Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Второе слагаемое (17.6) с учетом определения (17.5) макроскопической скорости примет следующий вид: д ~тр Б(р — др1~ (дд'!идар= г а=1 доо, д гр 67 — дд! !Щ ддйр = дяде Макровеличины и термодинамические параметры состояния 193 где Р,~™(т, Г) — кинетический вектор внутренних напряжений в момент 1 в точке г на площадке с нормалью вдоль оси х,. Его компоненты в декартовом базисе й,: Х (кин) (кин) ~-~,! ~Р~(~РЯ )(, ,3=1 являются компонентами симметричного тензора кинетических напряжений. Собирая вместе выкладки (17.11) — (17.14) и (17.17), а также учитывая, что д(ро) д(роЯ д(ро) д(ро) „дю; + д — д +~1 д +Р~д — о — = р —, (17.19) сй ~Й й' из уравнения Лиувилля (17.6) получим 3 дР(кин) р — ~ ' — х = О.
(17.201 1=1 Заметим, что макроскопическая объемная сила Х(г", 1), определенная в (17.13) и фигурирующая в (17.20), возникает в результате как внутреннего взаимодействия точек системы, так и взаимодействия с внешними телами, т. е. Х(г, Г) = Х(') (~, 1) + Х(') (т, 1). (17.21) Предположим, что поле внутреннего взаимодействия Х(1) потенциально и представимо в дивергентном виде. Это означает, что Х(')(г", 1) = ~ ~ д(г — о" ) = — ~ ', (17.22) о=1 1=1 где Р( )(г, ~) — потенциальный вектор внутренних напряжений. В статистической механике примером функции с)(1)® может служить сумма потенциалов Гв парного взаимодействия частиц: (17.23) В=1 т=-1 -Фз где гв — расстояние между частицами с номерами р' и ).
13 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский 194 Лекция 17 (17.25) Подставляя сумму (17.21) в (17.20), принимая во внимание (1?.22) и вводя в рассмотрение полный макроскопический вектор внутренних напряжений Р'; ~) = Р'""'(; ~) + Р'""(; ~), (17.24) получим уже знакомые уравнения движения сплошной среды (6.58): о~тч г=! ЛЕКЦИЯ 18 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТОДИНАМИКИ В лекции 2 уже вводились понятия потенциальности и соленоидальности векторного поля, им даны соответствующие определения (2.24) и (2.25), а также выявлен механический смысл операторов Йч, го1 и угад. Докажем теперь важную в векторном анализе теорему Гельмгольца, утверждающую, что всякое достаточно гладкое в К~ векторное поле можно представить как сумму потенциальной и соленоидальной составляющих.
Теорема Гельмгольца. Для любого векторного поля й(г) класса С2 в Кз существуют скалярный 0(г") и векторный Ф(т) потени,иалы такие, что й= дгаг10+ го1Ф, (18.1) причем функция Ф является соленоидальной, т. е. Йч Ф = = О. Если й- 0 при г" = г — оо, то представление (18.1) единственно. Обозначим 0 = Йч й, ~~ = го1 й. (18.2) Применяя к обеим частям (18.1) оператор с11ч и пользуясь формулой (2.27), получим скалярное уравнение для О: ЬО= О.
(18.3) Применяя же к обеим частям (18.1) оператор го1 и пользуясь соленоидальностью Ф и равенством Ф > го1го1Ф = с; ~(го1Р)~,Й~ = е; ~ц Р,„нК~, = = (4дд, — д~,„ди)Ф,„~;й~ = Ф,,Я,. — Р~,. Я = = дгаг1 Й~ Ф вЂ” ЬУ = —,ЬФ, (18.4) получим векторное уравнение для Ф: ьФ = — 4'. (18.5) Неоднородные уравнения Лапласа (18.3) и (18.5) называют уравнениями Пуассона. Их решения можно найти, зная фундаментальное решение уравнения Пуассона. Например, для (18.3) 196 Лекция 18 > где под г теперь понимается расстояние между точками г и ~: (хг — 6) (хг — (г) . (18.8) Тогда единственное решение уравнения Пуассона (18.3) имеет вид 0(г ) = 0*(т, ~ ) 0(Д Л'~ =— ~К) 47г г (18.9) Здесь и далее введено обозначение: Л~ = 0~1 0~2 Щ.
Аналогично выписывается единственное решение для векторного уравнения (18.5): ~(-) = 1 ~ ~(') Л . (18.10) 4~г 1 г Подставим теперь потенциалы (18.9) и (18.10) в (18.1) и с учетом обозначений (18.2) и (18.8) получим й(г) = — — дгас1 Л~~+ го1 Л'~ . (18.11) 1 Йч й© го1 й© 47г г Внесем в (18.11) дифференциальные (по переменным х) операторы ргали и го1 под знак интегралов по переменным ~, принимая во внимание, что д 1 х,— ~, (18.12) Окончательно будем иметь 1 .
