Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(12.1б) Тогда из формулировки (12.5) первого закона термодинамики получим (12.17) Нам будет удобнее пользоваться уравнением состояния совершенного газа в форме (12.11). Из (12.11) следует, что изотермы описываются уравнением (рис. 42) рЪ' = сопз1. (12.18) с = 1пп ьт-о ЬТ (12.19) Если при этом поддерживается постоянный объем, то из (12.1?) имеем лт-о ЬТ 1, „„„1' ОТ (12.20) Можно ввести шкалу температур совершенного газа, полагая температуру равной рЪ'/Ло вдоль изотермы одного моля такого газа. Однако в дальнейшем при формулировке второго закона термодинамики будет ясно, что понятие темпера- О туры не должно зависеть от свойств Рис. 42 среды. Теплоемкость с системы равна количеству тепла Ь© которое нужно подвести к системе, чтобы повысить ее температуру на ЬТ при заданных условиях; Лекция 12 При р = сопз1 из (12.19) и (12.17) следует .1'=.
ЛТ, ...„-"- дТ,"' дТ, (12.21) У(Л,1',Т) = О. (12.23) Из (12.22) имеем дт „ дт д11 . дт Используя (12.24), из (12.20) и (12.21) получим — +. '„' (12.24) — (12.25) Чтобы исследовать зависимость внутренней энергии от объема, Ж.Ф. Гей-Люссак в 1802 г., а позднее Дж.
П. Джоуль провели опыты, в которых газ свободно расширялся, переходя из одного сосуда в другой. В этих опытах было установлено, что ( ) =о. (12.26) Это оказалось ошибочным для газа с уравнением состояния (12.23), но было принято как одно из определений совершенного газа. Из (12.24) и (12.26) следует, что Е(ь~,т) = Е(Р,Т) = Е(Т). (12.27) Таким образом, термодинамическая модель совершенного газа задается термодинамической функцией состояния (внутренней энергией) в виде (12.28) Е = о„Т + сопз1.
В силу того что термодинамические параметры состояния р и 1' связаны соотношением (12.1?), внутреннюю энергию Е для совершенного газа можно выразить в виде функции двух параметров состояния: либо Е = Е(р, Т), либо Е = Е(1', Т). (12.22) Заметим, что этот факт справедлив не только для совершенного газа, но и для газа, подчиняющегося более общему уравнению состояния Первый закон термодинамики Из (12.25) и (12.26) для такого газа следует формула Майера с,, — с„=Р, = ВО.
(12.29) '~необр — РО(~2 1~!) ° (12.31) Очевидно, что увеличить работу (12.31) можно за счет повышения внешнего давления ро. Однако его нельзя сделать ббльшим чем "равновесное" давление (12.30), ведь иначе поршень будет двигаться вниз. Таким образом, оптимальным будет равновесное давление ро. Тогда движение поршня будет совершаться бесконечно медленно.
Такой процесс называется равновесным. Ясно, что он является идеальным, т. е. неосуществимым на практике. Работу поршня в данном процессе назовем обратимой: Ъ2 Аобр = РО® ~~ = Й~~ = Й~Г1п 1'2 Г Ъ; (12.32) Г! Ъ'! Это наибольшее значение работы при изотермическом расширении газа. Сравнивая (12.32) с (12.31) и воспользовавшись для рО выражением (12.30), получим ~необр < '1обр. (12.33) Сделаем замечание по поводу обратимости и необратимости процессов в модели совершенного газа. Пусть в момент "1" объем, занимаемый совершенным газом в цилиндре под поршнем (рис.
43), равен Ъ!. Давление, при котором поршень находился бы в равновесии, равно (12.30) ! Если же это давление выше Ъ'~ равновесного (12.30), то после отпускания поршня он начнет двигаться вверх и, совершив некоторые возможные колебания, в момент "2" остановится в положении Ъ2, в котором давление р2 уравновешивает внешнее давление ро. Кинетическая энергия, связанная с колебательными движениями поршня, перейдет в тепло. Остальную часть полной энергии обозначим как необратимую работу: 142 Декиия 12 < — Л'+ — йТ+ р Л' = О. (12.35) т ~Т т Для совершенного газа в силу (12.26) и (12.20) из (12.35) получим с„с1 Т + р а Ъ' = О, (12.36) откуда с учетом уравнения состояния (12.11) имеет место дифференциальное уравнение с, +До =О ИТ сЛ' (12.37) с первым интегралом ТЪ™ = сопз1.
