Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

2,ï. 3.13.5.Êàê è äëÿ ñëó÷àÿ èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, â ýòîé ìîäåëèçàäàþò äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ïëîòíîñòè:◦ρ = ρ = const, è óðàâ-íåíèå íåðàçðûâíîñòè (2.1.1) â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè ïðåîáðàçóåòñÿ âóðàâíåíèå íåñæèìàåìîñòè:∇ · v = 0.Äàâëåíèåp,êàê è â ìîäåëè èäåàëüíîéíåñæèìàåìîé æèäêîñòè, ÿâëÿåòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé èíå çàâèñèò îòρèθ.Ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.1.1)(2.1.3) â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä∇ · v = 0, ∂vp+ ∇ · (v ⊗ v + E) = ν2 ∆v + f ,∂tρ³´∂εp11 + ∇ · v(ε + ) + q − Tv · v = f · v + qm .∂tρρ(2.1.36)(2.1.37)(2.1.38)ρÏðèñîåäèíÿÿ ê ýòîé ñèñòåìå îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (ò. 2, (3.12.71)):T = −pE + Tv ,Tv = µ2 (∇ ⊗ v + ∇ ⊗ v ò ),µ2 = µ2 (I1 (D), I2 (D), θ),e = ψ − θ ∂ψ , ψ = ψ(θ),∂θ(2.1.39)(2.1.40)(2.1.41)q = −λ∇θ,ε=e+|v|22,(2.1.42)ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.1.36)(2.1.42) íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè.Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî â ñèëó íåñæèìàåìîñòè (∇µ1 (∇ · v)E)â âûðàæåíèè äëÿ òåíçîðà âÿçêîñòèTv· v = 0), ñëàãàåìîå(2.1.4) îáðàùàåòñÿ â íóëü,ïîýòîìó ìîäåëü íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè âêëþ÷àåò â ñåáÿ òîëüêî îäèíêîýôôèöèåíò âÿçêîñòèµ2 .Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (2.1.37) ó÷òåíî, ÷òî äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè∇ · Tv = µ2 (∇ · ∇ ⊗ v + ∇ · ∇ ⊗ v ò ) = µ2 (∆v + ∇ ⊗ (∇ · v)) = µ2 ∆v,(2.1.42à)ãäå îïåðàòîð ∆v ëàïëàñèàí îò âåêòîðà èìååò âèä (ò.

