Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòèèç (2.6.33) ïîëó÷àåìe − ψ)∂22(ψ2v=− τ eα .α 2α 2∆X∂(X )(∆X )X α = X0α ,Σ:(2.6.35)Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (2.6.15), çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè âèõðÿ âàäàïòèâíûõ êîîðäèíàòàõ:ω = ∆ψ =2³ ∂ψX∂α=1∂XIãäåRIJ =∂X2XP JαJ´P Iα P KαP Iα =∂2ψ∂ψ IRIJ +R ,∂X I ∂X J∂X IRI =,α=12X∂P Iαα=1∂X KP Kα .α îðòîãîíàëüíûå, òî ìàòðèöàÅñëè êîîðäèíàòû Xíàëüíîé, ïîñêîëüêó ïðèRIJ(2.6.36)(2.6.37)ÿâëÿåòñÿ äèàãî-I 6= JrI · rJ = P IK ēK · P JL ēL = P IK P JL δ KL =2XP Iα P Jα = RIJ ,(2.6.38)α=1ãäårI âåêòîðû âçàèìíîãî áàçèñà êrI(2.6.25).
Òîãäà ôîðìóëà (2.6.36)ïðèìåò âèäω=∂2ψ∂2ψ∂ψ α∂ψ βααR+Rββ +R .αR +α 2β 2∂X∂X β∂(X )∂(X )Çàïèñûâàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå íà ïîâåðõíîñòè∂ψ/∂X α∂ 2 ψ/∂(X α )2∂ψ/∂X βΣè ïîäñòàâëÿÿ â íåãî âû-ðàæåíèÿ äëÿ(2.6.32) è(2.6.31) è(2.6.35), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìΣ(X α = X0α ) : ω =(2.6.29), à òàêæå äëÿ³αα∂v2R(ψe − ψ)− Rββ neβ + Rα −α 2∆X α∂X(∆X )2RααÃðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ äàâëåíèÿpΣ:n̄2´∂ 2 ψ/∂(X β )2vτ e − vne Rβ .(2.6.40)ïîëó÷èì, åñëè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ(2.6.3), (2.6.4) ïðîäîëæèì âïëîòü äî ãðàíèöû(2.6.9) íà(2.6.39)Σ.Óìíîæàÿ (2.6.3) íàn̄1 ,àè ñêëàäûâàÿ èõ, ñ ó÷åòîì (2.6.21) íàõîäèì∂pn · ∆vf ·n=+−∂nEu ReEu FrÅñëè ãðàíè÷íûå ôóíêöèèShEuv1e∂vnev ∂(v1 + v2 )v ∂(v1 + v2 ). (2.6.41)− 1e− 2e∂tEuEu∂x1∂x2èv2eðàâíû íóëþ (ò.
å. (2.6.21) ýòî óñëîâèåïðèëèïàíèÿ), òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.6.30), (2.6.40) è (2.6.41) ñóùåñòâåííîóïðîùàþòñÿ:Σ(X α = X0α ) :ψ = 0,ω=e2ψR(2.6.42à)αα(∆X α )2,(2.6.42á)242Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûn · ∆vf ·n∂p=+.∂nEu ReEu Fr(2.6.42â)Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè òîêà â ôîðìå Îððà Çîììåðôåëüäà (2.6.20), òî äëÿ íåãî âìåñòî óñëîâèÿ (2.6.40) çàäàåì ãðàíè÷íîåóñëîâèå â ôîðìå (2.6.32), òåì ñàìûì íà êàæäîé ÷àñòè ãðàíèöûΣôîðìóëèðó-åì ïî äâà ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèè òîêà:XZβΣ(X α = const) :ψ = ψ0 −vne (X) dX ,(2.6.43à)X0β∂ψ/∂X α = vτ e ,ãäåψ0 = ψ(X0α , X0β ),(2.6.43á)ïîñêîëüêó ñàìî óðàâíåíèå (2.6.20) èìååò ÷åòâåðòûéïîðÿäîê ïðîèçâîäíûõ ïî êîîðäèíàòàì.Åñëèvne = vτ e = 0,òî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.6.43) ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûìè:Σ:ψ = 0,2.