(12.38) Введем обозначение ~ для показателя адиабаты: у= (12.39) с„ Тогда уравнение адиабаты (12.38) на основании формулы Майера (12.29) переписывается в форме ТЪ'~ = сопз1. (12.40) Пользуясь уравнением состояния (12.11), можно получить уравнение адиабаты, называемой адиабатой Пиассона, в виде рЪ" = сопз1, Тр(' )~т = сопз1. (12.41) Каким бы способом не осуществлялся необратимый процесс между двумя фиксированными значениями объема Ъ1 и Ъ2, в любом случае будет выполняться неравенство (12.33). При ро = 0 необратимая работа равна нулю (опыт Гей-Люссака), а работу (12.32) можно сделать бесконечной при неограниченном объеме.
Итак, необратимые процессы приводят к рассеиванию энергии, ее диссипаиии. Был рассмотрен изотермический процесс. Процесс, происходящий без изменения тепла (д~ = 0) называется адиабатическим. Из (12.17) имеем Ы+рЛ =О. (12.34) Чтобы процесс был обратимым, внешнее давление ро, действующее на поршень, должно, как и прежде, очень мало отличаться от равновесного давления, определяемого уравнением состояния (12.23). Однако теперь температура не является постоянной, поэтому из (12.34) и (12.22) имеем Первь~й закон термодинамики 143 На рис. 44 показаны адиабата (12.40) и изотерма из уравнения состояния (12.11). Соотношения (12.40) и (12.41) показывают, что при адиабатическом сжатии газ нагревается. Этим пользуются для воспламенения горючей смеси в цилиндрах двигателя Дизеля.
Охлаждение с помощью адиабатического расширения является одним О из способов достижения низких температур. Рис. 44 Чтобы распространить полученные результаты на "реальные" газы, подчиняющиеся уравнению состояния (12.23), нужно воспользоваться соотношением (12.35): с„сП'+ Л" = О. (12.42) р р ТЪ'" ' = сопз(. (12.44) В этом случае необходимо использовать уравнение (12.17), которое запишем в виде ~Ц = с, о'.Т+ р Л' ф О. (12.45) Вычислим величину Ж~ для политропного процесса. Из (12.44) имеем Ъ'" 'ИТ+ (и — 1)ТЪ"" 2Л' = О, (12.4б) откуда Л' = —, дТ.
1 — пт (12.47) Поэтому (12.48) Частным случаем уравнения состояния (12.23) является закон Ван-дер-Ваальса („+ — ',) 1,— Ц =ит, (12.43) где а и 6 — некоторые постоянные. Можно рассмотреть не только изотермический и адиабатический процессы. Если в уравнениях (12.40) и (12.41) вместо показателя адиабаты ~ поставить произвольное число и ) О, то получим уравнение политропы.
Нап име Леки,ия 12 Наконец, подставляя (12.48) в (12.45), будем иметь а~ = — ~ ат. (12.49) Итак, количество тепла, подводимого к системе при повышении температуры на один градус, остается постоянным. Поэтому политропный процесс можно определить как процесс, идущий при постоянной теплоемкости: с = сопз1 или с„ = сопз1.
Постоянная величина в (12,49) зобара отерма литропа набата йК+ йК = дА(') + дЯ. (12.51) Обратим внимание, что уже неоднократно ранее употреблялось слово "энергия", например: кинетическая энергия К (7.16), потенциальная энергия деформации ~р (10.43), полная энергия Е (10.45).
Все эти величины имеют одну и ту же размерность ] Д М~27 — 2 (12.52) с = с„— (12.50) и — 1 принимает различные значения в зависимости от показателя политропы и. Она равна нулю только при и = с /с = у. Политропа на рис. 45 изображена штриховой линией и лежит Изохора между адиабатой и изотермой. 1 Заметим, что изобара (процесс при постоянном давлении) и изокора (процесс при постоянном м И объеме) получаются как частные -По ° Из случаи политропного процесса. Ад В самом деле, при и = у имеем о адиабату ( у = 1, 41 для атомар- ного газа), при и = 1 — изотерРис.
45 му, при и = 0 — изобару, при и = = ос — изохору. Заметим, что до сих пор рассматривались системы, находящиеся в равновесии. Если же учитывать движение данных систем, то необходимо принимать во внимание кинетическую энергию. Тогда формулировку первого закона термодинамики можно несколько изменить, воспользовавшись теоремой живых сил (7.20). Подставляя из (7.20) в (12.5) выражение дА('), по- лучим 145 Первий закон тергиооинамики В дальнейшем встретятся еще тепловая и электромагнитная энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