1, (2.5.15)).Êàê è â ñëó÷àå èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, ñèñòåìó óðàâíåíèéäâèæåíèÿ (2.1.37) è íåñæèìàåìîñòè (2.1.36) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî192Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûîò óðàâíåíèÿ ýíåðãèè (2.1.38), ïîñêîëüêó äëÿ ìîäåëè ñðåäû ñ íå çàâèñÿùèìîò òåìïåðàòóðû êîýôôèöèåíòîì âÿçêîñòèµ2 = µ2 (I1 (D), I2 (D))ýòè óðàâíåíèÿ (2.1.36) è (2.1.37) íå ñîäåðæàò íè÷åòûðåõ ôóíêöèévèp.(2.1.43)θ,íèεè çàâèñÿò òîëüêî îòÑèñòåìó óðàâíåíèé (2.1.36), (2.1.37) ñ îïðåäåëÿþùè-ìè ñîîòíîøåíèÿìè (2.1.39), (2.1.40) è (2.1.43) íàçûâàþò ñèñòåìîé óðàâíåíèéãèäðîäèíàìèêè íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè.Ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ìîäåëü ñîâåðøåííîãî âÿçêîãî íåñæèìàåìîãî ãàçà,åñëè äëÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè ïîòåíöèàëψ(θ)èìååò âèä (1.1.78) òàêîé æå, êàê è äëÿ èäåàëüíîãî ñîâåðøåííîãî íåñæèìàåìîãî ãàçà.Äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå ñîâìåñòíîñòè äåôîðìàöèé äëÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè òàêæå ñîõðàíÿåò ñâîé âèä (1.1.80) è íå âõîäèò â ñèñòåìóóðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè.Åñëè èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå âÿçêîé æèäêîñòè â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõâ ôîðìå (2.1.23)(2.1.25), òî äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî∇·v =0, ïîëó÷àåì âìåñòî (2.1.36)(2.1.38) ñëåäóþùóþ ýêâèâàëåíòíóþ åéñèñòåìó:∇ · v = 0,(2.1.44)(∂v/∂t) + v · ∇ ⊗ v = −(∇ρ/ρ) + ν2 ∆v + f ,◦(∂θ/∂t) + v · ∇θ = aδθ + (w∗ /ρ) + qm ,ãäåa=λ(2.1.46)(2.1.47)◦ρcv êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè æèäêîñòè;(2.1.45)cv = de/dθ óäåëüíàÿòåïëîåìêîñòü íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.Åñëè ðàññìàòðèâàþò ëàãðàíæåâî îïèñàíèå, òî ñèñòåìà óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè, äâèæåíèÿ è ñîâìåñòíîñòè äåôîðìàöèé äëÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîéæèäêîñòè ïðèíèìàåò âèä (ñðàâíèòå ñ (1.1.82)(1.1.84)):−1 = 1,det F◦◦◦◦(∂v/∂t) + ∇ · (p/ρ)F−1 = ∇ · (1/ρ)Pv + f ,◦(∂F/∂t) = ∇ ⊗ v ò ,(2.1.48)(2.1.49)(2.1.50)ãäå òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèé Ïèîëû Êèðõãîôà èìååò ñëåäóþùèé âèä,âûòåêàþùèé èç (2.1.29):µ¶◦◦−1−1 ò−1ò−1(1/ρ) Pv = ν2 F · F·∇⊗v+F ·∇⊗v ·F.◦(2.1.51)193Ÿ 2.1.

Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåéÓðàâíåíèÿ (2.1.48)(2.1.51) íàçûâàþò ñèñòåìîé óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè â ëàãðàíæåâîì îïèñàíèè.Ïîñëå ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ìîæíî ðåøàòü óðàâíåíèå ýíåðãèè, êîòîðîåâ ëàãðàíæåâîì îïèñàíèè èìååò âèä◦1 ◦∂ε+ ◦ ∇ · (pF−1 · v − Pv · v + q) = f · v + qm .∂tρ(2.1.52)2.1.6. Óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà äëÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÐàññìîòðèì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè â ôîðìå Ãðîìåêè Ëåìáà(2.1.27).Äëÿñëó÷àÿíåñæèìàåìîéæèäêîñòèâòîðîåñëàãàåìîåâïðàâîé ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ îòñóòñòâóåò, è äëÿ ñëó÷àÿ ïîòåíöèàëüíûõìàññîâûõ ñèë (1.4.6) îíî ïðèíèìàåò âèä∂v+ 2ω × v = −∇∂tãäåν2 = µ2 /ρ = constµp|v|2+−χρ2¶− 2ν2 ∇ × ω ,(2.1.53) êîýôôèöèåíò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè (2.1.34).Ïðèìåíèì ê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ (2.1.53) îïåðàöèþ rot. Òîãäàïîëó÷èì∂ω+ ∇ × (ω × v) = −ν∇ × (∇ × ω).∂tÇäåñü ó÷òåíî, ÷òî rot grad(2.1.54)ϕ = 0.Ïîñêîëüêó â ñèëó ôîðìóëû (ò.

