Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Ê ýòèì ïÿòè óðàâíåíèÿì ïðèñîåäèíÿåì ñåìüñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè (1.10.5), (1.10.6) è (1.10.9) (óðàâíåíèå (1.10.5) ýêâèâàëåíòíî òðåì òðåì ñêàëÿðíûì, òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ è ê(1.10.6)), à óðàâíåíèÿ (1.10.7) è (1.10.8) íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ïðèt>0(ñì. ò. 2, ï. 2.9.5).Ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ ïðîìåæóòî÷íûõ íåèçâåñòíûõ, îñíîâíûìè íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè â ñèñòåìå (1.10.1)(1.10.3), (1.10.5), (1.10.6), (1.10.9) èç 12óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ 12 ñêàëÿðíûõ íåèçâåñòíûõ, â êà÷åñòâå êîòîðûõ ìîæíîâûáðàòü ñëåäóþùèå:Âåêòîðûdhèb, ee , p, ρe k xi , t.ρ, v, θ, mâûðàæàþòñÿ ÷åðåçemèp(1.10.26)ïî (1.10.18), (1.10.19), à âåêòîðû ïî (1.10.15), (1.10.16):◦◦e,d = (1 + 2ϕ3 (ρ/ρ)2 )p + ϕ4 (ρ/ρ)2 m◦◦e − ϕ4 (ρ/ρ)2 p.h = (1 − 2ϕ2 (ρ/ρ)2 )m(1.10.27)Ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.10.1)(1.10.3), (1.10.5), (1.10.6), (1.10.9) íàçûâàþòñèñòåìîé óðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé ýëåêòðîìàãíèòíîé æèäêîñòèâ ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè.1.10.2. Ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿÃðàíè÷íûå óñëîâèÿ ê ïÿòè óðàâíåíèÿì ãàçîâîé äèíàìèêè (1.10.1)(1.10.3)òàêèå æå, êàê è äëÿ ñëó÷àÿ æèäêîñòè áåç ýëåêòðîìàãíèòíûõ ýôôåêòîâ (ñì. 1.6), è, íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ êîíòàêòà æèäêîñòè ñ íåïîäâèæíûì òâåðäûìòåïëîèçîëèðîâàííûì òåëîì èìåþò âèä (1.2.57), (1.2.60):Σ:Ãðàíè÷íûå(1.10.5),óñëîâèÿ(1.10.6),ê(1.10.9)v · n = 0,ñåìèq · n = qne .ñêàëÿðíûììîæíîïîëó÷èòü(1.10.28)óðàâíåíèÿìèçîáùèõýëåêòðîäèíàìèêèñîîòíîøåíèé(ò.
2,(4.8.51)(4.8.55)) äëÿ ñêà÷êîâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ôóíêöèé íà ïîâåðõíîñòèS(t)ñèëüíîãî ðàçðûâà:S(t) : n × ([h] − (1/c)[d × (c − v)] − (1/c)n × jΣ ) = 0,n × ([e] + (1/c)[b × (c − v)]) = 0,(1.10.29à)(1.10.29á)165 1.10. Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåén · [j] − [ρe (D − vn )] = −n · [d] = ρeΣ ,(1.10.29â)n · [b] = 0,(1.10.29ã)∂Σ ρeΣ− ∇Σ · (ρeΣ (c − v) + jΣ ) − jΣn ∇ · n) ≡ ReΣ .∂t(1.10.29ä)ÇäåñüρeΣ ïëîòíîñòü ïîâåðõíîñòíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà;jΣ âåêòîðïëîòíîñòè ïîâåðõíîñòíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà; ïðîèçâîäíûå íà ïîâåðõíîñòè∂Σ /∂tè∇Σîïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (ò. 2, (4.8.58), (4.8.59)).Åñëè âíåøíÿÿ ïîâåðõíîñòüΣîáëàñòèVðàññìàòðèâàåìîé ýëåêòðîìàãíèò-íîé æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé, è íà íåé îòñóòñòâóþò ïîâåðõíîñòíûåýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû è ýëåêòðè÷åñêèå òîêè, òî íà íåé îáû÷íî çàäàþòñÿêàñàòåëüíûå êΣñîñòàâëÿþùèå âåêòîðîâΣ:Îòìåòèì, ÷òîñòè êΣ,tht · h = hte ,èe:t · e = ete .(1.10.30) ïðîèçâîëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð â êàñàòåëüíîé ïëîñêî-à ñîîòíîøåíèåt · [h] = 0ýêâèâàëåíòíî ñîîòíîøåíèþn × [h] = 0(ñì.ò.
