Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 25
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2, (2.2.6)) âåêòîð ñóììàðíûõ âíåøíèõ ïîâåðõíîñòíûõ ñèëíîñòíûõ ìîìåíòîâe Σ,µè âåêòîð ñóììàðíûõ âíåøíèõ ïîâåðõ-äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòüZeΣ = −FRZ µ◦pn dΣ = ρ◦Z µpx × n dΣ = ρΣRΣRïîâåðõíîñòè æèäêîñòè:∂ϕ|v|2+∂t2ΣRΣRZe ΣR = −µeΣF|v|2∂ϕ+∂t2¶n dΣ,¶x × n dΣ.(1.9.138)ΣRÇäåñü ó÷òåíà ôîðìóëà äëÿ èíòåãðàëà Êîøè Ëàãðàíæà (1.7.44) äëÿ íåñæè-f (t), ïðèñóòñòâóþùàÿ â èíòåãðàëå (1.7.44) íåeΣ è µe Σ , òàê êàê äëÿ âñÿêîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòèFRèx · n dΣ = 0.ìàåìîé æèäêîñòè. Ôóíêöèÿâõîäèò â âûðàæåíèÿ äëÿRf n dΣ = fΣRn dΣ = 0ΣΣÑóììàðíûå ïîâåðõíîñòíûå ñèëû è ìîìåíòû íà îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ïîâåðõíîñòèΣîáëàñòèV2 ,î÷åâèäíî, ñîâïàäàþò ñF ΣsèµΣsñ îáðàòíûì çíàêîì(ñì.
ôîðìóëû (1.9.133)).Ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (1.9.137) è (1.9.138) óðàâíåíèÿ (1.9.136) ìîæíîçàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:deIe Σ − F Σs ,=FRdtedke Σ − µΣs .=µdt(1.9.139)159 1.9. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòèdeI/dtÂû÷èñëèì ïðîèçâîäíûåe ,dk/dtèèñïîëüçóÿ (1.9.137) è ïðàâèëîäèôôåðåíöèðîâàíèÿ èíòåãðàëîâ ïî ïîâåðõíîñòè ïîäâèæíîãî îáúåìà (ñì. ò. 2,ôîðìóëó (2.1.13á) è óïð.
4 ê 2.1):Z◦ ddeIdI=+ρdtdtdtZe◦ ddkdk=+ρdtdtdt◦dIϕn dΣ =+ρdtΣRZ³∂ϕ∂tΣR◦dk+ρdtϕx × n dΣ =ΣR´n + vn v dΣ,Z³∂ϕ∂t(1.9.140)´x × n + vn (x × v) dΣ.ΣRÏîäñòàâëÿÿ (1.9.138) è (1.9.140) â (1.9.139), ïîëó÷àåì, ÷òî èíòåãðàëû,ñîäåðæàùèå∂ϕ/∂t,âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ, è èç (1.9.139) ñëåäóåòdI+ F Σs = h1 (R),dtãäådk+ µΣs = h2 (R),dt◦iZ µh1 (R) = h1 (R)ēi ≡ ρZ µ◦h2 (R) = hi2 (R)ēi ≡ ρ|v|22(1.9.141)¶n − vn v dΣ,ΣR|v|22¶x × n − vn (x × v) dΣ.(1.9.142)ΣRÏîñêîëüêó â (1.9.141) ëåâûå ÷àñòè ñîîòíîøåíèé íå çàâèñÿò îòïðàâûå ÷àñòè íå äîëæíû çàâèñåòü îòR,R,òî è èõè, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ìîæíî çàìåíèòüïðåäåëüíûìè ñîîòíîøåíèÿìèh̄iβ∞ = lim h̄iβ (R),hβ∞ = h̄iβ∞ ēi ,ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðåäåëûR→∞h̄iβ∞β = 1, 2,(1.9.143)ñóùåñòâóþò.
Ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîñêîëüêóïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè â (1.9.142) ðåãóëÿðíûå íà áåñêîíå÷íîñòè:¯¯Z³ 2|v|ZZZ´ ¯¯ |v|2 i ¯|v|2i¯¯¯n̄ − vn v̄ dΣ 6n̄ dΣ +dΣ+|vn v̄ |dΣ 6i2ΣRi2Zj+i|v ||n̄j ||v̄ |dΣ 6Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òîh̄2∞ =N0 è(1.9.135).Òåîðåìà 1.9.11.ri7ΣRZZ2|v| dΣ 6 C2ΣRΣRh̄1∞ =2ΣRh̄i1∞ =ΣRΣRdΣR24πC=4πC= 2 .44RRR0. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåì, è(1.9.144)h̄i2∞ =0, ò. å.0. Òîãäà èç (1.9.141) äåéñòâèòåëüíî ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ ïîäâèæíîì áàçèñå, ñîâïàäàþùåì ñ ëîêàëüíûì áàçèñîìàáñîëþòíî òâåðäîãî òåëàB,ñîîòíîøåíèÿ (1.9.135) ïðèíèìàþò âèä−F Σs =dI= IOl + ω × I,dt160Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû−µΣs =dk= k0Ol + ω × k0 + v0 × I + x0 × (IOl + ω × I),dt−µ0Σs = k0Ol + ω × k0 + v0 × I.IOlkOl êîðîòàöèîííûå ïðîèçâîäíûå Îëäðîéäà (ñì.
