Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 28
Текст из файла (страница 28)
4.1.2) îòíîñÿùàÿñÿ ê óäàðíûì âîëíàì, íàñàìîì äåëå íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ðàçðûâîâ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé, ò.å. ñòî÷êè çðåíèÿ íåýëåêòðîìàãíèòíîé æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé.¤Çàìå÷àíèå 1.10.4. Ñîãëàñíî ïîñëåäíåìóh ïðè ïåðåõîäåS(t) íå ìåíÿåò íè äëèíû, íè äëèíûñâîåé ïðîåêöèè hτ íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü, íè óãëà α ìåæäó âåêòîðàìè n èÐèñ. 1.10.2. Âðàùàòåëüíûé ðàçðûâh.
Ìåíÿòüñÿ ìîæåò òîëüêî íàïðàâëåíèåïðîåêöèè hτ (ðèñ. 1.10.2). Âåêòîð h ìîæåò êàê áû âðàùàòüñÿ âîêðóã íîðìàëèn, îáðàçóÿ êîíóñ ñ óãëîì ïîëóðàñòâîðà α, îòñþäà è íàçâàíèå âðàùàòåëüíûéðàçðûâ. ¤óñëîâèþ (1.10.97), âåêòîð÷åðåç1.10.8. Ìàãíèòîóäàðíûå âîëíû178Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû[ρ] 6=Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñêà÷îê ïëîòíîñòè îòëè÷åí îò íóëÿ:â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå ïîâåðõíîñòüS(t)0,ñ òàêèì óñëîâèåì íàçûâàþòìàãíèòîóäàðíîé âîëíîé.Èç (1.10.90ã) è (1.10.90ä) ïðèM 6= 0, hn 6= 0[hτα ] = (M/hn )2 [hτα /ρ],è[ρ] 6= 0ñëåäóåò, ÷òîα = 1, 2.Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (1.10.77) êàñàòåëüíîãî âåêòîðà(1.10.102)hτýòî ñîîòíîøåíèåâìåñòå ñ (1.10.90ã) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå[hτ ] = (M/hn )2 [hτ /ρ] = −(M/hn )[uτ ] ≡ a,ò.
å. âñå òðè âåêòîðà=2Pα=1uτα τ α[hτ ], [hτ /ρ]è[uτ ](1.10.103)ÿâëÿþòñÿ êîëëèíåàðíûìè. Çäåñüuτ = âåêòîð êàñàòåëüíîé ñîñòàâëÿþùåé îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòèu(1.10.88). Òîãäà, ñîñòàâëÿÿ ñèñòåìó äâóõ âåêòîðíûõ óðàâíåíèé:(hτ − hτ = a,112íàõîäèìhτ =1ò. å. âåêòîðûhτ1(1.10.104)2(hτ /ρ1 ) − (hτ /ρ2 ) = ka,èρ1 (1 − ρ2 k)a,[ρ]hτ2k = (hn /M )2 ,hτ =2ρ2 (1 − ρ1 k)a,[ρ](1.10.105)òîæå êîëëèíåàðíû ìåæäó ñîáîé è âåêòîðóÅñëè ðàññìîòðåòü âåêòîðíàëüíûé ê âåêòîðó íîðìàëè[uτ ].b, îðòîãîn è hτ , òî1îí áóäåò îäíîâðåìåííî îðòîãîíàëåí è êh1 = hn n + hτh2 = hn n + hτ .h2 âìåñòå ñ nëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè Σb , îðòîãîíàëüíîé ê ýòîìó âåêòîðó b (ðèñ. 1.10.3).
