = — — др — Й т'~0,1 = рр Й вЂ” + Л1(йч 7) + 2и11г О', Р Р (15.30) где (15.31) Разлагая тензор В на шаровую часть и девиатор О: 1 7~у — О11 + г11~ о ~~~11 3 (15.32) получим О2 ) ~2+ (1 )2 1 (15.33) где .0„ — интенсивность тензора скоростей деформации О„= (г О'. (15.34) Из термодинамического тождества (14.34) и определения (14.16) следует ИЕ+ Я йТ = — дА(') — И'"Ю, (15.35) что можно записать и в терминах соответствующих плотностей: РгЦ + Рв сД ~и(г) 1о~гЦ (15.36) и из (15.12) найти выражение для плотности внутренней энер- 172 Лекция 15 Из (15.36), (15.30) находим р ф + рз ЙТ = — др+ сЮ т'~ К вЂ” и>*гН.
(15.37) Р Принимая во внимание определение модели вязкой жидкости (15.25), из (15.3?) получим (15.38) и выражение для плотности функции рассеивания ю* = -Р~К = Л1+ — Р~ (йчо) + 2Р1.0~. (15.39) Уравнения движения (15.2) для вязкой жидкости выведем, используя определяющие соотношения (15.28), (15.29).
Эти уравнения имеют вид (9.52) 2 Л,+-~, >0, ~, >0. 3 (15.43) й~ р = — дгас1р+ (Л1+ р1) дгаг1 йчо+ р1Ьо+ РК. (15.40) Ю Итак, замкнутую систему уравнений вязкой ньютоновской жидкости составляют три уравнения движения (15.40), два уравнения состояния (15.38), уравнение неразрывности (15.1) и уравнение притока тепла (15.5), которое с учетом закона Фурье можно переписать в виде гЬ РТ вЂ” = Р~+ Л~Т+ й. Ю (15.41) При этом функция рассеивания ю* выражается формулой (15.39), а компоненты тензора скоростей деформации В, связаны с компонентами вектора скорости соотношениями 1 Оц — (~г~~~ + ~~~~1) ° 2 (15.42) Поэтому функция рассеивания в уравнении притока тепла (15.41) выражается с помощью (15.32) — (15.34), (15.41) через компоненты вектора скорости о и имеются, как и в идеальной жидкости, семь уравнений относительно тех же семи неизвестных: о, р, р, з, Т.
Из (15.39) видно, что к" положительно определена, если Неизотермические модели Если жидкость несжимаема, то уравнения Навье— Стокса (15.40) принимают вид (9.54) 1 д~ — — дгай р+ царю+ К = (15.44) Р Ж* где и = р1/р ) 0 — коэффициент кинематической вязкости, а функция рассеивания (15.39) ш* = 2и1.0~ (15.45) положительно определена при р1 ) О. Заметим, что модель вязкой жидкости можно задать не с помощью плотности свободной энергии Гельмгольца (15.2?), из которой следуют определяющие соотношения (15.38), а с помощью плотности внутренней энергии (15.19), следствиями которой являются оп редел я ющие соотношения (15.21) . Дадим теперь определение линейного упругого тела для неизотермических процессов 119].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