ò. 2, ï. 1.5.2)iiâåêòîðîâ I = I ri è k = k ri , îïðåäåëÿåìûå ïî ôîðìóëàì (ò. 2, (1.5.16)):Çäåñüäëÿ(1.9.145)èIOl =HdI iri ,dtÄëÿ àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëàkOl =B,dk iri .dt(1.9.146)êàê è äëÿ îáû÷íûõ ñïëîøíûõ ñðåä,âñåãäà ìîæíî ââåñòè ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòûX i , äâèæóùèåñÿ âìåñòå ñ òåëîìi(ñì. ðèñ. 1.9.9***). Ââåäåì X òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû â îòñ÷åòíîé êîíôèãó◦◦i◦iiðàöèè K òåëà B îíè ñîâïàäàëè ñ x , ò.
å. ïðè t = 0 : X = x . Òîãäà çàêîíäâèæåíèÿ (1.9.105) òåëàBìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:◦◦xi = xi0 + ai + Q̄i j (xj − xj0 ).ÇäåñüQ = Q̄i j ēi ⊗ ēj .Äèôôåðåíöèðóÿ ïîáàçèñàrj ,Xj(1.9.147)ýòî ñîîòíîøåíèå, íàõîäèì ëîêàëüíûå âåêòîðûñîîòâåòñòâóþùèå ïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòrj =ÏîñêîëüêóQX i:∂xiēi = Q̄i j ēj = Q · ēj .∂X j îðòîãîíàëüíûé òåíçîð, òî áàçèñ(1.9.148)rj ,î÷åâèäíî, âñåãäàÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì.Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ïîäâèæíîãî áàçèñàrj :drj= Q̇ · ēj = Q̇ · Q ò · rj = (ω × E) · rj = ω × rj .dt(1.9.149)Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (1.9.149) íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ ïðîèçâîäíîé ïîâðåìåíè îò ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðàa = ai ri :daddaidr= (ai ri ) =ri + ai i = aOl + ai ω × ri = aOl + ω × a.dtdtdtdt(1.9.150)I, ïðèõîäèì ê ïåðâîé ôîðìóëå â (1.9.145).Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (1.9.149) äëÿ âåêòîðà k è ó÷èòûâàÿ (1.9.126), ïîëó÷àåìÏðèìåíÿÿ ýòó ôîðìóëó äëÿ âåêòîðàâòîðóþ ôîðìóëó â (1.9.145):dk0dxdIdk=+ 0 × I + x0 ×=dtdtdtdt= k0Ol + ω × k0 + v0 × I + x0 × (IOl + ω × I).(1.9.151)Ïîäñòàâëÿÿ ïåðâóþ è âòîðóþ ôîðìóëó èç (1.9.145) â (1.9.134), ïîëó÷àåìòðåòüþ ôîðìóëó â (1.9.145):µ0Σs = µΣs − x0 × F Σs = −k0Ol − ω × k0 − v0 × I−161 1.10.
Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåé− x0 ×dIdI+ x0 ×= −k0Ol − ω × k0 − v0 × I. NdtdtÔîðìóëû (1.9.145) ïîçâîëÿþò íàéòè âûðàæåíèÿ äëÿ ãèäðîäèíàìè÷åñêîéF Σs è ìîìåíòîâ ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû µΣs è µ0Σs , åñëè èçâåñòíû0âåêòîðû I è k æèäêîñòè.Åñëè äâèæåíèå òåëà B ïîñòóïàòåëüíîå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ vs = 0,òî ω = 0 è ñêîðîñòü v æèäêîñòè íå çàâèñèò îò âðåìåíè t, ïîýòîìó I = const,k0 = const è k0Ol = k̇0 = 0, è íà îñíîâàíèè òåîðåì 1.9.10 è 1.9.11 ïîëó÷àåìñèëûF Σs = 0,Òàêèì îáðàçîì, íà òåëîBµ0Σs = −v0 × I.ïðîèçâîëüíîé ôîðìû ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâè-æåíèè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà ñî ñòîðîíû æèäêîñòèíå äåéñòâóåò.
