Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Îäíàêî, â îòëè÷èå îò ïëîñêèõ âîëí, àìïëèòóäàáóäåò ðàâíà ñêîðîñòè çâóêàñôåðè÷åñêèõ âîëí, êàê ñëåäóåò èç (1.8.37) èëè (1.8.32), íå îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ó ñõîäÿùèõñÿ ê öåíòðó âîëí îíà óâåëè÷èâàåòñÿ, à ó ðàñõîäÿùèõñÿ óìåíüøàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî 1/r .1.8.6. Çàïàçäûâàþùèå ñôåðè÷åñêèå âîëíûÐàññìîòðèì ñíîâà âîëíîâîå óðàâíåíèå (1.8.1) ïðè íàëè÷èè îñåâîé ñèììåòðèè:1ba200³∂2ϕ1∂∂ϕ= 2r22∂r∂tr ∂r< r < r1 < ∞,0´,(1.8.38)< t < t1 ,ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (1.8.31):t=0:∂ϕ/∂t = 0,∂ϕ/∂r = 0,(1.8.39)r = 0, êîòîðûé çàäàäèì â âèäå óñëîâèÿðàäèóñà r0 èìååò çàäàííóþ âåëè÷èíó Q(t):íî ñ èñòî÷íèêîì â öåíòðå ñèììåòðèèòîãî, ÷òî ïîòîê ãàçà ïî ñôåðåΣr0rZ0Z∀t > 0 :r02 vr (r0 , t) dr0 = Q(t).vn dΣ =Σr00(1.8.40)127 1.8.
Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìèΣr áóäåì ïîëàãàòü ìàëîé, â òîì ñìûñëå, ÷òî r0 /r1 ¿ 1, à ôóíêQ(t) ïîëîæèì îòëè÷íîé îò íóëÿ òîëüêî íà ìàëîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè0 6 t 6 t0 , ãäå t0 /t1 ¿ 1, êðîìå òîãî ïðèìåì, ÷òî Q(t) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ,Q(t) → 0 è dQ(t)/dt → 0 ïðè t → 0.Ñôåðó0öèþÍàéäåìïðèáëèæåííîåðåøåíèåçàäà÷è,çàìåíèâóñëîâèÿ(1.8.39)è(1.8.40) áëèçêèìè ê íèì â íåêîòîðîì ñìûñëå óñëîâèÿìè:³´∂ϕ1r= − Q0,∂trba0³r´³r´∂ϕ11=− 2 Q+Q,∂rba0rba0ba0r∂ϕr=0:lim r2 (r, t) = Q(t),∂rr→0t=0:ãäåQ0 (t)(1.8.41)(1.8.42)(1.8.43) ïðîèçâîäíàÿ ïî àðãóìåíòó. ñèëó äîïóùåíèé î âèäå ôóíêöèèQ(t),ïðàâûå ÷àñòè óñëîâèé (1.8.41)è (1.8.42) îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî íà ìàëîì ïðîìåæóòêå(0, r0 /ba0 ),÷òî èîáåñïå÷èâàåò àïïðîêñèìàöèþ íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé (1.8.39).Çàäà÷à (1.8.38), (1.8.41)(1.8.43) èìååò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèåϕ(r, t) = −³´rQ( t −.1r(1.8.44)ba0 ñàìîì äåëå, ôóíêöèÿ (1.8.43) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.8.38), ïîñêîëüêó îíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñôåðè÷åñêîé âîëíû (1.8.32). Óñëîâèÿ(1.8.41) è (1.8.42) òîæå, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ, à âûïîëíåíèå óðàâíåíèÿ(1.8.32) ñëåäóåò èçµlim rr→0Òàêèìäà÷èîáðàçîì,(1.8.38),2Q(t − r/ba0 )Q0 (t − r/ba0 )+2rba0rïîòåíöèàë(1.8.44)(1.8.41)(1.8.43)è¶ÿâëÿåòñÿ= Q(t).òî÷íûìïðèáëèæåííûì(1.8.45)ðåøåíèåìðåøåíèåìçà-çàäà÷è(1.8.38)(1.8.40).Ðåøåíèå (1.8.44)íàçûâàþò çàïàçäûâàþùåéñêîëüêó â ôèêñèðîâàííóþ òî÷êóâðåìåíèr/ba0Äàâëåíèåèìåþò âèärñôåðè÷åñêîéâîëíîé,âîçìóùåíèå äîõîäèò ÷åðåç ïðîìåæóòîêïîñëå íà÷àëà äåéñòâèÿ èñòî÷íèêà â öåíòðå ñèììåòðèèpè ñêîðîñòüvr = ∂ϕ/∂rr = 0.çàïàçäûâàþùåé ñôåðè÷åñêîé âîëíû³´1rp − p0= Q0 t −,ρ0rba0³³´´r1r1vr =Q0 t −+ 2 Q t−.ba0 rïî-ba0r(1.8.46)(1.8.47)ba0Ïðîàíàëèçèðóåì ôîðìóëû (1.8.44) è (1.8.46).
