Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Потенциальная энергия с7 системы зависит от обобщенных координат и, вообще говоря, времени: ~7(Ч ~) — (-г(Ч1 Ч2 ' ' 'Чзм'~) (16.7) Введем в рассмотрение функцию Лагранжа .1' 1,(Ч,Ч,~) = К(Ч,Ч) — [1(Ч,~), (16.8) зависящую явно от времени, а также от обобщенных переменных и обобщенных скоростей; 6Х переменных (Ч,Ч') называются лагранжевыми переменными.
Из аналитической динамики известно, что для консервативных систем имеют место ЗХ обыкновенных дифференциальных уравнений Элементь~ статистической механики 181 Приравняем в правых частях (16.12) и (16.13) коэффициенты при независимых 6Х+ 1 дифференциалах Ид;, др; и й: дН дН дЛ дрг дН дЬ ддг дяде (16.14) и выразим из (16.9), (16.10) д.Г/дд,: дЛ = р~.
Чг (16.15) Таким образом, из (16.14), (16.15) получим систему 6Х каноническик уравнений Гамильтона: дН , дН Чг д Рг' д Р1 ф (16.16) Так же как и уравнения Лагранжа (16.9), уравнения (16.16) являются обыкновенными относительно 6Х гамильтоновых пере- менных (д,р). Для решения системы (16.16) необходимо задать начальные условия о о ~=О: д;=д,, р,=р,. (16. 17) Тогда решениями будут наборы д и р: (О 01) р (О 01) (16.18) Если существуют такие функции д (а, р, 1), что вдоль решений (16,18) уравнений Гамильтона д (Ч р ~) = С = сопз1 (16.19) то д называются первыми интегралами уравнений (16.16).
Если размерность д совпадает с размерностью энергии, то первый интеграл (16.19) называется интегралом энергии. Гамильтоновы переменные, не входящие в число аргументов функции Н, называются циклическими, Если т — число циклических переменных (т ( 6Х), то сразу можно написать тп первых интегралов. Действительно, пусть, например, переменные д1 и р2 циклические, т.е. дН/дд1 = О и дН/др2 = О. Но тогда из уравнений (16.16) следует, что р', = О и д' = О.
Поэтому функции д1(д,р,с) = р1 и д2(д,р,с) = а2 являются первыми интегралами. 182 Лекиия 1б Разделим обе части соотношения (16.12) на й и воспользуемся уравнениями (16.16): ИН дН, дН, дН У = д Чг д Рг' + дь« дН дН дН дН дН дН + дЧг дРг <Ъ дЧг т. е., если Н не зависит явно от времени (такие системы назы- ваются склерономнь~ми), то и йН(й = О, что говорит о суще- ствовании интеграла энергии (16.21) Н = К+ с7 = 6 = сопз1, где 6 — полная энергия системы. для описания движения системы Х точек в Кз можно ввести фазовое пространство Г размерности 6Х. Точка (д, р) е Г в этом пространстве соответствует некоторому состоянию системы.
В этом фиксированном состоянии система описывается обобщенными координатами о1, о2,..., д, и обобщенными импульсами Р1,Р2,...,Р, . Траектория в фазовом пространстве Г означает движение системы с параметрами о1 ®, о2®,...,о, ®;Р1(1),Р2®,...,Р,„,®. Начальная траектории соответствует параметрам (16.17) при 1 = О. Фиксируем в Г конечный объем Лдпр и достаточно большой промежуток времени (О;11). Будем следить за теми промежутками времени 1о, когда фазовая траектория находится внутри данного выделенного объема.
Тогда при 11 — ~ оо величина го ю = 1пп— 1~ — «ОС (16.22) является вероятностью попадания фазовой траектории в объем ,ЬдЬР при 1 ) О. Если теперь взять бесконечно малый объем г~ ~ = гбач пР = М1... г1чзмйР1... ЙРзм (16.23) то величина Йю пропорциональна д~: йы = ~(У,Р, ~) ф = ~(д,р, ~) МОНАР. (16.24) Коэффициент пропорциональности ~(д,р,1) в (16.24) представляет собой плотность вероятности нахождения траектории системы внутри малого объема г17. Вероятность нахождения Элементы статистической механики 183 и)Я = ~(Ч Р ~)д-~ = Х(Ч Р40ЧйР (1625) Необходимо отметить следующие свойства функции ~. а) Вероятность нахождения траектории во всем пространстве Г в любой момент 1 равна единице: (16.26) б) Вероятность выхода траектории на границу дГ равна нулю.