Ïóñòü ÷àñòü ïîâåðõíîñòèΣ∂ψ/∂n = 0.(2.6.44)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìóþ ëèíèþ, íàêîòîðîé çàäàíû óñëîâèÿ ñèììåòðèè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2.6.2)(2.6.5):Σ:vn = 0,Ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿôóíêöèèωèψp∂vτ /∂n = 0,∂p/∂n = 0.(2.6.45)ïðè ýòîì ñðàçó çàäàíî, à äëÿ âûâîäà óñëîâèé íàìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì, èçëîæåííûì â ïîäðàçäåëå 1.Ôîðìóëû (2.6.24)(2.6.31), à òàêæå (2.6.33), (2.6.36)(2.6.39) òàêæå áóäóòèìåòü ìåñòî, ïðè÷åì òàê êàê â äàííîì ñëó÷àåvne = 0,òî èç (2.6.30) ïîëó÷èìψ:ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿΣ:ψ = 0.(2.6.46)vτ íà Σ â äàííîì∂vτ /∂n = ∂vτ /∂X α .
Ïîýòîìó ñÔîðìóëà (2.6.32) óæå íå èìååò ìåñòà, òàê êàê çíà÷åíèåñëó÷àå íåèçâåñòíî, à çàäàíà ïðîèçâîäíàÿó÷åòîì òîãî, ÷òî íàΣ(X α = const)vτ =èç (2.6.45) íàõîäèì(ñì. (2.6.32)):∂ψ∂ψQIα =,I∂X α∂X∂vτ /∂X α = ∂ 2 ψ/∂(X α )2 .Ïîäñòàâëÿÿ (2.6.45) â (2.6.39) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî íàβ(2.6.46): ∂ψ/∂X=(2.6.47)0,∂2ψ/∂(X β )2=Xα =const â ñèëó0, ïîëó÷àåì ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿôóíêöèè âèõðÿ:Σ(X α = const) :(2.6.48)ω=∂ψ αR .∂X α(2.6.49)243 2.6. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòèÃðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñèììåòðèè äëÿ óðàâíåíèÿ ôóíêöèè òîêà â ôîðìåÎððà Çîììåðôåëüäà (2.6.20) èìåþò âèäΣ(X α = const) :3. Íà ÷àñòèíè÷íûåóñëîâèÿΣψ = 0,∂ 2 ψ/∂(X α )2 = 0.(2.6.50)ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè ìîãóò áûòü çàäàíû ñèëîâûå ãðà-(2.3.38) (ñì.
òàêæå (2.3.30)), êîòîðûå â ñëó÷àå ïëîñêîãîäâèæåíèÿ â áåçðàçìåðíîé ôîðìå èìåþò âèäΣ:−p +TnvEu Re= Tne − CnΣ ,(2.6.51)Tτv = Tτ e − Cτ Σ ,ãäå³ ∂v̄(2.6.52)´∂v̄2 2 2 ¡ ∂v̄1∂v̄ ¢(n̄ ) ++ 21 n̄1 n̄2 ,22∂x∂x∂x∂x³ ∂v̄´∂v̄2 2 2 1 ¡ ∂v̄1∂v̄2 ¢ 1 211 12 1Tτv = τ · Tv · n = 2n̄τ̄+n̄τ̄++(n̄τ̄+n̄τ̄. (2.6.53)2 ∂x2∂x1∂x1∂x2Tnv = n · Tv · n = T̄vij n̄i n̄j = 21(n̄1 )2 +1Tne = 0, Tτ e = 0, òî ãîâîðÿò, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿΣ.Åñëè ó÷èòûâàòü ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå ïîâåðõíîñòè Σ, òî ñîãëàñíîÅñëèñî ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþôîðìóëàì (ò.