Åñëè èñòî÷íèêQ(t)ïðåä-ñòàâëÿåò ñîáîé ïîëîæèòåëüíóþ ôóíêöèþ, îòëè÷íóþ îò íóëÿ íà ïðîìåæóòêå[0, t0 ](ðèñ. 1.8.3), òî äàâëåíèåp − p0 ,ïðîïîðöèîíàëüíîå ïðîèçâîäíîé∂Q/∂t,128Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûîáÿçàòåëüíî ìåíÿåò çíàê, êàê íà ñàìîì îò-6 t 6 t0 ,ðåçêå 0t > t0òàê è äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé(ðèñ. 1.8.3). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â çàïàç-äûâàþùåé ñôåðè÷åñêîé âîëíå êîíå÷íîé øèðèíû, â îòëè÷èå îò ïëîñêîé âîëíû, ïðèñóòñòâóþò îáëàñòè ïîâûøåííîãî è ïîíèæåííîãîäàâëåíèÿ.Åñëè èñòî÷íèêNñèñòåìó èçQ(t)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéèìïóëüñîâ (ðèñ. 1.8.4), äåé-ñòâóþùèõ ÷åðåç èíòåðâàë âðåìåíèÐèñ. 1.8.3. Èñòî÷íèê â âèäå ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè êîíå÷íîé øè-Q(t) =ðèíûNXQ0 (t − (α − 1)tï ),tï :(1.8.48)α=1ãäåQ0 (t) ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ ïðèt<0èt > tÀ ,Ðèñ. 1.8.4.
Èñòî÷íèê â âèäå ñåðèè èçNãäåtÀ 6 tï .èìïóëüñîâÒîãäà ðåøåíèå (1.8.44) è äàâëåíèå (1.8.46) ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå ââèäå ñóïåðïîçèöèè ðåøåíèé:ϕ(r, t) = −1rNX³´rQ0 t − (α − 1)tï −.α=1 ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà ñ êîîðäèíàòîéñû âîçìóùåíèé ñ íîìåðàìèα = 1,tα ,àìïëèòóäîé â ìîìåíòû âðåìåíèQ(t − (α − 1)tï − (r/ba0 ))t1 = tm +r,ba0r,ba0rîòäåëüíûå èìïóëü-N áóäóò ïðèõîäèòü ñ ìàêñèìàëüíîétN , ïðè êîòîðûõ àðãóìåíòû ôóíêöèèçíà÷åíèå tm , ò. å....
,... ,ïðèíèìàþòt2 = tm + tï +(1.8.49)ba0... ,tN = tm + (N − 1)tï +r.ba0(1.8.50)×àñòîòà ýòèõ èìïóëüñîâ, îïðåäåëÿåìàÿ êàê îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îò ïåðèîäà ìåæäó èìïóëüñàìè:ω = 1/(tα − tα−1 ), ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ïîñòî-ÿííîé:ω = 1/tï .Ðèñ. 1.8.5.Ðàñïîëîæåíèåïëèòóä èìïóëüñîâîòíåïîäâèæíîãîàì-α = 1, . . . , Nèñòî÷íèêàâïðîñòðàíñòâå â ôèêñèðîâàííûéìîìåíòâðåìåíèt(ñòðåëêàìè(1.8.51)129 1.8. Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìèÂêàæäûéñòðàíñòâåNìîìåíòáóäóòèìïóëüñîââðåìåíèîäíîâðåìåííîâîçìóùåíèé,t > t0âïðî-ðàñïîëàãàòüñÿàìïëèòóäû(ò. å.ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ) êîòîðûõ áóäóò íàõîäèòüñÿâòî÷êàõïðîñòðàíñòâàrα = (t − (α − 1)tï − tm )ba0 ,ãäåñðàäèóñàìè(α − 1)tï + tm α-ãî èì-ìîìåíò âðåìåíè âñïëåñêà àìïëèòóäûïóëüñà (ðèñ. 1.8.5). Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðîñòðàíñòâåR3ïðè ôèêñèðîâàííîìêàðòèíà èçìèrα (α = 1,... ,N ),Nt > t0îáðàçóåòñÿêîíöåíòðè÷åñêèõ ñôåð ñ ðàäèóñà-ñîîòâåòñòâóþùèõ àìïëèòóäàìNèìïóëüñîâ.1.8.7.