1, (2.5.19)):1∇ · ω = ∇ · ∇ × v = 0,2(2.1.55)òî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (ò. 1, (2.4.20)), ïîëó÷àåì äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè∇ × (ω × v) = ω(∇ · v) + v · ∇ ⊗ ω − v(∇ · ω) − ω · ∇ ⊗ v == v · ∇ ⊗ ω − ω · ∇ ⊗ v.(2.1.56)Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (ò. 1, (2.5.18)) íàõîäèì∇ × (∇ × ω) = ∇ ⊗ ∇ · ω − ∆ω = −∆ω.(2.1.57)Òîãäà óðàâíåíèå (2.1.54) ïðèíèìàåò âèä∂ω+ v · ∇ ⊗ ω − ω · ∇ ⊗ v = ν∆ω ,∂t(2.1.58)èëè ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè ïîëó÷àåìdω− ω · ∇ ⊗ v = ν∆ωdt(2.1.59) óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè.194Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÏðèìåíèì ê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ (2.1.53) îïåðàòîð äèâåðãåíöèè, òîãäà â ñèëó íåñæèìàåìîñòè èµóðàâíåíèå:∆p◦ρ+|v|22∇·∇×ω =0, íàõîäèì ñëåäóþùåå¶− χ = |ω|2 − 2(∇ × ω) · v,(2.1.60)ïîñêîëüêó (ñì. ôîðìóëó (ò.

1, (2.4.18)))1∇ · (ω × v) = (∇ × ω) · v − (∇ × v) · ω = (∇ × ω) · v − ω · ω.2(2.1.61)Ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå (2.1.60) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿäàâëåíèÿp(x, t),åñëè èçâåñòíûωèv.Åñëè ê óðàâíåíèÿì (2.1.59) è (2.1.60) ïðèñîåäèíèòü ñîîòíîøåíèå ìåæäóωèv,à òàêæå óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè, òî ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèéω(x, t), v(x, t) è p(x, t):∇ · v = 0,+ v · ∇ ⊗ ω − ω · ∇ ⊗ v = −ν∆ω ,(∂ω/∂t)µ¶p|v|2∆ ◦+− χ = ω 2 − 2(∇ × ω) · v,2ρ∇ × v = 2ω.Ãåëüìãîëüöà äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëåé(2.1.62)(2.1.63)(2.1.64)(2.1.65)2.1.7. Çàäà÷à î äèôôóçèè âèõðÿÐàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé Ãåëüìãîëüöàçàäà÷ó î äèôôóçèè ïðÿìîëèíåéíîé âèõðåâîé íèòè, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ âñëåäóþùåì: íàéäåì ðåøåíèå ñèñòåìû (2.1.62)(2.1.65) âî âñåì ïðîñòðàíñòâåEa3 â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t > 0, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t == 0 çàäàíî êóñî÷íî-íåïðåðûâíîå ïîëå âèõðÿ ω(x, t) = ω(x, 0)ē3 íóëåâîå3âåçäå, êðîìå âèõðåâîé ëèíèè Lω , ñîâïàäàþùåé ñ îñüþ êîîðäèíàò Ox (ñì.ðèñ.

1.6.6). Èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå (1.6.58à) äëÿ Γ = 2ωdΣ öèðêóëÿöèèâäîëü âèõðåâîé ëèíèè, ãäå dΣ ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ýòîé ëèíèè.Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.6.74) ïîëå âåêòîðà ñêîðîñòè, èíäóöèðîâàííîå âèõðåâîé íèòüþ ïðèt=0, èìååò â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò(r, φ, z),¯ z = x , òîëüêî îäíó íåíóëåâóþ îêðóæíóþ êîìïîíåíòó; íà áåñêîíå÷íîñòèv¯∞ = 0, ÷òî îçíà÷àåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (1.6.34à).Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ïîëå äàâëåíèÿ p(x, t), ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿóðàâíåíèåì (2.1.64), êîòîðîå ïðè èçâåñòíûõ ôóíêöèÿõ ω è v ïðåäñòàâëÿåòa îòíîñèòåëüíîñîáîé óðàâíåíèå Ïóàññîíà â íåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå E3◦2ôóíêöèè (p/ρ) + (|v| /2) − χ.Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííîå ðåøåíèå.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t == 0, ñîãëàñíî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì âî âñåì ïðîñòðàíñòâå E3a êðîìå ëèíèè Oz ,äâèæåíèå áûëî áåçâèõðåâûì: ω = 0, à ñêîðîñòü vφ óáûâàëà ñ ðàññòîÿíèåì îòãäå3195Ÿ 2.1. Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåéýòîé îñè êàê 1/r .