Ýòî ÿâëåíèå ñîñòàâëÿåò ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà, ðàññìîòðåííûé âï. 1.9.8 äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ äâèæåíèÿ øàðà. Ìîìåíò ãèäðîäèíàìè÷åñêîéñèëûµ0ΣsO0 áóäåò óæå îòëè÷åíâåêòîðû v0 è I êîëëèíåàðíû.îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé òî÷êèðàâíûì íóëþ îí áóäåò, òîëüêî êîãäàîò íóëÿ,Óïðàæíåíèå ê 1.9Óïðàæíåíèå 1. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1.9.86), äîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî âûðàæåíèå(1.9.102). 1.10. Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåé1.10.1.
Îáùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèéèäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåé ðàçëè÷íûõ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ (ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèå ãåíåðàòîðû (ÌÃÄ-ãåíåðàòîðû), ýëåêòðîìàãíèòíûå óñêîðèòåëè è äð.), à òàêæå âãåîìåõàíèêå (ïðè èçó÷åíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé Çåìëè è äðóãèõ íåáåñíûõ òåë) è àñòðîôèçèêå ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ æèäêîñòÿìè, îáëàäàþùèìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè.  ò.
2, 2.9 áûëè ñôîðìóëèðîâàíûîñíîâîïîëàãàþùèå çàêîíû ýëåêòðîìàãíåòèçìà çàêîíû Ìàêñâåëëà, â ò. 2, 2.12 áûëè ïðèâåäåíû â óíèâåðñàëüíîé ôîðìå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ÌÑÑ äëÿñðåä ñ ýëåêòðîìàãíèòíûìè ñâîéñòâàìè ñèñòåìû óðàâíåíèé (ò. 2, (2.12.5)è (2.12.14) ñ ó÷åòîì (2.12.13)). Íàêîíåö, â ò. 2, 3.14 áûëè óñòàíîâëåíûîïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñïëîøíûõ ñðåä ñ ýôôåêòàìè ýëåêòðîìàãíåòèçìà, â ÷àñòíîñòè äëÿ èäåàëüíûõ æèäêîñòåé áûëè ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ(ò. 2, (3.14.101)).Ñîáåðåì óêàçàííûå ñîîòíîøåíèÿ â åäèíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé â àêòóàëüíîé êîíôèãóðàöèèK.162Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÑèñòåìà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (ò. 2, (2.12.5)) ïðèα=1, 2 è 3 (óðàâíåíèÿíåðàçðûâíîñòè, äâèæåíèÿ è ýíåðãèè) ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (ò. 2, (2.12.13))äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âåëè÷èí â ÿâíîì âèäå âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂ρ+ ∇ · ρv =∂t(1.10.1)0,∂ρv+ ∇ · (ρv ⊗ v − T) = ρ(ef + f em ),∂t(1.10.2)∂ρεem+ ∇ · (ρvε − v · T + q) = ρ(ef + f em ) · v + ρ(eqm + qm),∂t(1.10.3)ε = e + |v|2 /2.(1.10.4)Ñèñòåìà çàêîíîâ ýëåêòðîäèíàìèêè (ò. 2, (2.12.4)) â ÿâíîì âèäå âKçàïèñû-âàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:¡d¢∂ dj+∇××v−h =− ,∂t ccc¡b¢∂ b+∇×× v + e = 0,∂t cc(1.10.5)(1.10.6)∇ · b = 0,(1.10.7)∇ · d = ρe ,(1.10.8)∂ρe+ ∇ · (j + ρe v) = 0.∂t(1.10.9) ýòî ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, b âåêòîð ìàãd âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè, j âåêòîð ïëîòíîñòèýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, h âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, e âåêòîðíàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, c ñêîðîñòü ñâåòà (êîíñòàíòà).Íàïîìíèì, ÷òîρeíèòíîé èíäóêöèè,Ñèñòåìû óðàâíåíèé (1.10.1)(1.10.4) è (1.10.5)(1.10.9) ñâÿçàíû äðóã ñäðóãîì, ïîñêîëüêó â óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíåòèçìà âõîäèò ñêîðîñòüâûðàæåíèÿ äëÿf em , q emèTv,à ââõîäÿò ýëåêòðîìàãíèòíûå âåëè÷èíû, íàïðèìåðïëîòíîñòü ïîíäåðîìîòîðíîé ñèëûf em ,ñîãëàñíî (ò.