2, ï. 4.8.4). ñëó÷àå íàëè÷èÿ ïîâåðõíîñòè ðàçðûâàS(t)âíóòðè îáëàñòèVê ñèñòå-ìå (1.10.5), (1.10.6), (1.10.9) ïðèñîåäèíÿåòñÿ ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé(1.10.29) äëÿ ñêà÷êîâ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âåëè÷èí.Íà÷àëüíûåóñëîâèÿêïîëíîéñèñòåìåóðàâíåíèéãàçîâîéäèíàìèêè(1.10.1)(1.10.3) è ýëåêòðîäèíàìèêè (1.10.5), (1.10.6), (1.10.9) ñîñòîÿò èçñêàëÿðíûõ óñëîâèé äëÿ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé ïðèt=0:ρ = ρ0 ,v = v0 ,θ = θ0 ,d = d0 ,t=0b = b0 ,âî âñåé îáëàñòèV:ρe = ρe0 , (1.10.31)à òàêæå äâóõ îñòàâøèõñÿ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (1.10.7) è (1.10.8) (ñì. îáýòîì ****).1.10.3.
Ìîäåëü ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòèÍàèáîëåå øèðîêî â ÌÑÑ ïðèìåíÿþò óïðîùåííóþ ìîäåëü ýëåêòðîìàãíèòíîé æèäêîñòè áåç ïîëÿðèçàöèè è íàìàãíè÷èâàíèÿ (â ò. 2, ï. 3.14.12 òàêèåñðåäû áûëè íàçâàíû ýëåêòðîïðîâîäíûìè).Äëÿ òàêèõ ýëåêòðîïðîâîäíûõ æèäêîñòåép ≡ 0,m ≡ 0,(1.10.32)b = h.(1.10.33)è èç (1.10.15), (1.10.16) ñëåäóåòd = e,Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (1.10.18), (1.10.19) ïðè ýòîì íå èìåþò ìåñòà,îíè çàìåíÿþòñÿ íà ñîîòíîøåíèÿ (1.10.32), (1.10.33).166Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûbTÒåíçîðâ ýòîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñT(ñì. (1.10.22)), à îïðåäåëÿþùååñîîòíîøåíèå (1.10.17) ïðåâðàùàåòñÿ â îáû÷íîå ñîîòíîøåíèå èäåàëüíîé æèäêîñòè:b = −pE,T=Tp = ρ2 (∂ψ/∂ρ),(1.10.34)ψ = ψ(ρ, θ).(1.10.35)Çàêîí Ôóðüå (1.10.23) è çàêîí Îìà (1.10.24) ñîõðàíÿþò ñâîé âèä:íîλ, L12èR−q = λ∇θ + θL12 e,(1.10.36)j = L12 ∇θ + (1/R)e,(1.10.37)çàâèñÿò òîëüêî îòρΩ = Ω(ρ, θ),èθ:Ω = {λ, L12 , R}.Âûðàæåíèå (1.10.10) äëÿ ïîíäåðîìîòîðíîé ñèëûf em(1.10.38)óïðîùàåòñÿ, è îíîñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ ñèëû Ëîðåíöà:ρf em = ρf L ≡ ρe e + (1/c)j × h.(1.10.39) ñèëó (1.10.32) óïðîùàåòñÿ è âûðàæåíèå äëÿ äæîóëåâà òåïëà:emρqm= e · j.(1.10.40)Ñ ó÷åòîì (1.10.35)(1.10.40) ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.10.1)(1.10.9) ïðèíèìàåò âèä∂ρ+ ∇ · ρv =∂t(1.10.41à)0,∂ρv1+ ∇ · (ρv ⊗ v) = −∇p + ρef + ρe e + j × h,∂tc(1.10.41á)|v|2p|v|2∂ρ(e +) + ∇ · ρv(e + +) = ∇(λ∇θ)+∂t2ρ21+ ρef · v + v · (j × h) + ρeqm + e · (j + ρe v),c∂e+ ∇ × (e × v − ch) + j = 0,∂t∂h+ ∇ × (h × v + ce) = 0,∂t(1.10.41ã)(1.10.41ä)∇ · h = 0,(1.10.41å)∇ · e = ρe ,(1.10.41æ)∂ρe+ ∇ · (j + ρe v) =∂te = Rj,(1.10.41â)p = p(ρ, θ),0,e = e(ρ, θ),(1.10.41ç)(1.10.41è)è íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé ýëåêòðîïðîâîäíîéæèäêîñòè.L12 = 0.Êîýôôèöèåíò Òîìñîíà â ýòîé ìîäåëè ïîëàãàþò ðàâíûì íóëþ:167 1.10.
Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåéÃðàíè÷íûå óñëîâèÿ ê ñèñòåìå (1.10.41) çàïèñûâàþò ñëåäóþùèì îáðàçîìäëÿ ñëó÷àÿ íåïîäâèæíîé òâåðäîé ïîâåðõíîñòè áåç ôàçîâûõ ïðåâðàùåíèé:Σ:v · n = 0,−λ∇θ = qne ,S(t)Äëÿ ïîâåðõíîñòè ðàçðûâàt · h = hte ,t · e = ete .âíóòðè îáëàñòèV(1.10.42)ñ ó÷åòîì (1.2.12)(1.2.14) è (1.10.29) èìååì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñêà÷êîâ ôóíêöèé:t · ([h] − (1/c)[e × (c − v)] − (1/c)n × jΣ ) = 0,(1.10.43à)t · ([e] + (1/c)[h × (c − v)]) = 0,(1.10.43á)n · [e] = ρeΣ ,(1.10.43â)n · [h] = 0,(1.10.43ã)n · [j] − [ρe (D − vn )] = ReΣ ,(1.10.43ä)[ρ(D − vn )] = 0,(1.10.43å)[ρvn (vn − D) + p] = CnΣ ,(1.10.43æ)vn2)(vn − D) + pvn ] = C30 Σ ,(1.10.43ç)[ρvτα (vn − D)] = Cτα Σ , α = 1, 2.(1.10.43è)[ρ(e +2Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé æèäêîñòè, â îòëè÷èå îò èäåàëüíîéæèäêîñòè áåç ýëåêòðîìàãíèòíûõ ýôôåêòîâ, êàñàòåëüíûå ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà ïîâåðõíîñòíûõ óñèëèéóñëîâèå[vτα ] = 0,Cτα Σ ,êàê ïðàâèëî, îòëè÷íû îò íóëÿ, ïîýòîìóâîîáùå ãîâîðÿ, íå âûïîëíÿåòñÿ.Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ê ñèñòåìå (1.10.41) èìåþò âèät=0:ρ = ρ0 ,v = v0 ,θ = θ0 ,e = e0 ,h = h0 ,ρe = ρe0 .
(1.10.44)1.10.4. Ìîäåëü ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêèÀ. Îñíîâíûå äîïóùåíèÿ.Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ:1) ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü èäåàëüíîé ñæèìàåìîé ýëåêòðîïðîâîäíîé æèäêîñòè;2) æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíîé, ò. å. ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû â íåé îòñóòñòâóþò:ρe ≡ 0,íî ýëåêòðè÷åñêèå òîêèj(1.10.45)â íåé îòëè÷íû îò íóëÿ;3) èçìåíåíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âî âðåìåíè è çà ñ÷åò êîíâåêòèâíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ èçìåíåíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ, òàê÷òî â óðàâíåíèè (1.10.41ã) ïåðâûìè äâóìÿ ÷ëåíàìè â ëåâîé ÷àñòè ìîæíî168Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûïðåíåáðå÷ü ïî ñðàâíåíèþ ñ òðåòüèì ÷ëåíîì, ò.
å. âìåñòî (1.10.41ã) èìååòìåñòî ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:j = c∇ × h;4) ìàññîâûå ñèëûef(1.10.46)è ìàññîâûå ïðèòîêè òåïëà çà ñ÷åò èñòî÷íèêîâ íåýëåê-òðîìàãíèòíîé ïðèðîäû îòñóòñòâóþò:ef = 0,(1.10.47)qem = 0,(1.10.48)òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.10.41) ïðèíèìàåò âèä∂ρ+ ∇ · ρv =∂t(1.10.49à)0,∂ρv1+ ∇ · (ρv ⊗ v) = −∇p + j × h,∂tc(1.10.49á)∂|v|2p|v|21ρ(e +) + ∇ · ρv(e + +) = ∇(λ∇θ) + R|e|2 + v · (j × h),∂t2ρ2c∂h+ ∇ × (h × v + ce) =∂t0,(1.10.49â)(1.10.49ã)∇ · h = 0,(1.10.49ä)j = c∇ × h,(1.10.49å)e = (c/R) ∇ · h,(1.10.49æ)p = p(ρ, θ),e = e(ρ, θ),(1.10.49ç)è íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè.Á. Äèâåðãåíòíàÿ ôîðìà ñèñòåìû óðàâíåíèé.Ïîäñòàâëÿÿ óðàâíåíèå (1.10.49æ) â (1.10.49ã), ñ ó÷åòîì ôîðìóë (ò.
1,(2.5.18)) è (1.10.49ä) èìååì∇ × (ce) =c2c2c2∇ × (∇ × h) = (∇ ⊗ ∇ · h − ∆h) = − ∆h.RRR(1.10.50)Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (1.10.49ã) ïðèíèìàåò âèä(∂h/∂t) + ∇ × (h × v) = (c2 /R) ∆h,(1.10.51)ò. å. îíî ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì.Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (1.10.39) äëÿ ñèëû Ëîðåíöà ñ ó÷åòîì (1.10.45) è(1.10.46):f 2 = (1/c) j × h = (∇ × h) × h = −h × (∇ × h).(1.10.52)169 1.10. Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåéÅñëè èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ (ò.