2, (4.6.14)) è (2.3.49):CnΣ = −PΣ = −(k1 + k2 )(σΣ0 + Ma (θ − 1)),ÇäåñüσΣ0(2.6.54) áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ; Ma ÷èñëî Ìàðàíãîíè (2.3.50);íîñòèCτ Σ = 0.k1èk2 áåçðàçìåðíûå ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõ-Σ.Íàéäåì èç (2.6.52) ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿωèψ,äëÿ ÷åãî ïðåîáðàçóåìïðîèçâîäíûå ê àäàïòèâíûì êîîðäèíàòàì:¢¢∂v1∂ψ∂v1 ∂ ¡ ∂ψ1 ∂ ¡ ∂ψ= 1 2 = − 22 =P J1 P I2 +P J2 P I1 =IJIJ12 ∂X2 ∂X∂X∂X∂x∂x ∂x∂x1∂2ψ1∂ψII=(P I1 P J2 + P J2 P I1 ) +(R12+ R21), (2.6.55)2 ∂X I X J2 ∂X I∂v2∂2ψ∂2ψ∂v1+=−=∂x1∂x2∂(x2 )2∂(x1 )2∂2ψ∂ψII=(P I2 P J2 − P I1 P J1 ) +(R22− R11),∂X I ∂X J∂X 2ãäå îáîçíà÷åíûIRαβ=∂P Iα JP β.∂X J(2.6.56)(2.6.57)244Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÓ÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.6.22) è (2.6.25), èç (2.6.53) ïîëó÷àåì äëÿTτvñëåäóþùåå âûðàæåíèå:Tτv =∂2ψeIJ + ∂ψ ReI ,R∂X I ∂X J∂X I(2.6.58)ãäå¡¢eIJ = 2(P I P J + P J P I )Q1α Q2α + (P I P J − P I P J ) (Q1α )2 − (Q2α )2 ,R11112222¡¢eI = 2(RI + RI )Q1α Q2α + (R22 − RI ) (Q1α )2 − (Q2α )2 .R(2.6.59)111221Åñëè âûðàçèòü âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ= const∂ 2 ψ/∂(X α )2íà ïîâåðõíîñòèXα =ïî ôîðìóëå (2.6.33):e − ψ)∂2ψ2(ψ2∂ψ=−αα 2α 2∆X ∂X α∂(X )(∆X )(2.6.60)è ïîäñòàâèòü åå â (2.6.58), òî ïîëó÷èì ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ôóíêöèè òîêà:Σ(X α = const) :³´αα∂2ψ∂2ψ∂ψ eα2RRββ + 2 α β Rαβ ++α R −β 2∂X∆X α∂X ∂X∂(X )e − ψ αα∂ψ β2ψ+∂X βe +R(∆X α )2R= Tτ e − Cτ Σ .(2.6.61)Ýòî óñëîâèå ñîäåðæèò âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ òîëüêî âäîëü ïîâåðõíîñòèβïî X , ïî êîîðäèíàòåΣ,ò.
å.X α (ïî íîðìàëè) îíà èìååò òîëüêî ïåðâóþ ïðîèçâîä-íóþ.Åñëè âûðàçèòü âòîðóþ ïðîèçâîäíóþçàïèñàííîãî äëÿ ãðàíèöû∂ 2 ψ/∂(X α )2èç óðàâíåíèÿ (2.6.39),Σ:∂ ψ∂2ψ∂ψ α∂ψ βααR=ω−Rββ −R ,αR −α 2β 2∂X∂X β∂(X )∂(X )2(2.6.62)è ïîäñòàâèòü åå â (2.6.58), à çàòåì â (2.6.52), òî ïîëó÷èì ãðàíè÷íîå óñëîâèåäëÿ ôóíêöèè âèõðÿ:∂2ψω=∂(X β )2µ¶³eββ ααeα αα ´R∂ψRββαR − αα R+R+R−αααeR³eβ αα ´∂ψRβR−2+R−βαα∂XeReR∂X∂2ψ∂X α ∂X βÃðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ äàâëåíèÿpeαβ ααRααRR+(T − Cτ Σ ).eααeαα τ eRR(2.6.63)â äàííîì ñëó÷àå ýòî ñîîòíîøåíèå(2.6.51).Îñîáàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò, êîãäà ñàìà ñâîáîäíàÿ ïîâåðõíîñòüΣ,íà êî-òîðîé çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (***), ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíîé è îïðåäåëÿåòñÿèç óðàâíåíèÿ (ò.
