Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Моделью такого тела назовем обратимую среду (ш* = 0), для которой свободная энергия Гельмгольца — функция температуры и тензора малых деформаций: Е = Г(е, Т), )" = г" (е, Т). (15.46) Воспользуемся гипотезой Дюгамеля — Неймана, которая заключается в том, что что аргументом в (15.46) может служить комбинация механической деформации и перепада температуры: (15.47) Здесь а, — компоненты симметричного тензора теплового расширения, а д — перепад температуры, т.е. разность между текущей температурой Т и некоторой постоянной То '): О=Т вЂ” Т,.
(15.48) Представим тогда функцию 1 в виде ~ = ~о(Т)+ Ъ'), (15.49) выделив аддитивную составляющую Я(Т), зависящую лишь от температуры ) . Чтобы определяющие соотношения упругой среды были линейными, естественно выбрать свободную энергию ') Постоянная То вводится в связи с недостижимостью абсолютного нуля Т = 0 (третий закон термодинамики). ') В дальнейшем "волну" над 1 во втором слагаемом правой части (15.49) будем опускать. Лекция 15 квадратичной функцией "температурной" деформации Р: р~ = р~о(Т) + — С з'цеы, гИТ Т (15.50) где Сцы — компоненты тензора четвертого ранга, обладающего симметрией: (15.52) дно дУ (15.56) ц Т =об.
д~ (15.57) д" г~ Очевидно, что соотношения (15.56),(15.57) годятся для плотности свободной энергии Гельмгольца, произвольно зависящей от тензора гт. Если же воспользоваться представлением (15.50), то из (15.57) получим ~г, — — Суы(~и — ~.-~Ы4, (15.58) а из (15.56), (15.57) будет следовать выражение энтропии для упругого тела: Рв = Р + ~-~г~огу. Юо (15.59) Обозначим теперь аналогично Д аддитивные составляющие плотности энтропии и внутренней энергии, зависящие только Сц'и С3'ги Суп Сыц' (15.51) которая следует из записи (15.50). Формула (15.7) записывается в виде оА® = — РцйгцЛ' = оа(0 Л1. Выберем для простоты прямоугольную декартову систему координат.
Тогда тензор напряжений Коши Р можно записать как ст и из (15.52) и (15.8) будем иметь ~а(0 = — а...= ц = — цй=,, (15.53) Уравнение (15.36) для обратимой упругой среды примет вид рФ'+ райт = Оуйеу. (15.54) Подставляя в (15.54) выражение (15.49), получим р йТ+ р . (Ж, — о, йТ) + рзйТ = одйку. (15.55) дно дУ д" ц Приравняем в (15.55) коэффициенты при независимых дифференциалах йТ и Ж,~: Неизотермические модели 175 от температуры, через зо и ео соответственно.
Назовем теплоемкостью с предел при постоянной деформаиии: ьт-о ЬТ, дТ (15.60) Тогда из формулировки первого закона термодинамики дЕ = дЯ вЂ” дА(') и из (15.60) следует, что (15.61) ъ" дТ (15.62) Теплоемкость при постоянном напряжении обозначим через с : с,,= (15.63) Учитывая, что (15.64) е= 1 — Те, а также дно дТ' (15.65) (15.66) (15.67) (15.68) Рср Т~-~г1дг~ ~ где (15.69) К, = Сциллы. Таким образом, из (15.67) получим т — Р ЙТ = с,1п = ср1п 1+ Т Т то (15.70) Здесь использован закон Дюлонга — Пти: теплоемкость твердых тел является постоянной при температурах, превышающих так называемую дебаевскую температуру, которая для большинства кристаллов не более 100'-200' К.
д~ — во получим для теплоемкостей: де да д1' дТ дТ дТ део,дао дТ дТ Тогда из (15.59) имеем рс„= рср — Тс~цСц1,1с~ц = да д2~ дТ дТ2 ' = — Т~Ь дТ2 176 Лекция 15 Следовательно, для плотности энтропии упругих тел спра- ведливо выражение Т Т рз = рс„1п — + а,~а,~ = рср1п — + Я~(су — о, д). (15,71) То то Если перепад температуры невелик (д « То), то из (15.70) и (15.71) следует с9 д Р8 = Рср + йЦСЦиси — Суыс~ц йод = рсо + ~9г9~г9 То Т, (15.72) Так как уравнение притока тепла (15.41) для анизотропного тела имеет вид РТ = рд+ Л,.Т;, + и~, ца Ж (15.73) а упругая среда обратима, то, учитывая соотношение сЬ рс„,, ЙТ Р ~г Т 9 + (%,9ог9) получающееся дифференцированием по и (15.73), запишем дТ РС,— =РО+Л, Т, — Т(о; О, ), дг (15.75) (15.74) времени (15.71), или дТ Рср — —— Ро+ ЛуТц — Тс~;~С;,ь1(з~,1 — ОцТ') > (15.76) д1 дТ рс,, = ро+ ХуТу — ТЯр,' д1 (15.77) Уравнения движения для упругой среды записываются в виде (10.2) д2и д~2 '~ 4 (15.78) или, с учетом (15.58) и соотношений (5.5), д и р 2' —— Сууи)с,ц — ~3уТ9 + РЕг.