Другими словами, граница фазового пространства недостижима: (а,р) б дГ: ~(д,р,1) = О. (16.27) в) Как и у любой функции времени и гамильтоновых переменных, полная производная по времени ф'/Ю в силу канонических уравнений Гамильтона (16.16) представима в виде ф' д~ д~ д~ д~ д~ дН д~ дН + Ч~+ ° Р~ — + Ю д~ дВ ' дР, ' д~ дд,др, др;дЦ, д~ + ~~, Н1, (16.28) где использовано обозначение дА дВ дА дВ [А(ц, р), В(о, Р)!: ~Чг' Рг' ~Рг ~Чг' (16.29) называемое скобками Пуассона функций А и В.
Рассмотрим векторное пространство Кв~, элементами которого являются векторы В с компонентами (ц1,..., р, ). Векторы скорости Ъ"(д,Р) в этом пространстве имеют вид Е = Л = (ц',(д, р~,...,д,'„(д, р~,р',(д р~,...,р,' (д,р~). (1630) Фазовое пространство Г представляет собой 6Х-мерный жидкий объем в Кв~. Аналогом плотности р этого жидкого объема будет служить плотность вероятности ~.
Тогда "уравнение неразрыв- траектории внутри макрообъема ~ с Г выражается интегралом 184 Декиия 1б ности" в каждой точке (ц,р) Е Г в любой момент времени записывается по аналогии с (6.10) ф' й + г" йъ Ъ' = О. (16.31) Но, используя уравнения (16.16), имеем %+ + Чзм+ р1+ + рзж — д ' да' д ' др' до1 да, др1 дрз д2Н д2Н д2Н +...+ др1 дч1 дрзм дчзж дч1 др1 д Н дЧзх дрзм (16.32) Таким образом, из (16.31) и (16.32) следует =О, аг, (16.33) т.е.
для истинного движения системы при любых начальных условиях плотность вероятности ~(д, р, г) постоянна. В этом состоит утверждение теоремы Лиувилля, Подставляя (16.33) в (16.28), получим основное уравнение статистической механи- ки — уравнение Лиувилля: — + ~~,Н] = О. дг' (16.34) Уравнение (16.34) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для функ- ции ~(д, р, ~) с переменными коэффициентами. Эти коэффициен- ты известны, если задана функция Гамильтона Н. Граничным" условием для ~ является требование (16.27), а в качестве на- чального условия можно взять следующее: О . ~(~р 0) Д(~р), (16.35) причем функция Д, зависящая от бХ переменных, задана. Реше- ние начально-краевой задачи (16.34), (16.27), (16.35) и нахожде- ние функции г' представляют собой основную задачу статисти- ческой механики, Назовем интеграл МГ = (Г) = Р(д,р,1)~(д,р,~) Идар (16.36) г математическим ожиданием величины Р(у,р,~), или ее сред- ним статистическим значением, или средним по ансамблю.
Элементь~ статистической механики 185 Оно зависит лишь от времени. Так, среднее по ансамблю от функции Гамильтона есть полная энергия системы: ОК = М(à — МГ)' = ((К вЂ” (К))'). (16.38) Можно определить и другие средние значения Е, например среднее по времени 10+т 1 Т(10) — 11Ш Г(Ч(1) Р® с) й. (16.39) ~о Если У не зависит от 1о ~ ~0;То~, то говорят, что система при 1 ( То находится в равновесном состоянии. Множество равновесных состояний системы при фиксированных внешних макроскопических условиях носит название равновесного ансамбля этой системы. Статистическая механика применительно к МСС оперирует средними значениями детерминированных функций 115).
В статистически однородных системах для любой функции Е (е) =7, (16.40) т.е. среднее по ансамблю совпадает со средним по времени, В этом заключается известная в теории вероятностей гипотеза эргодичности. В рамках данной гипотезы все средние значения разумно трактовать как макроскопические параметры, которые можно измерить в экспериментах, Образуем формально из ЗХ обобщенных координат Ч векторы Ч1,..., Ч, с компонентами ч1 = (ч1, ч2, чз), ..., ч,, = (ч,,„ч... ч, ) (16.41) и назовем условной вероятностью функции Г(Ч,Р, 1) величину ~( г) ~(Ч Р г)У(Ч1 Чз 3 Чз +1 Р) аЧаР (16.42) В (16.42) в числе аргументов плотности вероятности отсутствуют компоненты вектора Ч при некотором а, т.е. точка Ч" зафиксирована.
