Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318)
Текст из файла
ÓÄÊ 531.1:51-72(075.8)ÁÁÊ 22.25:22.51.5Ä46Ðåöåíçåíòû:àêàäåìèê ÐÀÍ Î. Ì. Áåëîöåðêîâñêèé;àêàäåìèê ÐÀÍ Å. È. Øåìÿêèí;÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ Â. À. Ãóùèí;äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Í. Í. ÑìèðíîâÄèìèòðèåíêî Þ. È.Ä46Ìåõàíèêà ñïëîøíîé ñðåäû : ó÷åá. ïîñîáèå : â 4 ò. / Þ. È. Äèìèòðèåíêî. Ì. : Èçä-âî ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, 2011.ISBN 978-5-7038-3385-8Ò. 3 : Îñíîâû ìåõàíèêè æèäêîñòè è ãàçà. XXX, [1] ñ. : èë.ISBN 978-5-7038-3437-4Òðåòèé òîì ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîñâÿùåí ñèñòåìàòèçèðîâàííîìó èçëîæåíèþ îñíîâ ìåõàíèêè æèäêîñòåé è ãàçîâ. Ðàññìîòðåíû êëàññè÷åñêèå ìîäåëèè çàäà÷è ìåõàíèêè èäåàëüíîé æèäêîñòè: òåîðèÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ,òåîðèÿ ïîòåíöèàëüíûõ òå÷åíèé, ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ìîäåëüóñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ, òåîðèÿ âèõðåâûõ äâèæåíèé, ìîäåëü èäåàëüíîãîãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìè, ìîäåëü ïîòåíöèàëüíûõ äâèæåíèé íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè, ìîäåëü ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè.
Èçëîæåíû òàêæåêëàññè÷åñêèå ìîäåëè è çàäà÷è ëèíåéíî-âÿçêèõ æèäêîñòåé: ìîäåëü óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ â âÿçêîé æèäêîñòè, ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîââ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, òåîðèÿ íåóñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåñæèìàåìîéâÿçêîé æèäêîñòè, ìîäåëü ëàìèíàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ. Èçëîæåíà òåîðèÿñîîòíîøåíèé íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâà â âÿçêèõ æèäêîñòÿõ, ðàññìîòðåíû áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè, à òàêæå ìîäåëè òóðáóëåíòíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè.Ñîäåðæàíèå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ñîîòâåòñòâóåò êóðñàì ëåêöèé, ÷èòàåìûõ âÌÃÒÓ èì. Í.
Ý. Áàóìàíà.Äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ è àñïèðàíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ, ôèçè÷åñêèõ,åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ êàôåäð óíèâåðñèòåòîâ è òåõíè÷åñêèõ âóçîâ. Áóäåò ïîëåçíî ñïåöèàëèñòàì, çàíèìàþùèìñÿ ðàçëè÷íûìè âîïðîñàìè ìåõàíèêè ñïëîøíûõñðåä.ÓÄÊ 531.1:51-72(075.8)ÁÁÊ 22.25:22.51.5ISBN 978-5-7038-3437-4 (ò. 3)ISBN 978-5-7038-3385-8c°c°Äèìèòðèåíêî Þ. È., 2011Îôîðìëåíèå. Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓèì. Í.
Ý. Áàóìàíà, 2011ÎÃËÀÂËÅÍÈÅà ë à â à 1.Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 1.2. Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâà â èäåàëüíûõ æèäêîñòÿõ . . . . . .18 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ . . . .
. . . . . . . .31 1.4. Ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . .65 1.5. Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññû â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 1.7. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 1.8. Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìè . . . . . . . . . . . . . . . .119. . . . . . .132 1.10. Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåé . . . .
. . . . . . . . . . . . 1.9. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè161Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 2.1. Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 2.2. Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâà â âÿçêèõ æèäêîñòÿõ .
. . . . . . . .198 2.3. Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205 2.4. Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññû â âÿçêîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220 2.5. Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåñæèìàåìîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . .224 2.6. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè . .
. . . . . .235 2.7. Ìîäåëü ëàìèíàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ251à ë à â à 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ãëàâà1ÈÄÅÀËÜÍÛÅ ÆÈÄÊÎÑÒÈ È ÃÀÇÛÐàññìîòðèì çàìêíóòûå ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ êëàññè÷åñêèõ ìîäåëåéèäåàëüíûõ ñïëîøíûõ ñðåä: æèäêîñòåé è ãàçîâ. 1.1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû1.1.1. Ñèñòåìà óðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé æèäêîñòèâ ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè ò. 2, ï. 3.8.13 áûëè óñòàíîâëåíû îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ èäåàëüíîéæèäêîñòè áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âñå ìîäåëèAnèCnýêâèâàëåíòíû èäîïóñêàþò åäèíñòâåííîå îáùåå ïðåäñòàâëåíèå (ò. 2, (3.8.168)), ñâÿçûâàþùååàêòèâíûå ïåðåìåííûåΛ = {T, p, η , ψ}ñ ïëîòíîñòüþρè òåìïåðàòóðîéθ:R = {ρ, θ}.Ïîäñòàâëÿÿ îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ æèäêîñòè (ò.
