Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(14.5) В выражении работы внутренних сил тензорные величины А1, А2,..., А,„можно считать обобщенными перемещениями. 159 Термодинамические постулаты МСС Соответствующие им обобщенные силы обозначим через 'Р1: Рд —— Р (А1,..., А, тэ), у = 1,..., т, (14.6) так что эп БАЭ~ = ~Ээ, йА,. 2=1 (14.7) Обобщенные силы (14.6) связаны с обобщенными перемещениями некоторыми определяющими соотношениями (уравнениями состояния). Если процесс равновесный и протекает так медленно, что каждая обобщенная сила (14.6) в любой момент соответствует уравнениям состояния, то из первого закона термодинамики (12.5) имеем Й~=АЕ+БА~~=~ ' Рз' ААз+ НТэ 11481 дЕ дЕ 2 дТэ Итак, согласно (14.8) для равновесных процессов величина Й~ — линейная дифференциальная форма (форма Пфаффа) независимых термодинамических параметров состояния.
Каратеодори дал следующую формулировку второго закона термодинамики. 4. Для любого состояния термодинамической системы существует как угодно близкое к нему состояние, которое не может быть достигнуто из исходного с помощью адиабатического равновесного процесса (принцип Каратеодори). Так как для адиабатического равновесного процесса й~ = О, то (14.8) становится уравнением в полных дифференциалах: К Э 8 + Р, АА, + 8тэ = 8 д.Е дЕ дА. Э (14.9) (14.10) Согласно принципу Каратеодори существуют близкие состояния, которые нельзя соединить с помощью решения уравнения (14.9). Каратеодори показал, что это означает интегрируемость формы Пфаффа (14.8), т. е. существуют функции и(А1,...,А,ТЭ) и ЛХ(А1,...,А,ТЭ) такие, что 160 Лекция 14 или, подробнее: и ~, дА дТэ 2 (14.11) ФункциЮ и(А1,..., А, ТЭ) наЗываЮт интЕгрируЮщим мнО- жителем формы Пфаффа, а ЛХ(А1,..., А,Тэ) — ассоциированной функцией. Можно показать, что среди всех возможных интегрирующих множителей и существует единственный с точностью до константы множитель, зависящий только от температуры Тэ.
Его обозначают Т(Тэ) и называют абсолютной температурой. Это универсальная функция состояния, применимая ко всем термодинамическим системам. Ассоциированную к ней функцию обозначают Ь'(А1,..., А , Тэ) = Я(р1,..., р , Т) и называют энтропией рассматриваемой системы. Тогда уравнение (14.10) принимает вид сБ = —, — ИТ+ —, ®,"] (14.13) В этом случае число независимых параметров состояния равно двум, следовательно, всякая форма Пфаффа имеет интегрирующий множитель. Из (14.13) получим = Т вЂ” р. (14.14) Легко проверить выполнимость соотношения (14.14) для совершенного газа (при выполнении (12.26) и (12.11)) и для газа Вандер-Ваальса (12.43). Заметим, что любая функция от термодинамических потенциалов и термодинамических параметров состояния также будет термодинамическим параметром.
Наряду с внутренней энер- (14.12) Оно справедливо для любого равновесного процесса между соседними состояниями. Итак, принцип Каратеодори (4) позволяет ввести энтропию и абсолютную температуру, не прибегая к модели совершенного газа и циклу Карно. Для газа же с уравнением состояния (12.23) из (14.12) имеем Термодинамические постулаты МСС 161 ГИЕй Е(р1,...,,ит, Я) раССМОтрИМ, В ЧаСтНОСтИ, СЛЕдуЮщИЕ ПО- тенциалы 138, 39~: — энтальпия (теплосодержание) Н = Н(Р1,..., Р, Я): Н вЂ” Е+ ~~! '/3 ° Р..
(14.15) 1=1 — свободная энергия Гельмгольи,а Е = Р(и1,..., р, Т): Г = Š— ТЯ; (14.16) — термодинамический потенииал Гиббса С = С(Р1,... ...,Р,Т): С = Н вЂ” ТЬ'. (14.17) Используя формулировки первого (12.5) и второго (14.12) законов термодинамики, можно записать (14.7) в виде т Ыо=~ р,:ки,, (14.18) 1=1 получим термодинамическое тождество (13,40) в виде т, 1йЕ = Т — ~ т',: Ф,. (14.19) ~=! Чтобы перейти от одного термодинамического потенциала к другому, воспользуемся преобразованием Лежандра функции 1р(х1, х2,...), дифференциал которой равен ~йр = с1х! + Их2+...