МН=Е. (16.37) Дисперсией Р(Ч,Р, 1), или моментом второго порядка Е(Ч,Р, г), называется величина 186 Лекция 1б Оперирование с условными вероятностями и средними величинами сильно упрощается с помощью аппарата а-функций Дирака, о которых уже упоминалось в лекции 2. Основное свойство д-функции, которое можно принять в качестве ее определения, заключается в том, что для любой непрерывной на отрезке 1а; 6~ функции р(х) ь Г -У)Р(У)~У= 0 а если а < х < а, если х< а или х>а. (16.43) Из (16.43) следует, что ь а(х — у) сну = а(у) йу = а(у) ду = а<х<а, х< а или х>а, (16.44) 1, д( — х) = д(х) для любого положительного числа е. Кроме того, вводя в рассмотрение функцию Хевисайда 6(х), или "ступеньку", 1, если х>0, 6(х) = О, если х<0, запишем символьную связь д(х) и 6(х): а(х) = 6'(х).
(16.45) (16.46) Для проведения стандартных операций математического анализа разрывные функции а(х) и 6(х) можно аппроксимировать последовательностями непрерывных а-образных (рис. 49) Рис. 49 Элементы статистической механики 187 и 6-образных (рис. 50) функций. При этом д-образные функции б выглядят следующим образом: б (х) = , 1пп д (х) = б(х), ф(х/а) ск О а ф(х) Их (16.47) где со(х) > 0 — произвольная интегрируемая на всей оси функ- ция. Такими функциями могут быть, например, — х~ 1 Ф1(х) е ' Ф2(х) 2, чд 3~ 1. (16.48) В качестве же а-образных функций а (х) проще всего взять первообразные функций (16.48). Продифференцируем по х соотношение (16.43) и воспользуемся формулой интегрирования по частям: д д р'(х) = б(х — у) р(у) сну = — б(х — у)р(у) Иу = = — б(х — Ь)~р(о) + б(х — а)~р(а) + б(х — у)~р'(у) йу.
(16.49) р'(х) = б(х — у)4(у) ау. а (16.50) Рассмотрим также многомерные б(г)-функции, понимаемые как б(Р) = б( ' )б(' 2)б( 3) (16.51) или, для векторов (16.41); б(д ) = б(дз — 2)б(дз — 1)б(дз ). (16.52) Так как б(х — а) = б(х — б) =— 0 во всех точках интервала а < < х < 6, то из (16.49) получим 188 Лекиия 16 Тогда аналогично (16.43) и (16.44) будем иметь д®, если г Е Ъ', Й~" Ча)9(Ча) иЧза — 2иЧза — 1иЧза = О, если гф Ъ', (16.53) 1, если гбао', — О (16.54) О, если тф Г Определение условной вероятности (16.42) с учетом свойств (16.53) и (16.54) теперь можно дать следующим образом: Е(г, 1) = Р(Ч, р, ~) ~(Ч, р, ~) д(г — Ч ) йЧ йр, (16.55) г 190 Лекция 17 Тогда микроскопической скоростью частицы, находящейся в момент 1 в точке г" евклидова пространства, называется величина щ~! = — к р 6(р — д ! = — ~ !р 6!р — д !!. !17.5! Р Р сд= 1 <д= 1 Обратимся к уравнению Лиувилля (16.34) и перепишем его в новых обозначениях: Я вЂ” — !й„! д- ~ 1~р"' ! = О.
!17.6! а=-1 а=1 Умножим обе части соотношения (17.6) на т!!д(г" — оз), проинтегрируем по Г и просуммируем по,З от 1 до Х. Первое слагаемое в силу определения макроскопической плотности (17.2) даст следующее: ~тр Б(т" — др! — !д, р, ~! Идар = д~ дг г Х = — ~тр!цр — др!! = —. !17.7! д д,о дг дг Для третьего слагаемого (17.6) будем иметь ~тр~б!р — др1~~ „(~р"")ддйр= г а=! р~ тр [, [о!р — др!рр ~ Идар = О, !17.8! г так как последний интеграл по формуле Остроградского — Гаусса можно свести к интегралу по границе дГ фазового пространства Г. Воспользуемся свойством (16.27) плотности вероятности г и сразу получим (17.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