Äëÿ11, è êÝòî îçíà÷àåò, ÷òîh122èàëüôâåíîâñêèõ ðàçðûâîâ ýòîò ðåçóëüòàòÐèñ. 1.10.3. Ñêà÷îê âåêòîðàhäëÿ ìàã-â îáùåì ñëó÷àå íå èìååò ìåñòà.Óñòàíîâèì àíàëîã àäèàáàòû Ãþãîíèîíèòîóäàðíîé âîëíû(ñì. ï. 1.3.8) äëÿ ìàãíèòîóäàðíûõ âîëí.Èñïîëüçóåì äëÿ ýòîãî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:2X[u2 ]h( τα + n [uτα hτα ]) =α=1M2=12122Xα=1([u2τα +2hnMuτα hτα +¡ hn ¢ 2¡ h ¢2hτα ] − n [h2τα ]) =MM2 ³2´XX¡ h ¢2h[(uτα + n hτα )2 ] − n [h2τα ] = −(1/2)(hn /M )2[h2τα ].α=1MMα=1(1.10.106)179 1.10.
Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåéÇäåñü ó÷òåíî, ÷òî ñîãëàñíî (1.10.90ä)[uτα +hnhτ ] =M α[(uτα +0,hnhτ )2 ] = 0.M α(1.10.107)Ïåðåíîñÿ â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.10.90â) âûðàæåíèå èç åãî ïðàâîé÷àñòè, ñ ó÷åòîì (1.10.106) ïîëó÷àåì[e + pV +u2n2]+2X1[V h2τα ] −2α=12¡ hn ¢2 XM[h2τα ] = 0.(1.10.108)α=1Çäåñü èñïîëüçîâàíî ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå äëÿ óäåëüíîãî îáúåìà:Vα ≡ 1/ρα ,α = 1, 2.(1.10.109)Âûðàçèì èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé (1.10.90à), (1.10.90á) ñêà÷îê êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè(1/2)[u2n ],ïðîâîäÿ òå æå ñàìûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è(1.3.57)(1.3.63), â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì³unα = ±Vα −1[V ]1([p] +22X´1/2[h2τα ]),α = 1, 2,(1.10.110)α=1 àíàëîã ñîîòíîøåíèé (1.3.61), (1.3.62), è12³[un ] = − [p] +11222X´[h2τα ] (V1 + V2 ).(1.10.111)α=1Ïîäñòàâëÿÿ (1.10.111) â (1.10.108), íàõîäèìp[e + pV − (V1 + V2 )] +22 ³X¢11 ¡ hn ¢2− [h2τα ](V1 + V2 ) + [V h2τα ] −[h2τα ] = 0.α=142M(1.10.112)Ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåîáðàçóåì òàê æå, êàê è â ï.
1.3.8:pp1 − p222[e + pV − (V1 + V2 )] = e1 − e2 + p1 V1 − p2 V2 −= e1 − e2 +p1 + p22(V1 + V2 ) =(V − 1 − V2 ).(1.10.113)Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðåîáðàçîâàòü âòîðîå ñëàãàåìîå â (1.10.112), âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì (1.10.102) è óìíîæèì åãî ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè íàhτα 1 + hτα 2 :[V hτα ](hτα 1 + hτα 2 ) = (hn /M )2 [h2τα ],α = 1, 2.(1.10.114)Ïîäñòàâëÿÿ (1.10.114) âî âòîðîå ñëàãàåìîå â (1.10.112), ïðåîáðàçóåì åãîñëåäóþùèì îáðàçîì:1142− [h2τα ](V1 + V2 ) + [V h2τα ] − [V hτα ](hτα 1 + hτα 2 ) =180Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû³ 1´1= − h2τα 1 (V1 + V2 ) + h2τα 1 V1 − (hτα 1 + hτα 2 V1 hτα 1 −2³ 14´122− − hτα 2 (V1 + V2 ) + hτα 2 V1 − (hτα 1 + hτα 2 V2 hτα 2 =412121= hτα 1 (V1 − V2 ) − hτα 2 (V2 − V1 ) − hτα 1 hτα 2 (V1 − V2 ) =4242= (1/4)(V1 − V2 )[hτα ]2 .(1.10.115)Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (1.10.113) è (1.10.115) â (1.10.112) îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì[e] +³p + p1221+42X´[hτα ]2 [V ] = 0,(1.10.116)α=1èëèp1 + p2e2 − e1 +2(V2 − V1 ) +142X(hτα 1 − hτα 2 )2 (V2 − V1 ) = 0(1.10.117)α=1 ñîîòíîøåíèå, íàçûâàåìîå óäàðíîé àäèàáàòîé â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêå.Ñðàâíèâàÿ (1.10.117) ñ (1.3.64), çàìå÷àåì, ÷òî îíî îòëè÷àåòñÿ òîëüêîòðåòüèì ñëàãàåìûì â (1.10.117), îáóñëîâëåííûì íàëè÷èåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ.1.10.9.