2, (2.10.2), (2.10.5) è (2.10.6)) èçòåíçîðíîãî àíàëèçà:1h × (∇ × h) = (∇ ⊗ h) · h − h · ∇ ⊗ h = ∇|h|2 − ∇ · (h ⊗ h) + h ⊗ ∇ · h,2(1.10.53)è ó÷åñòü, ÷òî ñîãëàñíî (1.10.49ä) ∇ · h = 0, òî ïîëó÷èì1122f L = − ∇|h|2 + ∇ · (h ⊗ h) = ∇ · (h ⊗ h − |h|2 E).Âûðàæåíèå(1.10.54)1Th ≡ h ⊗ h − |h|2 E(1.10.55)2íàçûâàþò òåíçîðîì ìàãíèòíûõ íàïðÿæåíèé.Ïîäñòàâëÿÿ (1.10.54) â (1.10.49á), ïðèâîäèì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ê äèâåðãåíòíîìó âèäó:∂ρv+ ∇ · (ρv ⊗ v + pE − Th ) = 0.∂t(1.10.56)Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ýíåðãèè (1.10.49â), ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîãëàñíî ôîðìóëàì äëÿ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ (ñì.
ò. 1, óïð. 6 ê 1.2):(1/c)v · (j × h) = (1/c) j · (h × v) = (∇ × h) · (h × v).(1.10.57)Ïðèìåì òàêæå âî âíèìàíèå, ÷òî åñëè óìíîæèòü óðàâíåíèå (1.10.51) ñêàëÿðíî íàh,òî ñ ó÷åòîì ôîðìóë (ò. 1, (2.4.28)):h · (∇ × a) = a · ∇ × h + ∇ · (a × h),h · (∇ × (h × v)) = (h × v) · (∇ × h) + ∇ · ((h × v) × h),h · (∂h/∂t) = (1/2) (∂|h|2 /∂t),(1.10.58)ïîëó÷èì∂ |h|2c2+ ∇ · (h × (v × h)) + (∇ × h) · (h × v) =h · ∆h.∂t 2R(1.10.59)Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ (1.10.49â) è (1.10.59), ñ ó÷åòîì (1.10.57) íàõîäèìóðàâíåíèå ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è æèäêîñòè:∂ρ|v|2|h|2p|v|2(ρe ++) + ∇ · (ρv(e + +)−∂t22ρ2c2− λ∇θ + h × (v × h)) = (h · ∆h + |∇ × h|2 ).R(1.10.60)Ïðèìåì åùå äâà äîïîëíèòåëüíûõ äîïóùåíèÿ:5) ïðîöåññû äâèæåíèÿ æèäêîñòè àäèàáàòè÷åñêèå;6) æèäêîñòü îáëàäàåò áåñêîíå÷íîé ïðîâîäèìîñòüþ:òàêàÿ æèäêîñòü èäåàëüíûé ïðîâîäíèê).R→∞(ãîâîðÿò, ÷òî170Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûeÒîãäà èç (1.10.49æ) ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðîì|e| =c|∇ × h| →R0èR|e|2 =ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òàê êàêc|∇ × h|2 →R20ïðèR → 0.(1.10.61)Ïîýòîìó ïðàâàÿ ÷àñòü â (1.10.51) è (1.10.60) îáðàùàåòñÿ â íóëü, äæîóëåâîòåïëî â (1.10.49â) îòñóòñòâóåò, è ñèñòåìà (1.10.49) ñòàíîâèòñÿ ïîëíîñòüþãèïåðáîëè÷åñêîé.Ñ ó÷åòîì (1.10.51), (1.10.56) è (1.10.60) åå ìîæíî çàïèñàòü â äèâåðãåíòíîìâèäå:∂ρ+ ∇ · ρv =∂t(1.10.62à)0,∂ρv+ ∇ · (ρv ⊗ v + pE − Th ) = 0,∂t∂|v|2h2p|v|2ρ(e ++ ) + ∇ · (ρv(e + +) + h × (v × h)) =∂t22ρρ2∂h+ ∇ × (h × v) = 0,∂t∇ · h = 0,p = p(ρ, θ),ãäå(1.10.62á)0,(1.10.62â)(1.10.62ã)(1.10.62ä)e = e(ρ, θ),(1.10.62å)h = |h|.Ñèñòåìó (1.10.62) íàçûâàþò ñèñòåìîé óðàâíåíèé ìàãíèòíîé ãèäðîäèíà-ìèêè ñ èäåàëüíîé ïðîâîäèìîñòüþ.Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (1.10.42) äëÿ ñèñòåìû (1.10.62) ïðèíèìàþò âèäΣ:v · n = 0,h · t = hte .(1.10.63)Çàìå÷àíèå 1.10.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