2, (3.8.168)) â ñèñòåìó çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ÌÑÑ (ò. 2, (2.12.5)) ïðèα = 1,2 è 3 â ïðîñòðàí-ñòâåííîì îïèñàíèè, ïîëó÷àåì∂ρ+ ∇ · ρv =∂t0,∂ρv+ ∇ · (ρv ⊗ v + pE) = ρf ,∂t∂ρε+ ∇ · (ρv(ε + p/ρ) + q) = ρf · v + qm∂t(1.1.1)(1.1.2)(1.1.3) ñèñòåìó óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè, äâèæåíèÿ è ýíåðãèè (ïÿòü ñêàëÿðíûõóðàâíåíèé). Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå äëÿ ïëîòíîñòè ïîëíîé ýíåðãèèε=e+|v|22.(1.1.4)Ïðè çàïèñè óðàâíåíèÿ ýíåðãèè ó÷òåíî, ÷òî äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè∇ · (T · v) = −∇ · (pv) = −∇ · (ρv(p/ρ)).(1.1.5)Ê ñèñòåìå (1.1.1)(1.1.3) ïðèñîåäèíÿåì îñòàâøèåñÿ îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (ò. 2, (3.8.168)):p = p(ρ, θ) = ρ2 (∂ψ/∂ρ),(1.1.6)7 1.1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûe = e(ρ, θ) = ψ − θ∂ψ.∂θ(1.1.7)ψ = ψ(ρ, θ),(1.1.8)à òàêæå çàêîí Ôóðüå äëÿ æèäêîñòè (ò. 2, (3.12.29)):q = −λ ∇θ.(1.1.9)Ñîîòíîøåíèå (1.1.6) íàçûâàþò òåðìè÷åñêèì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ æèäêîñòè, à (1.1.7) êàëîðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ.Åñëè ïîäñòàâèòü ñîîòíîøåíèÿ (1.1.6)(1.1.9), à òàêæå (1.1.4) â çàêîíûñîõðàíåíèÿ (1.1.1)(1.1.3), òî ïîëó÷èì ïÿòü ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) îòíîñèòåëüíî ïÿòè ñêàëÿðíûõ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé:ρ, θ, v.(1.1.10)Ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà æèäêîñòè (âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå, ÷åì îäíàæèäêîñòü îòëè÷àåòñÿ îò äðóãîé ïðè îäíèõ è òåõ æå âíåøíèõ âîçäåéñòâèÿõ)îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî âèäîì ïîòåíöèàëà (1.1.8), ò.
å. ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé îòäâóõ ñêàëÿðíûõ ïåðåìåííûõϕ(ρ, θ)è êîýôôèöèåíòîì òåïëîïðîâîäíîñòèλ.Óðàâíåíèÿ (1.1.1)(1.1.3) ñ ñîîòíîøåíèÿìè (1.1.4), (1.1.6)(1.1.9) íàçûâàþò ñèñòåìîé óðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé òåïëîïðîâîäíîé æèäêîñòè(ãàçà) â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè.Òåðìèí ñæèìàåìàÿ æèäêîñòü ïîä÷åðêèâàåò, ÷òî æèäêîñòü íå ÿâëÿåòñÿíåñæèìàåìîé.Êàê îòìå÷àëîñü â ò. 2, ï.***3.10.4, óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè (ò.
2,(2.12.5) ïðèα=4) ïîñëå ïîñòðîåíèÿ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåòèñêëþ÷èòü èç îáùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Îäíàêî â ýòîé ñèñòåìå êðîìå óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) åùå îñòàþòñÿ äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå ñîâìåñòíîñòè(ò. 2, (2.12.5) ïðèα = 6):∂ρF ò+ ∇ · ρ(v ⊗ F ò − F ò ⊗ v) =∂tè êèíåìàòè÷åñêîå óðàâíåíèå (ò. 2, (2.12.5) ïðè0(1.1.11)α = 5):∂ρu+ ∇ · (ρv ⊗ u) = ρv.∂t(1.1.12)Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) íå çàâèñèò îòèFu, ò. å. åå ìîæíî ðåøèòü îòäåëüíî îò óðàâíåíèé ñîâìåñòíîñòè è êèíåìàòèêè,à óæå ïîñëå íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé (1.1.10) ìîæíî îòäåëüíî ðàññìîòðåòü óðàâíåíèå (1.1.11) îòíîñèòåëüíîF(äåâÿòü ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíîäåâÿòè ñêàëÿðíûõ íåèçâåñòíûõ, ôóíêöèèρèvðàññìàòðèâàþòñÿ êàê èçâåñò-íûå) è îòäåëüíî óðàâíåíèå (1.1.12) îòíîñèòåëüíîu (òðè ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèÿîòíîñèòåëüíî òðåõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé).Ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî â ìåõàíèêå æèäêîñòåé è ãàçîâ óðàâíåíèÿ (1.1.11)è (1.1.12) ðåøàþò êðàéíå ðåäêî, ïîñêîëüêó èíôîðìàöèÿ î ïåðåìåùåíèÿõ è8Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûãðàäèåíòå äåôîðìàöèè æèäêîñòè îáû÷íî íå òàê âàæíà, êàê èíôîðìàöèÿ îãëàâíûõ ôóíêöèÿõ (1.1.10). Òåì íå ìåíåå, â îòäåëüíûõ ñïåöèàëüíûõ çàäà÷àõÌÑÑ ðåøåíèå óðàâíåíèé (1.1.11) è (1.1.12) îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì.1.1.2. Óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé ñæèìàåìîé æèäêîñòè â êîìïîíåíòàõÇàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) â êîìïîíåíòàõ.
