Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ïóñòü V îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü, òîãäà ðåøåíèå âíåøíèõçàäà÷ Äèðèõëå è Íåéìàíà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì â êëàññå ôóíêöèé ϕ(x):3à) ãàðìîíè÷åñêèõ âî âíåøíîñòè V1 = Ea \ V îãðàíè÷åííîé îáëàñòè V ;á) íåïðåðûâíûõ â V1 ∪ Σ;â) îáëàäàþùèõ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè ∇ϕ(x) â V1 ∪ Σ (òîëüêî äëÿäëÿ ôóíêöèèïîëó÷àåì, ÷òîçàäà÷è Íåéìàíà);ã) ðåãóëÿðíûõ íà áåñêîíå÷íîñòè (ñì. ò. 1, ï. 3.6.4), ò. å. äëÿ êîòîðûõñóùåñòâóþò òàêèå|ϕ(x)| <k1 > 0, k2 > 0 è R0 > 0, ÷òî V ⊂ UR (0) è ∀R > R0 :k1,|x||∇ϕ(x)| <k2∀x ∈ UR (0),|x|2(1.9.28)0(äëÿ çàäà÷è Äèðèõëå íàêëàäûâàåì òîëüêî ïåðâîå óñëîâèå).Óñëîâèÿ (1.9.28) ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàþò â âèäåϕ∞ = 0,H|∇ϕ|∞ = 0.ϕ1 è ϕ2 òîãäà ϕ = ϕ1 −1. Ïîêàæåì åäèíñòâåííîñòü âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå. Ïóñòüäâà ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì àâ,− ϕ2(1.9.29)òàêæå áóäåò ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ñ íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèåì,óäîâëåòâîðÿþùèì à, á è ïåðâîìó óñëîâèþ (1.9.28).
Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãîε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî R1 = max {k1 /ε, R0 }, ÷òî ∀R > R1 , â ñèëóïðèíöèïà ìàêñèìóìà (ò. 1, òåîðåìà 3.6.15***), òàêæå èìååì 0 < ϕ(x) < ε,∀x ∈ UR (0) \ V .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ÷èñëà ε, çàêëþ÷àåì, ÷òî ϕ(x) = 0aâñþäó â UR (0) \ V (ðèñ. 1.9.2), à ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè R è âñþäó â E \ V ,3÷èñëà1÷òî è äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå.139 1.9.
Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè2. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åäèíñòâåííîñòè âíåøíåé çàäà÷è Íåéìàíà âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâîé ôîðìóëîé Ãðèíà (ò. 1, (3.6.60)) äëÿ ôóíêöèé, ðåãó-E3a \ V :ëÿðíûõ â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòèZZ(u∆v − ∇u · ∇v) dV =E3a \VΣÏîëàãàÿ â ýòîé ôîðìóëåãäå∂vdΣ. (1.9.30)∂nuϕ1 , ϕ2u = v = ϕ = ϕ1 − ϕ2 ,Ðèñ. 1.9.2. Ê òåîðåìå 1.9.5 äâà ðåøåíèÿ çàäà÷è Íåéìàíà, è,ó÷èòûâàÿ, ÷òî∆v = ∆ϕ = 0误∂ϕ ¯∂v ¯¯ =¯ =∂n Σ∂n Σ0,Zïîëó÷àåì|∇ϕ|2 dV = 0.(1.9.30à)E3a \VÝòîò èíòåãðàë, â ñèëó ðåãóëÿðíîñòèíåïðåðûâíîñòèè∇ϕϕ(x), ÿâëÿåòñÿΣ, èç (1.9.30à)âïëîòü äî ãðàíèöûϕ(x) = ϕ0 = const.Ïîñêîëüêó íà áåñêîíå÷íîñòè÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Nñõîäÿùèìñÿ, à, â ñèëóñëåäóåò, ÷òî∇ϕ(x) ≡ 0¯ϕ¯∞ = 0, òî ϕ0 = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ϕ1 = ϕ2 ,Çàìå÷àíèå 1.9.4.