Ïðèt>æèäêîñòè ñòàíîâèòñÿ âèõðåâûì:óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿrE3a0 âî âñåì ïðîñòðàíñòâåω 6= 0,ìãíîâåííî äâèæåíèåω áûñòðî óáûâàåòexp(−r2 /4πνt).íî çàâèõðåííîñòüîò âèõðåâîé íèòèOz ,êàêñr=ω(r, t)Íà ïîâåðõíîñòè âñÿêîãî öèëèíäðà=const, çàâèñèìîñòü çàâèõðåííîñòètîò âðåìåíèÿâëÿåòñÿ íåìîíîòîííîé ôóíê-öèåé, ðàâíîé íóëþ ïðèê íóëþ ïðèìàêñèìóìàt=0, ñòðåìÿùåéñÿt → ∞ è èìåþùåé îäíó òî÷êótmax = r2 /4ν , â êîòîðîé çàâèõ-ðåííîñòü äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ(ðèñ. 2.1.1):ωmax = ω(r, tmax ) =Ðèñ. 2.1.1.Γ.22πr eωñòèâÈçìåíåíèåçàâèñèìîñòèr = conståò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ðàäèóñà âèõðåâîé òðóáêèçàâèõðåííîñòè,∂ω(r = const, t)/∂t,r = |x|êîòîðóþìîæíîróìåíüøàåòñÿ ñêîðîñòüîïðåäåëèòüêàêïðîèçâîäíóþèt=0:ãäåâðåìåíèíà öèëèíäðè÷åñêèõ âèõðåâûõ òðóáêàõÈç ïåðâîé ôîðìóëû (2.1.68***) ñëåäó-äèôôóçèèçàâèõðåííîîòvr = 0,vφ (x, 0) =Γ,2πrvz = 0,(2.1.66) ïîëÿðíûé ðàäèóñ ðàññòîÿíèå îò ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè ñðàäèóñ-âåêòîðîìxäî îñèOz .Áóäåì èñêàòü ïîëÿ ñêîðîñòåév(x, t), âèõðÿ ω(x, t) è äàâëåíèÿ p(x, t)t > 0 â ñëåäóþùåì âèäå:âëþáîé ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíèvr = vz = 0,vφ (x, t) = v(r, t),p = p(r, t),ωr = ωφ = 0,ωz = ω(r, t).(2.1.67)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (ñì.

óïð. 7 ê Ÿ 2.6 ò. 1 è óïð. 2 ê Ÿ 2.1) äëÿ ðîòîðàâåêòîðà â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, íàõîäèì ñîîòíîøåíèå ìåæäóèω:1122rω = ∇×v =ò. å.ω=12r∂rvez = ωez ,∂r∂rv.∂rv(2.1.68)(2.1.69)Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà (2.1.15) â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ñì. óïð. 2 ê Ÿ 2.1), äëÿ åäèíñòâåííîé íåíóëåâîé êîìïîíåíòû âåêòîðàâèõðÿωs = ωïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:∂ω=ν∂tµ1 ∂ω∂2ω+2r ∂r∂r(âñå êîíâåêòèâíûå ÷ëåíû ÿâëÿþòñÿ íóëåâûìè).¶(2.1.70)196Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÓðàâíåíèþ (2.1.70) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ:µCr2ω(r, t) =exp −t4νtÄåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêóµCr2∂ω= 2 exp −∂t4νtt¶µ¶r2−14νt¶.(2.1.71)µ∂ωCrr2= − 2 exp −∂r4νt2νt,µ∂2ωCr2=exp−4νt∂r2νt2¶µr2−4νt¶,¶12(2.1.72),òî, ïîäñòàâëÿÿ (2.1.72) â (2.1.70), óáåæäàåìñÿ, ÷òî óðàâíåíèå òîæäåñòâåííîóäîâëåòâîðÿåòñÿ.Γr ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà r ñ öåíòðîìz = 0.

Характеристики

Список файлов книги