Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(20.43) рс„ рс, То То Обратимся снова к нелинейному уравнению притока тепла (20.24) и линеаризуем его вблизи некоторой температуры Т = То (д «То). Дифференцируя по времени (20.43), а также первое равенство (20.40), найдем выражение для производной рддр/й, которое подставим в (20.24). Окончательно линеаризованное уравнение притока тепла можно записать в одной из двух форм: ~Л' д Рси = РЧ + (Лц'Тз'),г То Руац) Ю ' ' Ю (20.44) либо ~ХТ д рср = рд + (Лц? з) 1 То (Оуо у). Ю ' ' Ж (20.45) Как видно, в уравнениях (20.44) и (20.45) присутствуют механические слагаемые, однако в случае медленно текущих термодинамических процессов последними слагаемыми в них можно пренебречь по сравнению с другими ').
В результате получается обычное уравнение теплопроводности ИТ рс„= ро+ (Л; Т );, Ж (20.46) которое решается отдельно от системы уравнений электроупру- гости в случае электростатики. ') Об этом уже шла речь в лекции 15. Умножая вторую группу равенств (20.40) на С, „, и суммируя по индексам г' и з, придем к зависимости (15.58) напряжений от деформаций и перепада температур: Лекиия 20 Попробуем упростить рассмотренную систему двадцати четырех уравнений.
Для этого умножим вторую группу определяющих соотношений (20.39) на С „, и просуммируем по индексам г и 1: отп = Стпуеу' — 1тпМ вЂ” %тпрр~ (20.4?) где е~ = С „, д~; . Подставим напряжения (20.47) в уравнения движения (20.23): д~~ Р ~ = Р~г'+ Сцыик ~~. — 1у'д ~ + ек:,~~Рц, (20.48) д1 и в третью группу равенств (20.39): ф Ж~ ~ Ц = РА+ ~уК(С~1стп~т,п Я1А + спут'Р,т) ~Рд' = ~~г т = (Рь' А~1сЯК)~ + егтп~~т,п + г~гу1сетР (Рт (20.49) 47г Из второго уравнения Максвелла (20.21) следует, что (Рг ~~у'ЬЯи)Тг + епппит,пг + + 4 ~е,~ — ' р,, = О. (20,50) 4~г Итак, относительно трех компонент вектора перемещений и;, температуры Т и электрического потенциала р получена система пяти уравнений: (20.46), (20.48) и (20.50).
Причем благодаря "независимости" уравнения притока тепла (20.46), как уже было замечено, оно решается отдельно, после чего функция Т подставляется в подсистему электроупругости (20.48), (20.50) относительно четырех неизвестных и; и ~Р. ЛЕКЦИЯ 21 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ Все сформулированные в лекциях 6 и 7 постулаты справедливы для любой среды: жидкости, газа, твердого деформируемого тела, теплорода, плазмы. Для замыкания же системы дифференциальных уравнений, полученных как следствие основных постулатов МСС, требуется введение так называемых определяющих соотношений 141~. Ранее уже были рассмотрены различные параметры кинематического и статического толка.
Некоторые из них были названы термодинамическими параметрами состояния. Из всех рассмотренных параметров (скаляров, векторов, тензоров второго ранга и т. д.) можно выделить два особенных типа. Первый — это так называемые основные параметрьг. перемещения, скорости, температура и т. п. Второй тип — это двойственные к ним параметры, называемые потоками основных величин. Двойственными они называются потому, что свертка основного параметра и соответствующего ему потока описывает некоторый вид энергии. Примерами потоков могут служить напряжения или вектор теплового потока. Связи между основными величинами и их потоками и называются определяющими соотношениями. Если эти основные величины и их потоки являются термодинамическими параметрами состояния, то связывающие их определяющие соотношения часто называются уравнениями состояния.
Модель сплошной среды по существу и задается определяющими соотношениями, которые могут иметь довольно сложную операторную природу. В рассмотренных простейших моделях определяющие соотношения имеют вид скалярных, векторных или тензорных функций. Эти определяющие соотношения полностью восстанавливаются по экспериментально найденным числам либо функциям, которые называются материальными функциями, потому что в рамках выбранной математической модели показывают, чем один материал отличается от другого. Деки,ия 21 Приведем примеры некоторых определяющих соотношений.