Äëÿ âíåøíåé çàäà÷è Íåéèàíà óñëîâèå (1.9.27) íà ãðàíè÷íóþ ôóíêöèþve(1.9.25) óæå íå íàêëàäûâàåòñÿ, ïîñêîëüêó ôîðìóëà Ãàóññà,èñïîëüçîâàííàÿ ïðè âûâîäå (1.9.27), âî âíåøíîñòè îãðàíè÷åííîé îáëàñòè íå¤èìååò ìåñòà (ñì. ò. 1, ï. 3.5.7).1.9.6. Ôóíêöèÿ ÃðèíàÐàññìîòðèì âòîðóþ îáîáùåííóþ ôîðìóëó Ãðèíà (ò.
1, (3.6.24)):ϕ(x0 ) =Z14π1∂ϕdΣ −r ∂n4π1Σãäår = |x − x0 |,Z∂ϕ∂n³1´rdΣ −1Z4πΣ∆ϕdVrVêîòîðàÿ èìååò ìåñòî äëÿ ëþáîé ôóíêöèèíåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìîé â îãðàíè÷åííîé îáëàñòèíîñòüþΣ.Åñëè∀x0 ∈ V , (1.9.31)ϕ(x)Vϕ(x),äâàæäûñ ãëàäêîé ïîâåðõ-êðîìå òîãî ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé âV,òî∆ϕèôîðìóëà (1.9.31) ïðèíèìàåò âèäϕ(x0 ) =1Z³4πΣ∂ϕ∂−ϕr ∂n∂n1³ 1 ´´rdΣ.(1.9.32)140Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûV,∂ϕ/∂nÝòà ôîðìóëà ïîçâîëÿåò íàéòè çíà÷åíèÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè â îáëàñòèåñëè îäíîâðåìåííî èçâåñòíû åå çíà÷åíèÿ è íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿíà ãðàíèöå ýòîé îáëàñòè. çàäà÷àõ Äèðèõëå, Íåéìàíà è ñìåøàííîé íà âñÿêîé ÷àñòè ïîâåðõíîñòèèçâåñòíà òîëüêîϕèëè∂ϕ/∂n,Σîäíàêî ôîðìóëà (1.9.32) îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîéè â ýòîì ñëó÷àå. îáëàñòèíàÿ ôóíêöèÿVϕeðàññìîòðèì ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå, êîãäà ãðàíè÷ñîâïàäàåò ñ 1/r :(∆x ψ = 0,x∈V,¯ψ ¯Σ = −1/r, r = |x − x0 |, x0 ∈ V ,ãäåx0x0 ,ïîýòîìó åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå íåêîòîðàÿ òî÷êà âG1 (x, x0 ) =1rV.(1.9.33)Ýòî ðåøåíèå ïàðàìåòðè÷åñêè çàâèñèò îò òî÷êè+ ψ(x, x0 ),ψ = ψ(x, x0 ).Òîãäà ôóíêöèþ∀x0 ∈ V ∀x ∈ V ∪ Σ,(1.9.34)íàçûâàþò ôóíêöèåé Ãðèíà äëÿ çàäà÷è Äèðèõëå (1.9.23), (1.9.24).