2, (4.7.86)):∂f+ v · ∇f + D0 |∇f | = 0.∂t(2.6.64)245 2.6. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòèÇäåñüD0 ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïîâåðõíîñòèíåÿâíîå óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòèΣ; f (X α , t) =0 Σ. ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (2.6.64) ïðèñîåäèíÿþò ê îáùåé ñèñòåìå (2.6.13),(2.6.15) è (2.6.19) âìåñòå ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (2.6.61), (2.6.63) è (2.6.51).Åñëè íà âñåé ãðàíèöåΣVîáëàñòèçàäàíû óñëîâèÿ ñèììåòðèè (2.6.45),óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ñêîðîñòè (2.6.21) è ñèëîâûå óñëîâèÿ (2.6.51), (2.6.52),òîñèñòåìàóðàâíåíèé(2.6.13),(2.6.15)ñóñëîâèÿìè(2.6.42à),(2.6.42á),(2.6.46), (2.6.49) è (2.6.61), (2.6.63), è ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìt=0:(ãäåv10èv20ω=∂v10∂v20−,∂x1∂x2(2.6.65) íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ñêîðîñòè ïðèt = 0),ïðåäñòàâ-ëÿåò ñîáîé íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé âèõðÿòîêàψ,èïîñëå ðåøåíèÿ êîòîðîé îòäåëüíî ìîæåò áûòü ðåøåíà çàäà÷à (2.6.19),(2.6.42), (2.6.45) îòíîñèòåëüíî äàâëåíèÿp.Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè óêàçàííûõ çàäà÷ â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿóäîáíî âûáèðàòü çíà÷åíèå ôóíêöèèëèíèèωXαψψe(2.6.34)â óçëå ðàçíîñòíîé ñåòêè, ñîñåäíèì ïîñ ðàññìàòðèâàåìûì ãðàíè÷íûì óçëîì.2.6.4.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ îñåñèììåòðè÷íîãî äâèæåíèÿíåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÈçëîæåííûì âûøå ìåòîäîì ìîæíî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ åùåîäíîé ìîäåëè, íàçûâàåìîé ìîäåëüþ îñåñèììåòðè÷íîãî äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè. ýòîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàþò öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàòè ïðåäïîëàãàþò, ÷òî â îáëàñòèíóëþ, à äâå äðóãèåèvr , vz ,Vvφæèäêîñòè îêðóæíàÿ êîìïîíåíòàäàâëåíèåpè òåìïåðàòóðàθr, φ, zðàâíàçàâèñÿò òîëüêî îòr, zt:vφ ≡ 0,f = f (r, z , t),(2.6.66)f = {vr , vz , p, θ}.(2.6.67)Èñïîëüçóÿ êîìïîíåíòíóþ çàïèñü óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ñì. óïð. 4 ê 2.3), äëÿîñåñèììåòðè÷íîãî äâèæåíèÿ ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:∂vrv∂v+ r + z = 0,(2.6.68)∂rr∂z´ f³ ∂2v∂vr∂v∂v∂p11 ∂vrvr∂ 2 vrrSh+ vr r + vz r = −Eu ++−++ r,∂t∂r∂z∂rRer ∂rFr∂r2r2∂z 2Sh∂vz∂v∂v∂p+ vr z + vz z = −Eu +∂t∂r∂z∂z1Re³ ∂2vz∂r2∂vz∂ 2 vz++r ∂r∂z 21´+fzFr(2.6.69),(2.6.70)246Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûSh∂θ∂θ∂θ+ vr + vz=∂t∂r∂z1³ ∂2θPe∂r2+∂θ∂2θ+ 2r ∂r∂z1Áåçðàçìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàññåèâàíèÿâèä12w∗ =³ ∂v ´2r∂r+³ v ´2rr+w∗³ ∂v ´2z∂z´+w∗Eu Re+qmFk.(2.6.71)(2.3.36) â äàííîì ñëó÷àå èìååò+³ ∂vz∂r+∂vr∂z´2(2.6.72),òàê êàê â îñåñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò ïëîñêîãî, íåíóëåâûìèÿâëÿþòñÿ ÷åòûðå êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèéDrzDrr , Dφφ , Dzzèè ÷åòûðå àíàëîãè÷íûå êîìïîíåíòû òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé.2.6.5. Ôóíêöèè âèõðÿ è òîêà â ìîäåëè îñåñèììåòðè÷íîãî äâèæåíèÿ îñåñèììåòðè÷íîé ìîäåëè äâèæåíèÿ æèäêîñòè ôóíêöèè âèõðÿ è òîêàââîäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂ψvr =,³ ∂ψ ψ ´vz = −+,∂z∂vω = r − ∂vz .∂z∂r∂r(2.6.73)r(2.6.74)Óðàâíåíèå íåñæèìàåìîñòè (2.6.68) ïðè ýòîì óäîâëåòâîðÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, ïîñêîëüêó∂vrv∂v∂ψ1 ∂ψ∂ψ1 ∂ψ+ r+ z =+−−= 0.∂rr∂z∂r∂zr ∂z∂r∂zr ∂zz,Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (2.6.69) ïîShr,ïîëó÷àåì∂ 2 vr∂v ∂v∂ 2 vr∂v ∂v∂2v+ r r + vr+ z r + vz 2r =∂t∂z∂z ∂r∂r∂z∂z ∂z∂z∂2p= −Eu+∂r∂zShà (2.6.70) ïî(2.6.75)1³ ∂3vrRe∼∼∼∼≈≈≈≈∂ 3 vr∂ 2 vr1 ∂vr++−r ∂z∂r∂r2 ∂zr2 ∂z∂z 31············´+∂fr∂z,(2.6.76)−∂fz,Fr ∂r(2.6.77)−·−·−1Fr∂2v∂v ∂v∂ 2 vz∂v ∂v∂ 2 vz+ r z + vr 2z + z z + vz=∂t∂r∂r ∂r∂r ∂z∂z∂r∂r∂2p= −Eu+∂r∂z1Re³ ∂3v∂r∼∼∼∼z3············≈≈≈≈1 ∂vz∂ 3 vz∂ 2 vz+−+r ∂r2r2 ∂r∂z 2 ∂r1−·−·−´1Âû÷èòàÿ óðàâíåíèå (2.6.72) èç (2.6.76) è ñîáèðàÿ ïîä÷åðêíóòûå ÷ëåíû, ñó÷åòîì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ôóíêöèè âèõðÿSh∂ω∂ω ∂vr∂v∂ω+ vz+ zω =+ vr∂t∂r∂z ∂r∂z≈≈≈∼∼∼ωèìååì247 2.6.
Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè=³ ∂2ω1∂r2Re∂2ω1 ∂ωω+− 22r ∂r∂zr+·········´+−·−·−³ ∂f1rFr∂z−∂fz∂r´,(2.6.78) ñèëó óðàâíåíèÿ íåñæèìàåìîñòè (2.6.68), ñëàãàåìûå, ïîä÷åðêíóòûå ïðÿ-(−vr ω/r).ìîé è âîëíèñòîé ëèíèÿìè äàþòSh∂ω∂ω∂ωv ω+ vr+ vz− r =∂t∂r∂zr1ReÎêîí÷àòåëüíî íàõîäèì∆ω +1³ ∂fFrr∂z−∂fz∂r´(2.6.79) óðàâíåíèå äèôôóçèè âèõðÿ â îñåñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå.
Ýòî óðàâíåíèåìîæíî ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî è èç óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (2.1.54) (ñì.óïð. 2 ê 2.6).Ïîäñòàâëÿÿ óðàâíåíèå (2.6.73) â (2.6.74), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ïóàññîíàäëÿ ôóíêöèè òîêà:1 ∂ψ∂2ψ∂2ψ+= ω,+r ∂r∂r2∂z 2(2.6.80)èëè∆ψ = ω.Íàéäåì óðàâíåíèå äëÿ äàâëåíèÿr,ïî(2.6.70) ïîzr,³∂ ∂vr∂vv+ z + r∂t ∂r∂zr+ vr³ ∂2vr∂r2p. Äëÿ ýòîãî ïðîäèôôåðåíöèðóåì (2.6.69)è ñëîæèì èõ äðóã ñ äðóãîì, à çàòåì äîáàâèì óðàâíåíèå(2.6.69), äåëåííîå íàSh(2.6.80à)â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì´+³ ∂v ´2r∂r³ ∂v ´2z´1 ∂vrr ∂r³ ∂2p ∂2p+ 2+= −Eu2∂z+2∂z∼∼∼∼∼∼∼∼+ ∂ 2 vz ∂r∂z +∂r++ vz´³ ∂2vz∂z 2∂vz+∂r+ ∂ 2 vr ∂r∂z +∂vrr ∂z1´³∂p1∂∂ ¡ vr ¢++∆vr −r ∂rRe ∂r∂r r2´³´∂∆vr1∂fr∂f+ ∆vz +++ z .∂zrFr∂r∂z1=(2.6.81)×ëåíû, ïîä÷åðêíóòûå ïðÿìîé ëèíèåé ïðîïàäàþò â ñèëó óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè, à ÷ëåí, ïîä÷åðêíóòûé äâóìÿ ïðÿìûìè, â ñèëó òîãî æå óðàâíåíèÿíåðàçðûâíîñòè, äàåò(vr2 /r).Êîìáèíèðóÿ ýòîò ÷ëåí ñ ÷ëåíàìè, ïîä÷åðêíóòûìèâîëíèñòîé ëèíèåé, ïîëó÷àåì³ ∂v ´2³ ∂v ´2 ³ v ´2 ³ ∂v´∂vv 2zr+ z + r −++ r =∂r ³∂zr∂r∂z³r³³´´´ ∂v v ´vr∂vr vr∂vz ∂vrv∂vz ∂vr++= −2+ r + r r .−2r∂z∂zr∂r r∂z∂zr∂r r(2.6.82)Ïîñêîëüêó ïåðâûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ ðàâåí íóëþ, òîâ ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.6.81) îñòàþòñÿ òîëüêî ñëåäóþùèå ñëàãàåìûå:³ ∂v ∂vzr2∂r ∂z³−∂vz ∂vrv+ r∂z ∂zr´−∂vr vr∂r r´=248Ãëàâà 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