Вспомним, например: — закон теплопроводности Фурье (14.41) чг = Лг'уТ~> — закон Гука (10.3) (21.2) ог) = ~~г~иеи> — закон баротропии для идеальной жидкости (9.12) р = р(р) или р = р(р), (21.3) — связь "вязких" напряжений со скоростями деформаций (9.49) т,, = Л~гг.ОА +2р1К,, (21.4) — соотношения, описывающие пьезоэлектрический эф- а нелинейный закон Фурье имеет вид ог = — Лг~( дгас1Т ) Т~. (21.9) фект (20.18) Рг — г1гфо~й> (21.5) и соотношения, описывающие пироэлектрический эффект (20.20) (21,6) В этих примерах материальными функциями являются тензор теплопроводности с компонентами Л,, тензор модулей упругости С; ц, коэффициенты вязкости Л1,,и1, тензор пьезомодулей д, ~ и материальный вектор пироэлектричества р,.
Опишем некоторые свойства определяющих соотношений и их материальных функций. 1. Определяющие соотношения подразделяются на линейные и нелинейные, причем линейность может быть геометрической и физической. Физически линейным называется оператор сг = = Г(е), для которого выполнен принцип суперпозиции -Г(с~!е1 + 02е2) 01Е(е!) + 02Г(е2) О1 О2 Е .1~. (21.7) В противном случае соотношения называются физически нелинейными. Операторы, задающие связи (21.1) — (21.6), очевидно, физически линейны в смысле определения (21.7). Однако их несложно обобщить на нелинейный случай. Например, нелинейный пироэлектрический эффект описывается следующим образом: Р, =р,(Т) ~, Элементы теории определяющих соотношений 225 Как видно, нелинейность достигается тем, что материальные функции (р,, Л, ) становятся зависящими от инвариантов величин, которые стоят в правых частях. Для тензоров второго ранга физическая нелинейность вводится сложнее.
Так, общий вид тензорно нелинейной изотропной функции одного симметричного тензора от другого симметричного тензора (например, связывающей напряжения и деформации) следующий: (21.13) 15 Б.е. Победря, д.в. Георгиевский Ъ = РО (11, 12, 1з) 6И + Р1 (11, 12, 1з)е и + + Г2(11, 12, 1з)ги-,е~~, (21.10) где материальные функции К1, Е2 и Гз зависят от трех инва- риатнов У1, 12, 1з тензора деформаций. Если Ез = О, то функ- ция (21.10) называется тензорно линейной или квазилинейной, но остается по-прежнему физически нелинейной.
Если для тензорной функции (21.10) существует скалярный потенциал И~(11, 12, 1з), такой что ~~г (21.11) дг д1; дг ' то она называется потенциальной. Геометрическая линейность имеет место, если деформации связаны с перемещениями соотношениями Коши (5.5) 1 г, = — (и, + и,;). 2 (21.12) Если же деформации не являются малыми и не все компоненты тензора дисторсии много меньше единицы, то 1 г,, = — (и,о +'и~, + п~,и~,), 2 что означает геометрическую нелинейность. 2. Различают изотропные и анизотропные определяющие соотношения. Назовем тензорную функцию ~т(г) инвариантной относительно некоторой группы преобразований Я, если для каждой матрицы С~ преобразования Я справедливо свойство с (С~ 'гС~) = (1 'о.© (21.14) Если Я вЂ” полная группа движений евклидова пространства Кз, то тензорная функция о.®, удовлетворяющая (21.14) для любой ортогональной матрицы С~, называется изотропной.
Тензор, который инвариантен относительно некоторой под- группы полной ортогональной группы, может быть выражен как сумма конечного числа инвариантных тензоров с некоторыми Лекиия 21 скалярными коэффициентами. Набор этих тензоров называется тензорным базисом данной подгруппы преобразований. Каждая такая подгруппа характеризует определенный класс анизотропии в сплошной среде.
Тензорный базис изотропной среды, как среды, свойства которой одинаковы во всех направлениях и при отражении относительно любой плоскости, состоит только из единичного тензора с компонентами ~1~, так что любой материальный тензор второго ранга 6 в изотропном теле имеет вид 6; = 6А~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