2, (2.10.16)), èìååò âèä1ρf em = ρe e + j × b + (∇ × e) · p + (∇ × b) · m +cρ d ¡p × b¢,c dtρïðèòîê òåïëà ê ñðåäå çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿem ,qm(1.10.10)ñîãëàñíîôîðìóëå (ò. 2, (2.11.36)), èìååò âèäemρqm= e · j + ρe ·Â ýòè âûðàæåíèÿ âõîäÿò âåëè÷èíû:ïîëÿðèçàöèè,ee, hd ¡p¢dbe ·.−mdt ρdtm, p(1.10.11) âåêòîðû íàìàãíè÷åííîñòè è âåêòîðû íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãîïîëåé â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èem âåêòîð íàìàãíè÷åííîñòèâ ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (ò. 2,(2.9.88)(2.9.91)):e,m=b−hp = d − e,(1.10.12)163 1.10. Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåée = h + (1/c)v × d,he = e − (1/c)v × b,(1.10.13)e = m + (1/c)v × p.m(1.10.14)Äëÿ ìîäåëè íåðåëÿòèâèñòñêèõ ïðîöåññîâ (ñì.
ò. 2, ï. 3.14.2) ñêîðîñòüìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòàc,|v|è ñîîòíîøåíèÿ (1.10.12)(1.10.14) çàìåíÿþòíà ñëåäóþùèå (ñì. ò. 2, (3.14.16á)):m = b − h,e = h,he = e,Êñèñòåìåîïðåäåëÿþùèåóðàâíåíèép = d − e,e = m.m(1.10.1)(1.10.9)ñîîòíîøåíèÿèäåàëüíîé(1.10.15)ñëåäóåò(1.10.16)ïðèñîåäèíèòüýëåêòðîìàãíèòíîéòàêæåæèäêîñòè(ò. 2,(3.14.101)):¡◦¢ϕb = −pE + 2 ρ 2 (ϕ2 me ⊗me + ϕ3 p ⊗ p + 4 ( me ⊗ p + p ⊗ m))e ,Tρ2◦e + ϕ4 p),b = (ρ/ρ)2 (2ϕ2 m(1.10.18)◦e ,e = (ρ/ρ)2 (2ϕ3 p + ϕ4 m)ãäåp êàê âñåãäà äàâëåíèå â æèäêîñòè;ôóíêöèèψ,ϕγ(1.10.17)(1.10.19) ïðîèçâîäíûå îò ñêàëÿðíîéçàâèñÿùåé îò ïÿòè èíâàðèàíòîâ:p = ρ2ϕ2 = ρ∂ψ,e 2∂|m|∂ψ,∂ρϕ3 = ρe=ψ−θ∂ψ,∂|p|2∂ψ,∂θϕ4 = ρ∂ψ,e ·p∂me 2 , |p|2 , me · p, θ).ψ = ψ(ρ, |m|(1.10.20)(1.10.21)Ó÷àñòâóþùèé â (1.10.17) ýëåêòðîìàãíèòíûé òåíçîð íàïðÿæåíèé Êîøèñâÿçàí ñTbTñîîòíîøåíèåì (ò.
2, (3.14.12)):b −me ⊗ b − p ⊗ e.T=T(1.10.22) ñèñòåìó îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé âõîäÿò òàêæå çàêîí Ôóðüå è çàêîíÎìà (ò. 2, (3.14.60)):ãäåλ−(q/θ) = (λ/θ)∇θ + L12 e,(1.10.23)j = L12 ∇θ + (1/R)e,(1.10.24) êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè æèäêîñòè;òðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ æèäêîñòè;ýëåêòðîïðîâîäíîñòè;L12L22 = 1/RêîýôôèöèåíòR êîýôôèöèåíò ýëåê-íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîìÒîìñîíà,îïèñûâàþùèéýôôåêòâîçíèêíîâåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà ïîä äåéñòâèåì ãðàäèåíòà òåìïåðàòóðû èîáðàòíûé åìó ýôôåêò.164Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÊîýôôèöèåíòûλ, L12 , R,âîîáùå ãîâîðÿ, ìîãóò áûòü òàêèìè æå ôóíêöè-ÿìè êàê ïîòåíöèàë (1.10.21):e 2 , |p|2 , me · p, θ),Ω = Ω(ρ, |m|Ω = {λ, L12 , R}.(1.10.25)Ïîäñ÷èòàåì îáùåå ÷èñëî óðàâíåíèé â ñèñòåìå (1.10.1)(1.10.25). Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.10.20) â (1.10.17)(1.10.19), à çàòåì (1.10.17)(1.10.19)âìåñòå ñ (1.10.23) è (1.10.10), (1.10.11) â óðàâíåíèÿ (1.10.1)(1.10.3), ïîëó÷èì ïÿòü ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé.
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