- г — ~ й = — с11чй(~) Л~+ го1й(~) х Л~~ . (18.13) 4т ,.з гз Таким образом, потенциалы 0 и У представлены соотношениями (18.9), (18.10), а выражение (18.1) имеет вид (18.11) фундаментальным решением 0*(г, ~) будет решение уравнения ЬО" = о(г — Д, (18.б) где ~ — фиксированный вектор в Кз. Вид скалярного потенциала (2.49), исследованного в лекции 2, указывает на явный вид решения (18.6): 0 (г,Д) =— 1 (18.7) 4лт ' Основь~ алвктромагнитодинамики 197 т1т2 г12 Г12 ~Г12 (18.14) где Е12 — сила, действующая со стороны массы т1 на т2, г12— вектор, указанный на рис. 51, ~ = 6,673 10 " мз/( кг с2)— гравитационная постоянная.
Ранее были введены плотность распределения массы р, пробная единичная масса и силы, которые появлялись от взаимодействия пробной массы с другими массами. Пусть теперь T12 Е1 тз Рис. 51 Рис. 52 в пространстве расположены два заряда: е1 и е2 (рис. 52). Тогда по аналогии с (18.14) положим, что со стороны заряда е1 на е2 действует кулоновская сила Е1Е2 Г12 12, 2 ~Г12 Г12 (18.15) Знак "+" в (18.15) выбирается, если заряды одноименные, а знак "— *', если разноименные (противоименные). Соотношение (18.15) называется законом Кулона.
Заметим, что не все элементарные частицы являются источником электромагнитного поля. Так что значения электрического либо (18.13). Если дополнительно известно, что поле й потенциальное (безвихревое), то в (18.11) и (18.13) отличны от нуля только первые слагаемые, если поле й соленоидальное, то только вторые. Описанный алгоритм нахождения потенциалов О и Ф указывает на единственность разложения (18.1). Теорема Гельмгольца доказана.
Эта теорема векторного анализа играет важную роль в электромагнитодинамике — разделе МСС, занимающемся процессами деформирования сплошных сред под действием сил не только механической, но также электрической и магнитной природы 124, 56~, Говоря об электрических силах, необходимо вспомнить известный в классической механике закон тяготения Ньютона, утверждающий, что для двух точечных масс т1 и т2 в пространстве К~ 198 Лекция 18 заряда е приписываются только частицам, которые создают такого рода поля.
Законы физики не изменяют своего вида при замене всех положительных зарядов на отрицательные и наоборот. Если заряды некоторым образом непрерывно распределены в пространстве, то характеристикой такого распределения является плотность заряда р,(т, ~) = 1пп Ье(Ь7; л~ -о е = р,сЛ', (18.16) $' где е — суммарный заряд объема 1'. Примем закон постоянства (18.18) (18.22) заряда в виде Ие — =О, сй (18.17) или, если заряды точеченые, Х М е+ — е, = сопМ. 1=1 1=1 Плотность заряда удовлетворяет дифференциальному уравнению постоянства заряда, записываемому аналогично уравнению неразрывности (6.
11): д1 +йч(р,й) =О, (18.19) где о — скорость движения зарядов. Пусть поле создается точечным электрическим зарядом ео, помещенным в начале координат. Введем характеристику этого поля — вектор электрической напряженности, или просто напряженность, .Š— такую, что при внесении в поле пробного заряда е, одноименного с ео, на него действует центральная сила Р=еЕ. (18.20) > Поле Е состоит из суммы полей отдельных (свободных) зарядов: йч Е = 47гр„го1 Е = О, (18.21) и является безвихревым. Тогда из теоремы Гельмгольца следует, что существует электрический потенциал р, такой что Е = — дгас1 ~р, Ьр = — 4л.р, Следовательно, если р, = еоо(х — Д, то Р= (18.23) Основь~ влектромагнитодинамики 199 и из первой формулы (18.22) получим > 1 Я = — еодгас1 — = ео (18.24) Тогда из (18.20) следует, что Е = еео —. -з' Выражение (18.25), собственно говоря, закон Кулона.
Если заряд непрерывно распределен поверхности г.', или вдоль кривой Г) с электрический потенциал имеет вид (18.25) и представляет собой по объему Ъ' (или по плотностью р,(г, 1), то ~р = — Л' р = — ИХ, р = — сЬ Ъ Е г (18.26) а следовательно, го1Е = О. с11с .Е = 47ср„ (18.28) Возьмем теперь заряд е в начале координат и заряд — е > -Ф в точке с радиусом-вектором 1 (рис. 53). Если длина много меньше расстояния от данных зарядов до исследуемых точек, то совокупность зарядов е и — е носит название диполя. Потенциал диполя в произвольной точке г равен е е 1 - 1 ~р — — е дгас1 — 1 = дгас1 — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