Ïëîñêàÿ çàäà÷à â ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêåÐàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïëîñêóþ îäíîìåðíóþ çàäà÷ó ìàãíèòíîéãèäðîäèíàìèêè, â êîòîðîé êîìïîíåíòû âñåõ íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí ñèñòåìû(1.10.62) â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàòäèíàòûx≡x1è âðåìåíèOēiçàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé êîîð-t:ρ, v̄i , θ, h̄i k x, t.Ñîãëàñíî (1.10.62ã) äàâëåíèåîòxèp(1.10.118)è âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿeòàêæå çàâèñÿò òîëüêît.Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå (1.10.62ä) â äåêàðòîâîì áàçèñåēi ,â ýòîì ñëó÷àåïîëó÷àåì∇·h=3X∂ h̄αα=1ò. å. êîìïîíåíòàh̄1íå çàâèñèò îò∂xα=∂ h̄1=∂x0,(1.10.119)x.Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå (1.10.62ã) ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (ò. 1, (2.4.20)), èìååì∂h+ v · ∇ ⊗ h + h(∇ · v) − h · ∇ ⊗ v = 0.∂t(1.10.120)181 1.10.
Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåé äåêàðòîâîì áàçèñåēiñ ó÷åòîì (1.10.118) îíî èìååò âèä∂ h̄i∂ h̄∂v̄∂v̄+ v̄1 i + h̄i 1 − h̄1 i = 0.∂t∂x∂x∂xÎòñþäà ïðèi=1(1.10.121)íàõîäèì∂ h̄∂ h̄∂ h̄1+ v̄1 1 = 1 = 0.∂t∂x∂t(1.10.122)h̄1 âx, íèÒàêèì îáðàçîì, èç (1.10.119) è (1.10.122) ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòàïëîñêîé îäíîìåðíîé çàäà÷å ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íå çàâèñèò íè îòîòt:h̄1 = const.(1.10.123)Òåíçîð ìàãíèòíûõ íàïðÿæåíèé (1.10.55)è åãî äèâåðãåíöèÿ, ñîãëàñíîäîïóùåíèþ (1.10.118) è ðåçóëüòàòó (1.10.123) èìåþò âèäTh = (h̄i h̄j − h̄k h̄k δij )ēi ⊗ ēj ,∇ · Th =3X∂α=1∂xα (h̄α h̄j1− h̄k h̄k δαj )ēj = (h̄12= −(h̄2Ïîäñòàâëÿÿ(1.10.62à),ïðèi=(1.10.124)(1.10.62á)èâ∂ h̄j∂ h̄− h̄k k δ1j )ēj =∂x∂x∂ h̄∂ h̄∂ h̄∂ h̄2+ h̄3 3 )ē1 + h̄01 2 ē2 + h̄01 3 ē3 .∂x∂x∂x∂x(1.10.62á),(1.10.62ã)(1.10.124)çàïèøåì(îñòàâøèåñÿäâàñèñòåìóóðàâíåíèéóðàâíåíèÿ(1.10.121)1, 2, 3) â äåêàðòîâîì áàçèñå (÷åðòó íàä êîìïîíåíòàìè âåêòîðîâ âäåêàðòîâîì áàçèñå äàëåå îïóñêàåì):∂ρ∂ρv1+=∂t∂x0,∂ρv1∂(ρv12 + p)∂h∂h++ h2 2 + h3 3 = 0,∂t∂x∂x∂x∂ρv1 v2∂h∂ρv∂ρvv∂h∂ρv21233+− h01= 0,+− h01 3 = 0,(1.10.125)∂t∂x∂x∂t∂x∂x∂h2∂h v∂v∂h3∂h v∂v+ 2 1 − h01 2 = 0,+ 3 1 − h01 3 = 0.∂t∂x∂x∂t∂x∂xÑ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 1.10.2 (ñì.
