Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

ä.(2.3.15)è ïîäñòàâèì ýòè âûðàæåíèÿ â ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.1.11), (2.1.9) íåëèíåéíîâÿçêîéñæèìàåìîéòåïëîïðîâîäíîéæèäêîñòèâôèçè÷åñêèõêîìïîíåíòàõ.209Ÿ 2.3. Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòèÄèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðûïî êîîðäèíàòàìâ ýòîé ñèñòåìå ïðè ýòîììîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì.

ò. 1, (2.6.33)):1p3X∂ege α=1 ∂ X(ρbvα Hβ Hγ ) =α3ρ0 v0 x20X01 X02 X03 X ∂√α (ρ̄v̄α H̄β H̄γ ) α β γ =3∂ X̄x0 ḡX0 X0 X0α=1=ρ0 v 0 1√x0ḡ3X∂α=1∂ X̄α (ρ̄v̄α H̄β H̄γ )≡ρ0 v 0 ¯∇ · ρ̄v̄.x0(2.3.16)Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå äëÿ áåçðàçìåðíîãî îïåðàòîðà äèâåðãåíöèè âåêòîðà.Òåíçîð äèíàìè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé (2.1.9)Tdìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäó-þùåì âèäå:Td = pE − Tv + ρv ⊗ v = p0 p̄E −µ0 v0T̄v + ρ0 v02 ρ̄v̄ ⊗ v̄.x0Áåçðàçìåðíûé òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèéT̄v3XT̄v = µ̄1 I1 (D̄)E + 2µ̄2 D̄ =(2.3.17)èìååò ñëåäóþùèé âèä:T̄αγ brα ⊗ brγ ,(2.3.18)α,γ=1ãäåD̄ áåçðàçìåðíûé òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé:1¯ ⊗ v̄ + ∇¯ ⊗ v̄ ò ) =D̄ = (∇2àvT̄αγèD̄αγ3Xrα ⊗ brγ ,D̄αγ b(2.3.19à)α,γ=1 áåçðàçìåðíûå êîìïîíåíòû òåíçîðîâ âÿçêèõ íàïðÿæåíèé èñêîðîñòåé äåôîðìàöèé (ñì.

ò. 1, ï. 2.6.10, ôîðìóëû (2.6.37)):D̄αα =1 ∂v̄α1∂ H̄α1∂ H̄α+v̄β +v̄γ ,H̄α ∂ X̄ αH̄α H̄β ∂ X̄ βH̄α H̄γ ∂ X̄ γ2D̄αβ=H̄α ∂H̄β ∂ X̄ βvT̄αγ= µ̄1³ v̄ ´α3XH̄α+H̄β ∂H̄α ∂ X̄ α³ v̄ ´βH̄ β;D̄ββ δαγ + 2µ̄2 D̄αγ .(2.3.19á)(2.3.19â)β=1Òîãäà îïåðàòîð äèâåðãåíöèè òåíçîðà∇ · Td ,çàïèñàííûé â ôèçè÷åñêèõêîìïîíåíòàõ (ñì. (2.1.11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:∇ · Td =ρ v2 ¯p0 ¯µ v ¯· T̄v + 0 0 ∇∇ · p̄E − 0 2 0 ∇· ρ̄v̄ ⊗ v̄,x0x0x0(2.3.20)210Ãëàâà 2.

Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûãäå áåçðàçìåðíûé îïåðàòîð äèâåðãåíöèè îò áåçðàçìåðíîãî òåíçîðà èìååò âèä(ñì. ò. 1, (2.6.40)):¯ · T̄v ≡ √1∇ḡ√33 ³XX∂ ¡ ḡγ=1 α=1∂ X̄ α H̄α¢√T̄vαγ +´∂ H̄α ¢ḡ ¡∂ H̄γbrγ .T̄vγαα − T̄vαα∂ X̄∂ X̄ γH̄α H̄γ(2.3.21)Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì çàïèñûâàåì áåçðàçìåðíûå îïåðàòîðû äèâåðãåíöèè¯ · p̄ E è ∇¯ · ρ̄v̄ ⊗ v̄, äëÿ íèõ â (2.3.21) ëèøü∇vv → ρv̄ v̄ ñîîòâåòñòâåííî.T̄αγ → p̄δαγ è T̄αγα αñëåäóåò îñóùåñòâèòü çàìåíóÂåêòîð ïîòîêà òåïëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåλ θq = 0 0 q̄,x0ãäå¯ θ̄,q̄ = −λ̄ ∇¯ θ̄ =∇3X∂ θ̄α=1∂ X̄ αbrα ,(2.3.22)¯ θ̄ áåçðàçìåðíûé ãðàäèåíò ñêàëÿðà.q̄ áåçðàçìåðíûé òåïëîâîé ïîòîê; ∇Äèâåðãåíöèþ ∇ · q, ñîãëàñíî (2.3.16), ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå∇·q=−λ0 θ 0 ¯¯ θ̄).∇ · (λ̄∇x20(2.3.23)Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (2.3.16) è (2.3.20), (2.3.21), (2.3.23) â ñèñòåìó(2.1.11), (2.1.9), çàïèøåì åå â áåçðàçìåðíîì âèäå:∂ ρ̄¯ · ρ̄v̄ = 0,Sh+∇∂ t̄¯ · ρ̄v̄ ⊗ v̄ = −Eu∇p̄¯ +Sh ∂ ρ̄v̄ + ∇∂ t̄∂ ρ̄ε̄¯ · ρ̄v̄(ε̄ + p̄ ) =+∇Sh∂t̄ρ̄+1Eu Fr1Pe(2.3.24à)1Re¯ · T̄v +∇1Frρ̄f̄ ,(2.3.24á)¯ · (λ̄∇¯ θ̄)+∇ρ̄f̄ · v̄ +1Fkρ̄q̄m +ãäåε̄ = ē +1Eu Re|v̄|22Eu.¯ · (T̄v · v̄),∇(2.3.24â)(2.3.24ã)Çäåñü îáîçíà÷åíû êîìïëåêñû õàðàêòåðíûõ çíà÷åíèé, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé,î÷åâèäíî, áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû è íàçûâàåìûå êðèòåðèÿìè ïîäîáèÿ (èëè÷èñëàìè ïîäîáèÿ):Eu=p0ρ0 v02Sh=x0v0 t 0Re=ρ0 v0 x0µ0 ÷èñëî Ýéëåðà, ÷èñëî Ñòðóõàëÿ, ÷èñëî Ðåéíîëüäñà,211Ÿ 2.3.

Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòèFr=v02f0 x0Pe=ρ0 e 0 v 0 x 0λ0 θ0ãäå= ÷èñëî Ïåêëå,v01=√a0EuM0 =Fk ÷èñëî Ôðóäà,v0 e0qm0 x0a20 = p0 /ρ0 ÷èñëî Ìàõà, ÷èñëî Ôðàíê-Êàìåíåöêîãî, õàðàêòåðíàÿ âåëè÷èíà ñêîðîñòè çâóêà.Êðèòåðèè ïîäîáèÿ â ìåõàíèêå æèäêîñòåé îáû÷íî èãðàþò äâîÿêóþ ðîëü:1) ïðåäïîëàãàÿ ìàëîñòü òåõ èëè èíûõ êðèòåðèåâ, ââîäÿò ìîäåëè ïðîöåññîâ (íàïðèìåð, ìîäåëè óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ ìîæíî ïîëó÷èòü èç(2.3.24) ïðè ìàëûõ ÷èñëàõ Sh, êîãäà âñåìè ïðîèçâîäíûìè ïî âðåìåíèïðåíåáðåãàþò);2) íàõîäÿò ïîäîáíûå ðåøåíèÿ çàäà÷è âÿçêîé æèäêîñòè (2.1.11), (2.1.9), êîòîðûå ïðè ðàçëè÷íûõ õàðàêòåðíûõ çíà÷åíèÿõ âåëè÷èí îáëàäàþò îäíèìèè òåìè æå çíà÷åíèÿìè êðèòåðèåâ ïîäîáèÿ.

Ýòè ðåøåíèÿ èãðàþò âàæíóþðîëü â ìåõàíèêå æèäêîñòåé, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿþò îñóùåñòâëÿòü ýêñïåðèìåíòàëüíîå ìîäåëèðîâàíèå äâèæåíèÿ âÿçêèõ æèäêîñòåé (ïîäðîáíååîá ýòîì ñì. [?]).Ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.3.24) ìîæíî çàïèñàòü â îáîáùåííîì âåêòîðíîì âèäåSh∂ ρ̄Aα¯ · (ρ̄v̄ ⊗ Aα − Bα ) = ρ̄Cα ,+∇∂ t̄α = 1, 2, 3,(2.3.25)ãäå 001T̄1−Eu p̄E + v.f̄Aα = v̄, Bα= , Cα= ReFr1q̄mλ̄ ¯1ε̄f̄ · v̄+−v̄p̄+ ∇θ̄+T̄v · v̄Eu FrFkPeEu Re(2.3.26)Óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (2.1.5) âÿçêîé æèäêîñòè òàêæå ìîæíî çàïèñàòü âáåçðàçìåðíîì âèäå:p̄ = ρ̄2ãäå∂ ψ̄,∂ ρ̄ē = ψ̄ − θ̄ψ̄ = ψ/ψ0 ; ψ0 = e0 = p0 /ρ0Ãåëüìãîëüöà.∂ ψ̄,∂ θ̄ψ̄ = ψ̄(ρ̄, θ̄),(2.3.27) õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ñâîáîäíîé ýíåðãèè212Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçû ÷àñòíîñòè, ðàññìàòðèâàÿ ìîäåëü ñîâåðøåííîãî ãàçà, èç ñîîòíîøåíèé(1.1.65) è (1.1.66) ïîëó÷àåìZθ̄p̄ = ρ̄ θ̄ R̄,c̄v (θ0 )dθ0 ,ē = ē0 +(2.3.28)θ̄0ãäåR̄ =Rθ0 ρ0Rθ= 20 ,p0a0c̄v =cv θ0 ρ0c θ= v 20p0a0(2.3.28à) áåçðàçìåðíûå ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ è òåïëîåìêîñòü ãàçà.Äëÿ ñîâåðøåííîãî ãàçà óðàâíåíèå ýíåðãèè ÷àñòî óäîáíî èìåòü â ôîðìå(2.1.35).

Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â áåçðàçìåðíîì âèäå:³ρ̄c̄vãäåw̄∗Sh∂ θ̄+ v̄ · ∇θ̄) =∂ t̄1Pe¯ · (λ̄∇¯ θ̄) −∇1Eu Rep̄∇ · v +w̄∗Eu Re+ρ̄q̄mFk(2.3.29), áåçðàçìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàññåèâàíèÿ (2.1.21):w̄∗ = T̄v · · D̄ = µ̄1 I12 (D̄) + 2µ2 D̄ · · D̄ > 0.(2.3.29à)Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ê ñèñòåìå (2.3.24), ðàññìîòðåííûå â ï. 2.2.4, òàêæåìîæíî çàïèñàòü â áåçðàçìåðíîì âèäå. Íàïðèìåð, åñëè íà ÷àñòèñòè ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòèà íà äðóãîé ÷àñòèΣ1 : v̄1 = v̄e ,Σ2Væèäêîñòè çàäàíà ñêîðîñòüçàäàíû íàïðÿæåíèÿ−Eu p̄ +Σ2 :1Re1ReTne , Tτα eveΣ1ïîâåðõíî-(ñì. (2.2.36)),(ñì.

(2.2.37)), òî èìååìn · T̄v · n = Eu T̄ne ,n · T̄v · τ α = Eu T̄τα e ,(2.3.30)α = 1, 2.Çäåñü ó÷òåíî, ÷òîpt̄ne= 0 2 t̄ne =2ρ0 v0ρ0 v 0Eu(T̄ne n + T̄τI e τ I ).Òåïëîâûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ìîæíî çàäàòü íà ÷àñòÿõãîâîðÿ, íå ñîâïàäàþùèõ ñΣ01 :ãäåq̄eèθ̄eΣ1èΣ2 ,Σ01èΣ02 ,âîîáùåíàïðèìåð, â ñëåäóþùåì âèäå:¯ θ̄ = q̄e ,−λ̄n · ∇Σ02 :θ̄ = θ̄e ,(2.3.31) çàäàííûå áåçðàçìåðíûå íîðìàëüíûé òåïëîâîé ïîòîê è òåìïåðà-òóðà.Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.3.30) è (2.3.31) óäîáíî çàïèñàòü â åäèíîé îáîáùåííîé ôîðìå ïî àíàëîãèè ñ (2.3.25):Σ:Mα = Mαe ,(2.3.31à)213Ÿ 2.3.

Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòèãäå¯v̄¯Σv̄eEu t̄ne = q̄e  .θ̄e1(−Eu p̄E + (1/Re)T̄v )Σ · n,¯Mα = ¯ 0 ·n−λ∇θ¯ Σθ̄¯Σ02Mαe1(2.3.31á)2Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ê ñèñòåìå (2.3.24) â áåçðàçìåðíîé ôîðìå èìåþò âèät̄ = 0 :ρ̄ = ρ̄0 ,v̄ = v̄ 0 ,θ̄ = θ̄0 .(2.3.32)Îòìåòèì, ÷òî ïîñëå âûâîäà áåçðàçìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.3.24),ñîîòíîøåíèé (2.3.27)(2.3.29) è óñëîâèé (2.3.30)(2.3.32) ÷åðòó íàä âñåìèâåëè÷èíàìè îáû÷íî äëÿ êðàòêîñòè îïóñêàþò î áåçðàçìåðíîé ôîðìå ýòèõñîîòíîøåíèé ñâèäåòåëüñòâóþò ÷èñëà ïîäîáèÿ. Áóäåì â äàëüíåéøåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ýòîãî ïðàâèëà.2.3.4. Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÑèñòåìó óðàâíåíèé (2.1.36)(2.1.42) íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè òàêæåìîæíî çàïèñàòü â áåçðàçìåðíîì âèäå.