Äëÿ ýòîéôóíêöèè èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 1.9.6.ÔóíêöèÿÃðèíàG1 (x, x0 )(1.9.34)äëÿçàäà÷èÄèðèõëå(1.9.23), (1.9.24) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó ïðè ôèêñèðîâàííîì âòîðîì àðãóìåíòåx0 :∆x G1 (x, x0 ) = 0âñþäó âVêðîìå òî÷êè2) íà ãðàíèöåΣîáëàñòèVx = x0 ∈ V ;îáðàùàåòñÿ â íóëü:G1 (x, x0 ) = 0,3) âñÿêàÿ ôóíêöèÿϕ(x),(1.9.35)x ∈ Σ, ∀x0 ∈ V ;åñëè(1.9.36)ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Äèðèõëå (1.9.23),(1.9.24) ñ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåéϕeíàΣ,âîáëàñòèVìîæåòáûòü âûðàæåíà ÷åðåç çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà, è åå çíà÷åíèÿãðàíèöå:ϕ(x0 ) = −1Z4π∂G1(x, x0 )ϕe (x) dΣ;∂nϕeíà(1.9.37)Σ4) ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ñâîèõ àðãóìåíòîâ:G1 (x, x0 ) = G1 (x0 , x)H 1. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ψ∆x (1/r) = 0, äåéñòâèòåëüíî,óäîâëåòâîðÿåò∀x, x0 ∈ V.óðàâíåíèþïîëó÷àåì∆x G1 = ∆x (1/r) + ∆x ψ = 0.Ëàïëàñà(1.9.38)(1.9.23),à 1.9.
Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè2. Ïîñêîëüêó∀x ∈ Σ,ψíà ãðàíèöåΣóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ141ψ(x, x0 ) = −1/r,òî ñâîéñòâî (1.9.36), î÷åâèäíî, òàêæå âûïîëíÿåòñÿ.ϕ(x) ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå, íå èìåþùåå îñîáåííîñòåé â Vϕ è ψ ìîæíî ïðèìåíèòü âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà (ò. 1, (3.5.26)),u = ϕ, v = ψ :ZZ³´∂ϕ∂ψ−ψ0 = (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) dV =ϕdΣ.(1.9.39)3.
ÏóñòüèΣ,òîãäà äëÿâ êîòîðîé∂nV∂nΣψ è ϕ ãàðìîíè÷åñêèå, à ψ íà ãðàíèöå Σ(−1/r), òî èìååìZZ1 ∂ϕ∂ψdΣ = − ϕ .Ïîñêîëüêóçíà÷åíèår ∂nîáëàñòè ïðèíèìàåò∂n(1.9.40)ΣΣÏîäñòàâëÿÿ ýòî ñîîòíîøåíèå â (1.9.32), íàõîäèìϕ(x0 ) = −1Zϕ4π∂∂n³1r´+ψdΣ.(1.9.41)ΣÓ÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå ôóíêöèè Ãðèíà (1.9.34), äåéñòâèòåëüíî, èç (1.9.41)ñëåäóåò ôîðìóëà (1.9.37).4. Ðàññìîòðèì äâå òî÷êè0äâà øàðà Uδ (x ) è0x00 , x000 ∈ Vè ïîñòðîèìUδ (x000 ), öåëèêîì âëîæåííûå âV (ðèñ. 1.9.3). Òîãäà, ïîëàãàÿ u(x) = G(x, x00 ) èv(x) = G(x, x00 ), ïðèìåíèì âòîðóþ ôîðìóëó Ãðèíà0(ò. 1, (3.5.26)) ê îáëàñòèV1 = (V \ Uδ (x00 )) \ Uδ (x000 ):Z³Z(u∆v − v∆u) dV =´u∂u∂v−vdΣ, (1.9.42)∂n∂nΣ1V1(x0 )Ðèñ.
