Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. - Основы механики сплошной среды (1050336), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ир", (18.29) (г! ~ 1! г г где вектор Π— е (18.30) Рис. 53 Ир = е1 называется поляризационным моментом. Введем также соотно- шением (18.31) вектор поляризации Р. Тогда потенциал диполей, распределенных по объему 1' с границей г., равен Функция ~р (18.26) является решением уравнения Пуассона (18.22) Ьр = — 47ср„ (18.27) Лекция 18 ~р = Р огай — Л'= — — ' ИГ = (18.35) (18.36) — для плотности поляризационных зарядов ре+р (18.37) В диэлектриках благодаря воздействию поля электрической -Ф напряженности Е происходит ориентация диполей, т.е. поляризация.
Если диэлектрик изотропный, то вектор поляризации Р коллинеарен вектору электрической напряженности Е. Тогда ') Под истинными зарядами понимаются все заряды, которые под действием электрического поля могут перемещаться на большие расстояния. Заряды, входящие в состав нейтральных молекул и колеблющиеся вблизи положений равновесия этих молекул, носят название связанных. Совокупность истинных и связанных зарядов называют свободными зарядами.
' ИŠ— Л~. (18.32) 1 Е Ъ' Если объем Ъ' бесконечен, по нему распределены истинные заряды ') с плотностью р, и диполи, а на бесконечности и те и другие отсутствуют. Если же существуют одновременно и истинные заряды и поляризационные моменты, то потенциал имеет следующий вид: р,© — й РК) 1 (18.33) Ъ' -Ф где г — расстояние (18.8) между ~ и текущей точкой г. Функция р (18.30) является решением уравнения Пуассона Л~р = — 47г(р, — й~ Р). (18.34) -Ф Примем во внимание связь (18.22) Е с р и вместо первого равенства (18.28) из (18.34) придем к выражениям — для плотности истинных зарядов 1 — > р, = йч (Е + 4л.Р), 4тг — для плотности свободных зарядов Е р = йч = р, — йч Р 4тг Основы электромагнитодинамики 201 вводится так называемый вектор электрической индукции 0: 0 = Е+ 4~тР = жЕ, (18.38) Р= Е, (18.39) 4т где ж — диэлектрическая проницаемость среды.
Если среда электрически анизотропна, то определяющие соотношения (18.38) следует записать в более общем виде 0=ж .Е, (18.40) где ж — симметричный тензор диэлектрической проницаемости. Тогда вместо (18.39) получаем Р = (ж — 1) Е. 47г (18.41) В вакууме электрическое поле изотропно (Р = 0) и, следовательно, и=1. С помощью понятия поляризации (непосредственно ненаблюдаемой) объясняются изменения электрического поля, возникающие при внесении незаряженного диэлектрика в данное электрическое поле. Проводник электричества — это тело, для которого в статических условиях потенциал р постоянен, т.е. Е = О, р, = О. Проводники могут нести только поверхностные заряды, следовательно, статически ведут себя как тела с бесконечно большой диэлектрической проницаемостью ж. Поляризационные заряды на проводниках называются индуцированными зарядами.
Их можно считать истинными зарядами. Итак, задача электростатики заключается в отыскании векторных полей Е и 0 при заданных по форме и положению в пространстве проводниках и изоляторах. При этом йч 0 = 47гр„0 = хЕ, го1 Е = О. (18.42) Как полную аналогию электростатики построим теперь магнитостатику.
Для этого вместо электрического заряда е введем магнитный заряд т„т.е. везде сделаем замену е — ~ т,. Вместо векторов электрической напряженности Е, поляризации Р и электрической индукции 0 введем в рассмотрение векторы магнитной напряженности Й, намагниченности М вЂ” Ф вЂ” ) — Ф и магнитной индукции В соответственно, т. е. Š— + Н, Р— ~ М, .0 — ~ В. 202 Лекция 18 электростатики. 1) Не существует никакой истинной плотности магнитных зарядов. Поэтому уравнения магнитостатики, в отличие от (18.42), приобретут вид г11чВ = О, В = рй (В = и Й), го1Й = О, (1843) причем В = Й+ 47гЛХ. (18.44) 2) Для некоторых веществ, например ферромагнетиков, магнитная проницаемость р не является постоянной величиной и -Ф может сложным образом зависеть от магнитной индукции и (случай гистерезиса). Поэтому намагниченность ЛХ может быть отличной от нуля и в отсутствие магнитной напряженности Й.
Это происходит, например, в постоянных магнитах. 3) Не существует никаких проводников магнетизма, а также магнитных аналогий диэлектриков и изоляторов. Однако некоторые вещества в силу своей большой магнитной проницаемости ведут себя как магнитные проводники (например, мягкое железо). -Ф 4) Поле магнитной индукции В, как следует из (18.43), соленоидально, что говорит о существовании векторного потенциала Ф: В = го1Ф. Из теоремы Гельмгольца следует, что (18,45) 1 ~ го1ВВ или, согласно (18.43) и (18.44), Г го1Я® (Л~~. (18.46) (18.47) Вместо диэлектрической проницаемости ж (тензора диэлектрической проницаемости х) будем рассматривать магнитную проницаемость р (тензор магнитной пронии,аемости р), т.е. Ж вЂ” +Ц, Ж вЂ” ~/Х.