Äëÿ ýòîãî ìîæíî íåïîñðåäñòâåííîâîñïîëüçîâàòüñÿ ñèñòåìîé (2.3.24), (2.3.18), (2.3.28), ïîëàãàÿ áåçðàçìåðíóþïëîòíîñòü êîíñòàíòîé:ρ̄ = 1. êà÷åñòâå õàðàêòåðíîãî çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòèâ ýòîì ñëó÷àå óäîáíî ïðèíÿòü çíà÷åíèåÀíàëîãè÷íî, åñëèòåðíûõ çíà÷åíèéµ0◦ρ=ρρ0â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè.µ2 è λ ïîñòîÿííûå, òî, âûáèðàÿ èõ â êà÷åñòâå õàðàêλ, ïîëó÷àåì, ÷òî áåçðàçìåðíûå çíà÷åíèÿ µ̄2 è λ̄ ðàâíûèåäèíèöå, ïîýòîìó â îáùåé áåçðàçìåðíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé íåñæèìàåìîé◦âÿçêîé æèäêîñòè ìîæíî ïîëîæèòü:ρ̄ = 1, µ̄2 = 1, λ̄ = 1.Ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.3.24) â ýòîì ñëó÷àå ïðèìåò âèä¯∇ · v̄ = 0,∂ v̄µ̄2 ¯¯¯Sh ∂ t̄ + ∇ · v̄ ⊗ v̄ = −Eu ∇p̄ + Re ∆v̄ +1Frf̄ ,∂ ε̄¯ · v̄(ε̄ + p̄ ) = 1 ∇¯ · (λ̄∇¯ θ̄)+Sh+∇∂t̄ρ̄Pe1q̄+f̄ · v̄ + m +Eu FrFk(2.3.33)1Eu Re¯ · (T̄v · v̄),∇à îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ ñîâåðøåííîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (2.1.39)(2.1.42) â áåçðàçìåðíîé ôîðìå áóäóò èìåòü ñëåäóþùèé âèä:¯ ⊗ v̄ + ∇¯ ⊗ v̄ ò ) = 2µ̄2 D̄,T̄v = µ̄2 (∇214Ãëàâà 2.

Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûε̄ = ē +v̄ 22EuZθ̄c̄v (θ0 )dθ0 .ē = ē0 +,(2.3.34)θ̄0¯ áåçðàçìåðíûé îïåðàòîð Ëàïëàñà,∆áàçèñå brα , ñîãëàñíî ôîðìóëå (ò. 1, (2.6.51)).Çäåñüâû÷èñëÿåìûé â ôèçè÷åñêîìÅñëè èñïîëüçóþò ñèñòåìó óðàâíåíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ïîëíûõäèôôåðåíöèàëàõ (2.1.44)(2.1.46), òî åå òàêæå ìîæíî çàïèñàòü â áåçðàçìåðíîì âèäå:¯ · v̄ = 0,∇∂ v̄¯ ⊗ v̄ = −Eu ∇p̄¯ + 1 ∆v̄¯ + f̄ ,+ v̄ · ∇Sh∂tReFr∗∂θ̄1w̄q̄mSh¯ θ̄ = ∆¯ θ̄ ++ v̄ · ∇+,∂tãäåw̄∗PeEu Re(2.3.35)Fr áåçðàçìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàññåèâàíèÿ:w̄∗ = T̄v · · D̄ = 2D̄ · · D > 0.Îòìåòèì,÷òîñèñòåìó(2.3.35)ìîæíîïîëó÷èòü(2.3.36)íåïîñðåäñòâåííîèç(2.3.33) òåì æå ñïîñîáîì, êàê â ï. 2.1.2 áûëè ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ â ïîëíûõäèôôåðåíöèàëàõ (ñì.

óïð. 5 ê Ÿ 2.3).2.3.5. Ìîäåëü òåðìîêîíâåêòèâíîãî äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòèÐàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé äâèæåíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè,êîãäà:1) îòñóòñòâóþò âíåøíèå ìåõàíè÷åñêèå âîçäåéñòâèÿ íà ïîâåðõíîñòèΣîá-ëàñòè, ò. å.t̄ne = T̄ne n + T̄τI e τ I = 0,2) ó÷èòûâàþò ïîâåðõíîñòíûå ýôôåêòû íà(2.3.30) íà ÷àñòèΣ2k1èk2(2.3.37)òàê ÷òî ãðàíè÷íîå óñëîâèåèìååò ñëåäóþùèé ðàçìåðíûé âèä:Σ2 :ãäåΣ,v̄e = 0;−p + n · Tv · n = σΣ , ãëàâíûå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè(2.3.38)Σ (ñì. ò.

Характеристики

Список файлов книги