Äâèæóùèéñÿ ñôåðè÷åñêèé èñòî÷íèêÐàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñôåðè÷åñêèé èñòî÷íèê âîçìóùåíèé èíòåíñèâíîñòüþQ(t)ñàì äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþU = constâ íàïðàâëåíèè îñèOx1âíåîãðàíè÷åííîì ïðîñòðàíñòâå. ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ââåñòè çàìåíó ïåðåìåííûõ:x01 = x1 − U t, x02 = x2 , x03 = x3 − ïîäâèæíûå3³X´1/200r = |x | =(x0α )2,êîîðäèíàòû,α=1â êîòîðûõ íà÷àëüíûå è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (1.8.41)(1.8.43) ñîõðàíÿþò ñâîéâèä ñ òî÷íîñòüþ äî çàìåíûr → r0 ,à òàêæå íå èçìåíÿåò ñâîé âèä óðàâíåíèå(1.8.38).Ñëåäîâàòåëüíî, è ðåøåíèå çàäà÷è (1.8.38), (1.8.41)(1.8.43) â êîîðäèíàòàõ(r0 , t) áóäåò èìåòü âèä (1.8.44):ϕ(r0 , t) = −(r0 )−1 Q(t − r0 /ba0 ) èëè (1.8.49) äëÿ0ñèñòåìû èç N èìïóëüñîâ.
 ÷àñòíîñòè íà îñè Ox ðåøåíèå (1.8.49) â ïîäâèæ01 02 03íîé ñèñòåìå êîîðäèíàò äàåò ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ϕ(x , x , x , t):µ¶NX1x0101ϕ(x , 0, 0, t) = − 01Q0 t − (α − 1)tï −.(1.8.52)|x |ba0α=1Åñëè âåðíóòüñÿ ê íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, òî ïîëó÷èìϕ(x1, 0, 0, t)=−1x1 − U tNXµ¶x1 − U tQ0 t − (α − 1)tï −.ba0α=1Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå, êàæäûéα-é(1.8.53)èìïóëüñ âîçìóùåíèÿ, èíèöèèðîâàí-íûé ïîäâèæíûì èñòî÷íèêîì â èíòåðâàëå[(α − 1)tï , αtï ],ðàñïðîñòðàíÿåòñÿâ ïðîñòðàíñòâå ñ òîé æå ñêîðîñòüþ, ÷òî è èìïóëüñû íåïîäâèæíîãî èñòî÷íèêà ñî çâóêîâîé ñêîðîñòüþba0 .Îäíàêî ñàì èñòî÷íèê òîæå äâèæåòñÿ ñî130Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûñêîðîñòüþU.ÅñëèU <ba0(ñêîðîñòü èñòî÷íèêà äîçâóêîâàÿ), òî èìïóëüñût, áóäóò îáãîíÿòü ñàì èñòî÷U >ba0 (ñêîðîñòü èñòî÷íèêà âîçìóùåíèÿ, èíèöèèðîâàííûå â ëþáîé ìîìåíòx1 .íèê è ïðèäóò ðàíüøå åãî â òî÷êóÅñëèñâåðõçâóêîâàÿ), òî èñòî÷íèê ðàíüøå ïðèäåò â ðàññìàòðèâàåìóþ òî÷êó, ÷åìèìïóëüñ, ïîñëàííûé èì â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíèÐàññìîòðèì ïîýòîìó ñëó÷àèU <ba0ÏðèU >ba0èU <ba0t.îòäåëüíî.èç (1.8.53) ñëåäóåò, ÷òî îò ïîäâèæíîãî èñòî÷íèêà â ôèê-ñèðîâàííóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâàx1 α-éèìïóëüñ âîçìóùåíèÿ ïðèõîäèò â0ìîìåíò âðåìåíè tα , çíà÷åíèå êîòîðîãî íàõîäèì, ïðèðàâíèâàÿ ê tm àðãóìåíò óôóíêöèé â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (1.8.5):t0α − (α − 1)tï −x1 − U t0α= tm ,ba0(1.8.54)îòñþäà íàõîäèìt0ᵶx1= tm ++ (α − 1)tï1ba0×àñòîòà èìïóëüñîâω0+ U/ba0,α = 1,...