1.9.3. Ê äîêàçàòåëüñòâóΣδ (x000 ) ãðàíèöà îáëàñòèïóíêòà 4 òåîðåìû 1.9.6Σ1 = Σ ∪ Σδ 0 ∪000V1 ; Σδ (x0 ) è Σδ (x0 ) ñôåðû ðàäèóñà δ .¯¯Ïîñêîëüêó â îáëàñòè V1 : ∆u = ∆G = 0 è ∆v = ∆G = 0, à u¯ = G¯ = 0,ΣΣ¯¯v ¯Σ = G¯Σ = 0, òî ëåâàÿ ÷àñòü ñîîòíîøåíèÿ (1.9.42), à òàêæå èíòåãðàë ïî Σãäåâ ïðàâîé ÷àñòè (1.9.42) îáðàùàþòñÿ â íóëü. Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå ôóíêöèèÃðèíà (1.9.34), èìååìu=1r0+ ψ0,v=1r00+ ψ 00 ,ãäår0 = |x − x00 |,r00 = |x − x000 |,ψ 0 = ψ(x, x00 ), ψ 00 = ψ(x, x000 ).(1.9.43)142Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÒîãäà ñîîòíîøåíèÿ (1.9.42) ïðèìóò âèäZ³¡ 1r+ ψ00¢∂ ¡¢ ¡+ ψ 00 −1∂n r001r+ ψ 0000¢ ∂ ¡1∂n r0+ ψ0¢´Σδ (x00 )∪Σδ (x00)0(1.9.44)Ââîäÿ èíòåãðàëûZ∂∂n0I1 (δ , x0 ) =ΣδZ³∂ψ 0I2 (δ , x00 ) =ΣδdΣ = 0.1r00∂n³ 1 ´³r10r+ ψ 0000´dΣ,(x0 )0´Z+ ψ 00 dΣ,(x0 )Σδ0ZI4 (δ , x0 ) = −Σδ³∂∂n0∂ψ 00∂nI3 (δ , x00 ) = −1´³ 1r00r0+ψ³1r0´+ ψ 0 dΣ,(x0 )00(1.9.45)´dΣ,(x0 )0ñîîòíîøåíèå (1.9.44) ìîæíî çàïèñàòü â âèäånX0Iα (δ , x0 ) = −α=1Ïîñêîëüêó íà ñôåðå0ëîæíà ðàäèóñó r , òîΣδ (x00 )∂∂nnXIα (δ , x000 ).íîðìàëü³1´r0n=−â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðîòèâîïî-∂∂r0³1´r0è ïî òåîðåìå î ñðåäíåì íàõîäèìI1 (δ , x00 ) =Σδr 02³1r00+ ψ 00´dΣ =Σδ (x00 )4πδ2=1r02,µ¶1r∗00δ2+ ψ∗00= 4πG(x0∗ , x000 ),Σδ (x00 ); r∗00 = |x0∗ − x000 | è ψ∗00 = ψ(x∗ , x000 ).00000 íå èìåþò îñîáåííîñòåé íàÏîñêîëüêó ôóíêöèè (∂ /∂n), (1/r ) è ψ(x0 ), òî îíè îãðàíè÷åíû íà ýòîé ñôåðå è èìååò ìåñòî îöåíêàãäåx0∗Z1(1.9.46)α=1 íåêîòîðàÿ òî÷êà íà ñôåðå0|I2 (δ , x00 )| 6 4πδ 2 C ,Ïðèìåíÿÿ äëÿI3C = const.òåîðåìó î ñðåäíåì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ îöåíêó:1|I3 (δ , x00 )| = |(∂ψ 00 /∂r0 )∗ 4πδ 2 ( + ψ∗0 )| 6 C1 δ ,δ000ïîñêîëüêó ∂ψ /∂r òàêæå îãðàíè÷åíà íà ñôåðåÀíàëîãè÷íî íàõîäèì îöåíêó è äëÿI4 (δ , x0 ):|I4 (δ , x00 )| 6 C2 δΣδ (x00 ).C2 = const. 1.9.
Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòèÒîãäà ëåâàÿ ÷àñòü ñîîòíîøåíèÿ (1.9.46) â ïðåäåëå ïðèlimδ→0ïîñêîëüêó4Xδ→0143äàåòIα (δ , x00 ) = 4πG(x00 , x000 ),(1.9.47)α=1x0∗ → x00 .Äëÿ ïðàâîé ÷àñòè (1.9.46) ïðåäåëüíûé ïåðåõîä îñóùåñòâëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî, íåíóëåâîå çíà÷åíèå èìååò òîëüêî ïðåäåëµµ¶¶10= −4πG(x000 , x00 )lim I4 (δ , x0 ) = lim −4π 0 + ψ∗00δ→0îò èíòåãðàëàëîâ ïðèr∗δ→0I4 (δ , x000 ),δ→0I1 (δ , x00 ),êîòîðûé àíàëîãè÷åí(1.9.48)äëÿ îñòàëüíûõ èíòåãðà-ïðåäåë ðàâåí íóëþ.Òîãäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ñîîòíîøåíèè (1.9.46), ïîëó÷àåìG(x00 , x000 ) = G(x000 , x00 )N.(1.9.49)Vèçâåñòíî ÿâíîå àíàëèòè-Äëÿ íåñêîëüêèõ ïðîñòåéøèõ ñëó÷àåâ îáëàñòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà.Òåîðåìà 1.9.7.UR (0)ðàäèóñàÔóíêöèÿ Ãðèíà äëÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ øàðàRèìååò âèäG1 (x, x0 ) =r = |x − x0 |,1r−r0 = |x − x00 |,R,|x0 |r0x00 = x0 (R/|x0 |)2 ,à äëÿ âíåøíåé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ ñëó÷àÿ øàðàG1 (x, x0 ) =(1.9.50)1r0−UR (0)|x0 |.rR(1.9.51) ñëåäóþùèé âèä:(1.9.52)x00 = x0 (R/|x0 |)2 ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíîñèììåòðè÷íîé ñ òî÷êîé x0 îòíîñèòåëüíî ΣR (0).HÒî÷êàÝòè òî÷êè ïðèíàäëåæàò îäíîìó è òîìó æå ëó÷óñ íà÷àëîì â íóëåâîé òî÷êå, è ðàññòîÿíèÿ îò íèõäî ýòîé òî÷êè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî|x0 |èR2 /|x0 |(ðèñ.
1.9.4).Ôóíêöèÿ (1.9.50), î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè-x ïðè ôèêñèðîâàííîì Ðèñ. 1.9.4. Ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.9.7x0 , òàê êàê ∆x (1/r) = 0 è ∆x (1/r0 ) = 0. Ôóíêöèÿ0èìååò âèä (1.9.32), ãäå ψ(x, x0 ) = −R/(|x0 |r ), ïðè÷åì ôóíêöèÿ ψ íà ïîâåðõíîñòè ΣR (0) øàðà (ãäå |x| = R) èìååò çíà÷åíèå¯ψ ¯Σ (0) = −1/r.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, åñëè ó÷åñòü, ÷òî÷åñêîé ïî ïåðâîìó àðãóìåíòóRr2 = |x − x0 |2 = |x|2 + |x0 |2 − 2x · x0 ,144Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûr02 = |x − x00 |2 = |x|2 +R2R4−2x · x0 .|x0 |2|x0 |2Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïîëó÷àåì, ÷òî íà ñôåðåΣR (0),êîãäà(1.9.53)|x| = R,âûïîëíÿ-åòñÿ ñîîòíîøåíèår02 = (R2 /|x0 |2 ) r2 ,èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òîöèÿG1 (x, x0 ),¯ψ ¯Σ(1.9.54)= −R/(|x0 |r0 = −1/r.R (0)Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíê-îïðåäåëÿåìàÿ ïî (1.9.50), äåéñòâèòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéÃðèíà äëÿ øàðà. Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (1.9.52) àíàëîãè÷íî.Òåîðåìà 1.9.8.NÔîðìóëà (1.9.37) äëÿ ñôåðû èìååò ñëåäóþùèé âèä (ôîðìó-ëà Ïóàññîíà):ϕ(x0 ) =Z1R2 − |x0 |2ϕe (x) dΣ.r34πR(1.9.55)ΣR (0)HÂû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ∂G1∂=∂n∂nnãäå³1´râíåøíÿÿ−³1´R ∂|x0 | ∂nr0íîðìàëüíà(1.9.56),ñôåðåΣR (0)(ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