Однако следует сразу отметить несколько различий между величинами магнитостатики и аналогичными им величинами Основы влектромагнитодинамики 203 Для магнитного поля не существует других зарядов, кроме свободных, и 1, - 1 гпе — — — Й~ Х ~Л' = — Й~ ( — 4»ЛХ) сЛ ' = 47Г 4л — Йч М сЛ' = — ЛХ .
йоши:. (18.48) (18.51) Ъ' Е Соотношением (18.48) формально вводится магнитный заряд. Заметим, что взаимодействие электрического и магнитного полей в статике отсутствует. Действительно, величины, входящие в группы соотношений (18.42), (18.38), с одной стороны, и (18.43), (18.44) — с другой, взаимно "не пересекаются". Отличие математической структуры этих групп соотношений состоит лишь в том, что плотность магнитных зарядов положена равной нулю.
Уже говорилось о том, что в случае электростатического равновесия заряды проводников сосредоточиваются в тонком поверхностном слое. Если в какой-либо точке внутри проводника напряженность электрического поля Е отлична от нуля, то в проводнике возникает электрический ток, т.е, движение зарядов. При этом силой тока 1 называется количество электричества, протекающее через сечение проводника в единицу времени: д1 1 д1 (18.49) Ъ Если за любые равные промежутки времени через поперечные сечения проводника проходят одинаковые заряды, ток называется постоянным (по величине и направлению) и обозначается 10.
Согласно закону сохранения заряда (18.19) 1 = — Йч (рЯ сЛ' = — ре~7 йдХ. (18.50) Ъ Е С силой тока 1 тесно связан вектор плотности силы тока у, но определяется он различными способами в зависимости от причины, вызывающей ток. 1) Ток называют конвективным в случае переноса заряда плотности р, со скоростью й. Тогда 2 = ре~ Лекция 18 и из (18.50) имеем (18.52) 2) Ток проводимости возникает в случае движения заряда в проводнике под силовым воздействием электрического поля Е.
Тогда плотность тока определяется так называемым дифференциальным законом Ома (18.53) где коэффициент а называется проводимостью среды. 3) Из-за изменения со временем векторного поля магнитной -Ф индукции В возникает так называемый ток смеи1ения с плот- ностью 1 до 47г д~ (18.54) 1 д.О д В др, Й1~ ~ = Й1~ 4т д1 д1 47г д~ (18.55) — > Полный ток ~ складывается из составляющих, рассмотренных в (18.51), (18.53), (18.54), причем ток проводимости может быть одновременно и конвективным.
Если ток стационарен, то йч~'= =О, —. дре д1 ~ = ~'й, ~ = у = у.й = ~„, (18.56) а длина 1 вектора ~ постоянна. Тогда из (18.56) следует .Т= ~ йдЕ = ~ИХ =~К, (18,57) т. е. вдоль проводника 1 является постоянной величиной. Отсюда 1 з =~з= —.
Х (18.58) Предположим, что некоторый тонкий криволинейный проводник длины 1 с поперечным сечением Х соединяет две точ- Тогда, пользуясь первым из соотношений электростатики (18.42), запишем Основь~ электромагнитооинамика 205 ки 1 и 2 сплошной среды (рис. 54). Значения электрического потенциала о в этих точках обозначим д и р2. В силу определения р (18.22), а также равенства (18.52) можно записать Ф1 Р2 (18.59) В цепочке (18.59) использовано скалярное следствие дифференциального закона Ома (18.53) 1 = о.Е Из. Поэтому (18.59) часто называют интегральным законом Ома или просто законом Ома: (18.60) Е=1В, 4л.
-Ф Г= 1, Г= Ндв", с (18.61) где с = 3. 10 м/с — скорость света. Проводник Л фактически является вихревой линией вектора магнитной напряженности. -г р Обозначим го1 Н = 4~ и воспользуемся формулой (18.13), выведенной в начале лекции, для выражения Й через ~: г~ = г — С, г~ = г~~. (18.62) Так как ф йЪ' = ф Ж сЬ = ~ дХ Ю и )" ф ИХ = Г, то Х э- йЮгх)(1ы ~) "1ы г (18.63) Соотношение (18.63), связывающее Й и Г, называется законом Био — Савара. где В = 1/(Хо.) — сопротивление проводника, Е = — (р2 — р~)— так называемая электродвижущая сила. Сформулируем далее закон Ампера, согласно которому сила тока 1 в замкнутом проводнике Л пропорциональна циркуляции Г магнитной напряженности Н: 206 Лекиия 18 Подставляя в (18.63) закон Ампера (18.61) получим формулу Зрстеда (18.64) с ) гз или, в приращениях, (18.66) Следовательно, 4тг -, „- 47г т' го1 Н = ~ = у д(г" — ~) сЛ~~ —— с с (18.67) ') Заметим, что в этой формуле двойного векторного произведения ~7 х (а х б) = б Игарка — а 6гадб учтено, что оператор ~7 применяется только к радиусу-вектору г".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