ï. 1.10.4) óðàâíåíèå ýíåðãèè (1.10.62â) âñèñòåìå (1.10.62) ìîæíî çàìåíèòü íà óðàâíåíèå áàëàíñà ýíòðîïèè (1.10.69),êîòîðîå â ñèëó àäèàáàòè÷íîñòè ïðîöåññà ïðèíèìàåò, êàê è äëÿ èäåàëüíîéæèäêîñòè, ôîðìó àäèàáàòû Ïóàññîíà (1.10.72).Ïðèíèìàÿ êðîìå òîãî äîïóùåíèå î òîì, ÷òî◦η = const, ïðèõîäèì ê óñëîâèþáàðîòðîïèè (1.10.73) â óçêîì ñìûñëå:p = p(ρ),(1.10.125à)182Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûêîòîðîå è ÿâëÿåòñÿ çàìûêàþùèì äëÿ ñèñòåìû (1.10.125): ïîñëå ïîäñòàíîâêè(1.10.125à) â (1.10.125) â íåé øåñòü óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî øåñòè íåèçâåñòíûõ:ρ, v̄ 1 , v̄ 2 , v̄ 3 , h̄2 , h̄3 k x, t.Ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ íåðàçðûâíîñòè ñèñòåìó (1.10.125) ìîæíî ïåðåïèñàòüâ ñëåäóþùåì ýêâèâàëåíòíîì âèäå:∂ρ∂v∂ρ+ ρ 1 + v1=∂t∂x∂x0,∂v1∂va2 ∂ρh ∂hh ∂h+ v1 1 ++ 2 2+ 3 3 =∂t∂xρ ∂xρ ∂xρ ∂x∂v2∂vh0 ∂h+ v1 2 − 1 2 =∂t∂xρ ∂x0,∂v3∂vh0 ∂h+ v1 3 − 1 3 =∂t∂xρ ∂x0,∂h2∂h∂v∂v+ v1 2 + h2 1 − h01 2 =∂t∂x∂x∂x0,0,(1.10.126)∂h3∂h∂v∂v+ v1 3 + h3 1 − h01 3 = 0.∂t∂x∂x∂x1.10.10.
Õàðàêòåðèñòèêè è ñêîðîñòè çâóêàâ ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêåÂîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì, èçëîæåííûì â ï. 1.3.15, è íàéäåì õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû (1.10.126), ò. å. òàêèå êðèâûå íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè(x, t),ïðèïåðåõîäå ÷åðåç êîòîðûå ñàìè íåèçâåñòíûå ôóíêöèè îñòàþòñÿ íåïðåðûâíûìè,íî òåðïÿò ðàçðûâ èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ïîxèt.Ââåäåì êîîðäèíàòíûé ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ ôóíêöèéU = {ρ, v1 , v2 , v3 , h2 , h3 }è ìàòðèöó èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ(1.10.127)∂U/∂x:v1ρ0000a2 /ρ v1 00h2 /ρh3 /ρ 0 00v0−h/ρ011,A=0 000v10−h1 /ρ 0 h −h0 0v102100h3 0 −h10v1(1.10.128)òîãäà ñèñòåìó (1.10.126) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ìàòðè÷íîì âèäå∂U∂U+A= 0.∂t∂x(1.10.129)Óðàâíåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé êðèâîé íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè çàäàåì âäèôôåðåíöèàëüíîì âèäå:dx/dt = −λ,(1.10.130)183 1.10.
Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåéãäåλ = λ(x, t).Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ (1.10.130) â (1.10.129), ïîëó÷àåì ñèñòåìóóðàâíåíèé (1.10.126) íà õàðàêòåðèñòèêå:(A − λE) · l = 0,l = ∂U/∂x.(1.10.131)Èùåì íåíóëåâûå ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû, ïîñêîëüêó èìåííî ýòè ðåøåíèÿ äîïóñêàþò íåîäíîçíà÷íîñòü ïðîèçâîäíûõ∂U/∂xè∂U/∂tíà êðèâîé(1.10.130). Ýòè íåíóëåâûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1.10.131) ñóùåñòâóþò òîãäà èA − λE .íàõîæäåíèÿ λ:òîëüêî òîãäà, êîãäà îáðàùàåòñÿ â íóëü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿdet(A − λE) = 0.Â(1.10.132)Ïîäñòàâëÿÿ (1.10.128) â (1.10.132) è âû÷èñëÿÿ îïðåäåëèòåëü øåñòîãîïîðÿäêà, íàõîäèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíîdet(A − λE) = (ev12 −hhh)(ev14 − ve12 ( + a2 ) + a2)=ρρρ0212021λ:(1.10.133)0Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿve = v1 − λ,h2 = h02+ h22 + h23 .1(1.10.134)Ðåøàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1.10.133), íàõîäèì åãî êîðíèλ1,2 = v1 ± aA ,λ3,4 = v1 ± a+ ,λ5,6 = v1 ± a− ,(1.10.135)√aA = |h01 |/ ρ ,³³³´´ ´1h2h2 2h02 1/2 1/2a+ = √ a2 ++ a2 +− 4a2 1,(1.10.136)ãäå îáîçíà÷åíûρ2Âåëè÷èíóaAρ³³³´´ ´h2h2 2h02 1/2 1/2a2 +− a2 +− 4a2 1.1a− = √ρ2ρρρíàçûâàþò àëüôâåíîâñêîé ñêîðîñòüþ, à âåëè÷èíûa+èa−ñîîòâåòñòâåííî áûñòðîé è ìåäëåííîé ìàãíèòíûìè ñêîðîñòÿìè çâóêà.Íåñëîæíî ïîêàçàòü (ñì.
óïð. 1 ê 1.10), ÷òî ïðè ëþáûõ âåùåñòâåííûõçíà÷åíèÿõh01 , h2èh3çíà÷åíèÿ âñåõ òðåõ ñêîðîñòåé âåùåñòâåííû è ðàçëè÷íû.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.10.129) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé.Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò (ñì. óïð. 2 ê 1.10), ÷òî ñêîðîñòèa−aA , a+èíàõîäÿòñÿ â ñëåäóþùåì ñîîòíîøåíèè:a− 6 aA 6 a+ ,(1.10.137)êîòîðîå è îïðàâäûâàåò íàçâàíèå áûñòðîé è ìåäëåííîé ìàãíèòíûõ ñêîðîñòåé.Åñëèh01 ≡ 0,òî èç (1.10.136) ñëåäóåò, ÷òîqa+ =aA = 0a2 + (h2 /ρ) > a,èa− = 0,íî(1.10.138)184Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûò. å. â ýòîì ñëó÷àå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ëèøü áûñòðûå ìàãíèòíûå çâóêîâûåâîëíû, ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîòîðûõ ïðåâûøàåò ñêîðîñòü çâóêàaâ ãàçåïðè ïîëíîì îòñóòñòâèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.Óïðàæíåíèÿ ê 1.10Óïðàæíåíèå 1. Ïîêàçàòü, ÷òî âûðàæåíèÿ (1.10.136) äëÿa+a−èìîæíî çàïèñàòü âñëåäóþùåì âèäå:1a± = √2³a2 +h2±ρ³³´2´ ´(h + h ) 1/2 1/2h2a.a2 −+(h22 + h23 ) +0221ρρÈñïîëüçóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå è (1.10.136), ïîêàçàòü, ÷òîëþáûõ âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèÿõh01 , h2 , h3 .Óïðàæíåíèå 2. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî (1.10.137).22232ρ2a+èa− âåùåñòâåííûå ïðèÃëàâà2ÂßÇÊÈÅ ÆÈÄÊÎÑÒÈ È ÃÀÇÛÐàññìîòðèì çàìêíóòûå ñèñòåìû óðàâíåíèé, ïîñòàíîâêè çàäà÷ è íåêîòîðûåïðèìåðû êëàññè÷åñêèõ âÿçêèõ æèäêîñòåé è ãàçîâ. 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