(15.79) Итак, замкнутая система уравнений связанной задачи термоупругости состоит из трех уравнений движения (15.79) и уравнения притока тепла (15.77) (последнее слагаемое в (15.77) можно записать в форме — ТД и,' ) относительно четырех переменных: и,, Т. В большинстве случаев последним слагаемым в правой части (15.77) пренебрегают из-за малости безразмерных величин Тац.
Поэтому, например, для изотропной среды уравнение Неизотермические модели 177 поскольку в изотропном случае /Ы = Е~г2Сг2Б = '-Е~г2 [М2Ас1+ Р(огй21 + ~2й~е1)] = = а(ЗЛды+ 2рбц,) = ЗаКды. (15.82) Отметим, что в задачах термоупругости надо различать адиа- батические модули упругости и изотермические. В соотношени- ях (15.58) фигурируют изотермические модули С; г,1, ибо они определяются экспериментально при постоянной температуре. В этом случае соотношения (15.50) записываются в виде р1 р1о( ) (15.83) где Иг — упругий потенциал: И' = р1 = — С; 1с1Е;р~~. (15.84) Для того чтобы вычислить адиабатические модули Сс'"„, нужно перейти от пары термодинамических параметров состоя- ния Т, е к паре з, е.
В этих целях согласно (15.64) введем плотность внутренней энергии 1 ре = — С;2~1(е, — о, д)(е1,1 — ееыд)— 2 Т вЂ” ре„Т1п — — Я Т(е;, — ее, д), (15.85) о выразим из (15.72) перепад температуры То д = — (рз — Д2е; ) рс, и подставим в обобщенный закон Гука (15.58): То оУ = СУ1с1ец, — ~Зг2 (Рз — ~31с1е1с1). (15.87) ре, (15.8б) 12 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский притока тепла выглядит так: рс, — = рд + ЛЬ Т. дТ 'д1 (15.80) Видно, что уравнение теплопроводности (15.80) может быть решено отдельно (с учетом соответствующих граничных условий и начальных данных), а после этого, зная температуру, необходимо решить уравнения движения (15.79).
В этом случае задача термоупругости носит название несвязанной. Для изотропной среды уравнения (15.79) примут вид ри,': = ЛО г + Р А 'иг ЗО~Тг + рК 178 Леки,ия 15 Из сравнения (15.58) и (15.87) находим значения адиабатических модулей: (15.88) Можно поступить и по-другому. При постоянной плотности энтропии из (15.86) имеем д = — 4 з, + сопз1. то (15.89) рс, Тогда из (15.64), учитывая малость величин о, д (пренебрегаем членами с их квадратами), получим 1 ре = р1 = — С; цс1~зц — С, 1,1ь,1зуд+ сопз1 = 2 1 то = — С,.ыз, аы + К1=ы — + сопз' = 2 ' рс„, ад = — С,"ц-11 зы + сопз1. (15.90) Таким образом, при адиабатическом процессе упругий потен- циал И"д совпадает со значением ре, так что ре = Рс„т+ и ~д. (15.91) ЛЕКЦИЯ 1б ЗЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Скорости частиц равны (16.2) Вся система, очевидно, имеет ЗХ степеней свободы, так что можно выбрать обобщенные координаты д: Ч = Й1®>92®> Чзм®З- (16.3) задание которых полностью характеризует положение всех точек в любой момент 1, и построить набор обобщенных скоростей о': Ч =И!(~) Ч2® ..
~, И)) (16.4) Компоненты радиусов-векторов х~ связаны с обобщенными координатами д; с помощью невырожденного преобразования х~ = х~(д,), т, к = 1,...,3№ (1 6.5) Кинетическая энергия К системы точек имеет следующий вид ): К = — 2 т х = — 2 т>>>~ >х>1 2 2 с> =! й=! ЗХ 1 дх~ дх~ 1 = — ,'! лт1®, Чяу — = — ~~ц(я) Чя' > (16 6) Чг ф Й вЂ” 1] 1® = +1, ') Для сокращения записи в этой и следующей лекциях (в отличие от других) суммирование по повторяющимся два раза малым латинским индексам производится не от 1 до 3, а от 1 до 3№ ! 2"" Рассмотрим в пространстве Кз систему из Х материальных точек с массами т, гт = 1,..., №, движение которых описывается радиусами-векторами Га(Ц = Хза — 2~! + Хза — 1~2 + Хза~з.
180 Декиия 16 (16.9) относительно переменных Ч;, называемые уравнениями Лагранжа второго рода. Наряду с лагранжевым формализмом используется и гамильтонов формализм. Для этого соотношениями дЛ Р1 = д, Р = СР1® Р2(г) Рзн®) (16.10) Ч1 вводится набор р обобщенных импульсов р; и с помощью преобразования Лежандра Н(Ч,Р,~) =ЧР, — Цд,Ч,~). (16.11) определяется функция Гамильтона Н. Она может явно зависеть от времени и 61Ч гамильтоновых переменных 1Ч,Р). Следовательно, ее дифференциал записывается в виде дН дН дН ~юг' + г1Р1 + дЧ1 Р1 С другой стороны, из (16.10) и (16.11) следует, что дЛ дА , дЛ ч1 г1Р1 + Р1 г~чг г1ч1 .
г1ч1 дЧ1 дЧ; дЛ дГ = Ч,: др, — ٠— Ж. (16.13) Ч1 (16.12) и представляет собой положительно определенную квадратичную форму, построенную на обобщенных скоростях, с коэффициентами б,~, зависящими от обобщенных координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