,N.(1.8.55)â ñëó÷àå ïîäâèæíîãî èñòî÷íèêà áóäåò äðóãîé:ω0 = ñëó÷àå, êîãäà1U > 0,÷àñòîòàïîäâèæíîãî èñòî÷íèêà, à ïðèîò ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè1t0α − t0α−1ω0U <0x1 )1=+ U/ba0.tï(1.8.56)áóäåò áîëüøå, ÷åìω = 1/tï ÷àñòîòà(èñòî÷íèê äâèæåòñÿ â îáðàòíóþ ñòîðîíó÷àñòîòàω0ìåíüøå, ÷åìω.Ýòî óòâåðæäåíèåñîñòàâëÿåò ýôôåêò Äîïïëåðà óìåíüøåíèå ÷àñòîòû óäàëÿþùåãîñÿ ïîäâèæíîãî èñòî÷íèêà è óâåëè÷åíèå ïðèáëèæàþùåãîñÿ. Ñ ïðîÿâëåíèåì ýòîãîýôôåêòà ìû âñòðå÷àåìñÿ â ïîâñåäíåâíîé æèçíè: øóì (÷àñòîòà èìïóëüñîââîçìóùåíèé) ðàâíîìåðíî äâèæóùåãîñÿ ïîåçäà ïðè ïðèáëèæåíèè ê ñòîÿùåìó÷åëîâåêó óâåëè÷èâàåòñÿ, à ïðè óäàëåíèè îò íåãî óìåíüøàåòñÿ. ïðîñòðàíñòâåt > t0äëÿ ñëó÷àÿïóëüñîâ îáðàçóþòðàäèóñàìèrαR3 ïðè ôèêñèðîâàííîìU <ba0 àìïëèòóäû èìêàðòèíó èç N ñôåð ñ(òåìè æå, ÷òî è â ñëó÷àåíåïîäâèæíîãî èñòî÷íèêà), íî ñî ñìåùåííûìè öåíòðàìèx1α = (t − (α − 1)tï − tm )U(ðèñ. 1.8.6).
Âñå ýòè ñôåðû íå ïåðåñåêàþòñÿ.ÐàññìîòðèìæóùåãîñÿÐèñ. 1.8.6.èìïóëüñîâÐàñïîëîæåíèåα =1,..., Nàìïëèòóäèñòî÷íèêà,äâèæóùåãîñÿ â íàïðàâëåíèè îñèñêîðîñòüþU <ba0Ox1ñîU >ba0 .äåòñîñëó÷àéñâåðõçâóêîâîéÏîñêîëüêóîáãîíÿòüèñòî÷íèêà,òàêîéäâè-ñêîðîñòüþèñòî÷íèêèíèöèèðîâàííûåèìáóèì-ïóëüñû, äâèæóùèåñÿ ñî çâóêîâîé ñêîðîñòüþ, òî â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìå-131 1.8. Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìèt > 0 àìïëèòóäû èìïóëüñîâ îáðàçóþò â R3 êàðòèíó èç ñôåð ñ ðàäèóñàìèrα = (t − (α − 1)tï ) − tm )ba0 è ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ x00 = (t − (α − 1)tï ) − tm )U .Ïîñêîëüêó U > ba0 , òî âñå ýòè ñôåðû áóäóò ïåðåñåêàòüñÿ (ðèñ. 1.8.7). Ïðèt > t0 ñâåðõçâóêîâîé èñòî÷íèê îáãîíÿþùèé èìïóëüñû âîçìóùåíèÿ ïðèäåò0â ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó x ìîë÷à, ò.
å. áåç âîçìóùåíèé, êîòîðûå îñòàíóòñÿíèïîçàäè íåãî. Òàêîå ÿâëåíèå íàáëþäàåòñÿ ïðè äâèæåíèè ñâåðõçâóêîâûõ ñàìîëåòîâ, çâóê îò ïîëåòà êîòîðûõ ïðèõîäèò â ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâàïîçæå, ÷åì ñàì ñàìîëåò.Ðèñ. 1.8.7.Ðàñïîëîæåíèå àìïëèòóä èìïóëüñîâíàïðàâëåíèè îñèOx1α=1,..., Nèñòî÷íèêà, äâèæóùåãîñÿ âñî ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòüþUÅñëè ïîñòðîèòü ïîâåðõíîñòü, êîòîðîé êàñàþòñÿ âñå ñôåðû, îáðàçîâàííûåàìïëèòóäàìè èìïóëüñîâ âR3â ìîìåíò âðåìåíèt,òî ýòà ïîâåðõíîñòü, êàêíåñëîæíî óáåäèòüñÿ èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé, áóäåò êîíóñîì, ñèíóñóãëàβkïðè âåðøèíå êîòîðîãî ðàâåí:sin βk = ba0 /U = 1/M .Óãîëβkè ýòîòêîíóñ íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî óãëîì è êîíóñîì Ìàõà. Êîíóñ Ìàõà ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ ðàçðûâà îí îòäåëÿåò íåâîçìóùåííóþ îáëàñòü ïîêîÿ cv=0,p0 , ϕ 0îò âîçìóùåííîé, ãäå ïàðàìåòðû ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿv , p0èϕñîîòâåòñòâåííî.Óïðàæíåíèÿ ê 1.8Óïðàæíåíèå 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