= Х! сех1+ Х2 сех2 +... (14.20) д1р дур дх! х2 Преобразование Лежандра ставит в соответствие функции 1р(х1,х2,...) другую функцию Ф(Х1,Х2,...) такую, что Ф = 1р — Х!х! — Х2х2 —... (14.21) Тогда гп —:ки и ги~', 1'=1 (14.24) 11 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский Тогда ИФ = игр — Х! с1х! — х! ИХ! — Х2 Их2 — х2 с1Х2 —... (14.22) Теперь можно перейти, например, от внутренней энергии Е к энтальпии (14.15), вводя — Р~ — —, 1= 1,...,т. дЕ (14.23) д~~ ' Термодинамические постулаты МСС 163 Выражения для ИК, оА(') и дА(') известны из соотношений (7.15), (7.21), (7.17), (7.18), (12.2). Запишем в интегральной форме неизвестные еще выражения, входящие в формулировки первого (14.31) и второго (14.33) законов термодинамики.
Назовем плотностью внутренней энергии е, плотностью энтропии в и плотностью рассеивания и~* величины, определяемые следующим образом: Е = ре Л', Я = рв аГ, И'* = ю* !Л'. (14.35) Ъ" Чтобы записать выражение для величины дф рассмотрим произвольный конечный объем Ъ' тела, ограниченный поверхностью Х (рис. 48). Пусть в каждой материальной точке этого объема задана массовая плотность тепла !7, а на границе объема на каядом элементе площади действует ~ я(х, ~) (1 — нормальная составляющая (и) Я Ч вектора потока тепла о: ц(") = о,п, = д. й.
(14.3б) Рис. 48 Тогда приток тепла оЯ в объеме Г за промежуток времени Ю будет равен о ~ с ~ с у ( и ) Я + с Д Р у ! (14.37) а в силу (14.36) й~ = — й ц йдХ+ й рц!Л1 = Ю (рд — йод) !ЛЯ. (14.38) Е Ъ Ъ Знак минус в первом слагаемом правой части (14.37) объясняется тем, что нормаль й является внешней, а положительный поверхностный приток тепла должен быть направлен извне внутрь тела с объемом Ъ'. Заметим, что размерности вновь введенных величин таковы: А2Т вЂ” 2 ~ ~ Е2Т вЂ” 20 — ! ~ ~ К2Т вЂ” 3 ~ (п)~ УУТ вЂ” 3 (14.39) Итак, из (14.33) имеем в каждой материальной точке объема Ъ'.
дв РТ РЧ Чг,г + !!! ~Й (14.40) 164 Лекция 14 Уравнение (14.40) называется уравнением притока тепла. Очевидно, что оно является дифференциальным следствием второго закона термодинамики. Для большинства тел справедливы определяющие соотношения, связывающие вектор теплового потока о с градиентом температуры дгаг1 Т. Эти соотношения называются законом теплопроводности Фурье; д = — Л дгас1 Т, или ц, = — Л, Т, (14.41) где Л вЂ” положительно определенный симметричный тензор второго ранга, называемый тензором теплопроводности.
Используя (14.41), уравнение притока тепла (14.40) можно записать в форме рТ = рд+ (Л; Т,);+ и>*. ~Ы (14.42) Первый и второй законы термодинамики формулируются в виде постулатов МСС. Закон сохранения энергии (1Ъ' постулат МСС). Пусть й б Кз — объем, занимаемый телом в актуальной конфигурации, Ъ' — произвольный жидкий объем в й, а Е— его гранича с единичной нормалью № Тогда в любой момент времени — ~р(е + ) иГ= ~ р1Р й+ц1НГ~- Г Е В самом деле, из (?.20), (7.21), (7.1б) — (7.18) имеем — р Л'= рГ оЛ'+ Д )~)! + У(~) о ИХ + Р'~0ц сЛ1; (14.45) Подставляя (14,45) в (14.43), получим (14.44).
+ ~1я(") и — д(~))ай, (~4.4з) или, учитывая теорему живых сил (7.20), — ~ рейв = ~ярд-~- Р'~л; )НА — ~д~ ~ их. 165 Термодинамические постулаты МСС Заменим в (14.43) поверхностный интеграл на объемный с помощью теоремы Остроградского — Гаусса: 1е (~) '- - д(~)1 нх = ~ 1е *, — д*1н ик = = ~ ~';1Р' ю — д'1ИГ = ~ЯР' д~-Р'~о; — ~';д'1л', 114.461 и получим в каждой точке объема 1'': де дс р + с рЧ+ ЯгР + Р~) о+ ~Й й + Р'~К, — ~7; д'.
(14.47) Учитывая уравнения движения сплошной среды (6.58), получим дифференциальное следствие закона сохранения энергии (четвертого постулата МСС): р = ро — ~7;д'+ Р'~К . аг (14.48) Точно к такому же результату придем, если в (14.44) заменим поверхностный интеграл на объемный: д~~) Л' = д'К йХ = ~7, д' Л~, (14.49) Е Е и применим основную лемму. Постулат о притоке тепла (Ч постулат МСС). Пусть Й е К~ — объем, занимаемый телом в актуальной конфигураиии, Ъ' — произвольный жидкий объем в й, а Х вЂ” его гранииа с единичной нормалью Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