Èñïîëüçîâàíèåäëÿ ýòîé öåëè áàçèñîârièëèriàêòóàëüíîé êîíôèãóðàöèè îêàçûâàåòñÿíåóäà÷íûì, ïîñêîëüêó ýòè áàçèñû çàâèñÿò îò âðåìåíèri (t), ri (t),è ïðè äèô-ôåðåíöèðîâàíèè âåêòîðà ñêîðîñòè âîçíèêàåò äîñòàòî÷íî ñëîæíûé îáúåêò ïðîèçâîäíûåṙièëèṙi ,ò. å.∂v ri∂ri∂v∂v= i = vi+ i ri .∂t∂t∂t∂tÝòîãî ìîæíî èçáåæàòü, åñëè èñïîëüçîâàòü íåïîäâèæíûå áàçèñûri )/∂tò. 2, ï. 1.1.7): ∂(evie= (∂evi/∂t)eri .erièëèeri(ñì.Ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî òåîðåìå 1.1.2 èç ò.
2, êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå âêîîðäèíàòàõâ áàçèñåXièeiXñîâïàäàþò, òî óðàâíåíèÿ (1.1.1)(1.1.3) â êîìïîíåíòàõeri èìåþò âèäe j (ρe(∂ρ/∂t) + ∇v j ) = 0,e j (ρe(∂ρev i /∂t) + ∇v j vej + peg ij ) = ρf i ,e j (ρe(∂ρε/∂t) + ∇v j (ε + p/ρ) + qej ) = ρf i vej geij + ρqm .(1.1.13)(1.1.14)(1.1.15)Ñêàëÿðíûå îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (1.1.6)(1.1.8) îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, à âåêòîðíîå óðàâíåíèå (1.1.9) â êîìïîíåíòàõ èìååò âèäe j θ.qei = −λeg ij ∇Çäåñü ìàòðèöûêîîðäèíàòe i.Xgeijègeij(1.1.16) èçâåñòíû, õîòÿ îíè è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìèÑèñòåìó óðàâíåíèé (1.1.13)(1.1.16) è (1.1.6)(1.1.8) øèðîêî èñïîëüçóþòïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ ìåõàíèêè æèäêîñòåé, ïðè ýòîì â êà÷åñòâå êîîðäèíàòeiX÷àùå âñåãî âûáèðàþò îðòîãîíàëüíûå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû(äåêàðòîâû, öèëèíäðè÷åñêèå èëè ñôåðè÷åñêèå).Äëÿ îðòîãîíàëüíûõ êîîðäèíàòeiXóäîáíî ââåñòè ôèçè÷åñêèå êîìïîíåíòû(ñì. ò.
1, ï. 2.6.2 è ò. 2, ï. 1.1.4) âåêòîðà ñêîðîñòåéqôαè âåêòîðàfôαvôα = v α Hα ,v ôα ,âåêòîðà ïîòîêà òåïëàïî ôîðìóëàì (ò. 1, (2.6.13)):qôα = q α Hα ,fôα = f α Hα ,Hα =eiXìàòðèöàÍàïîìíèì, ÷òî äëÿ îðòîãîíàëüíûõ êîîðäèíàòíàëüíîé (ñì. ò. 1, (2.6.2)).pgeαα .geij(1.1.17)ÿâëÿåòñÿ äèàãî-9 1.1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÒîãäà, çàïèñûâàÿ â óðàâíåíèÿõ íåðàçðûâíîñòè (1.1.1) è ýíåðãèè (1.1.3)îïåðàòîðû äèâåðãåíöèè âåêòîðà â ôèçè÷åñêîì áàçèñåeαñîãëàñíî ôîðìóëå(ò. 1, (2.6.33)), à â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (1.1.2) àíàëîãè÷íî çàïèñûâàÿ îïåðàòîð äèâåðãåíöèè òåíçîðà ïî ôîðìóëå (ò. 1, (2.6.39)), ïîëó÷àåì ñèñòåìóóðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé æèäêîñòè â ôèçè÷åñêèõ êîìïîíåíòàõ:3∂ρ1 P∂ +p(ρvôα Hβ Hγ ) = 0,eα∂tge α=1 ∂ Xp3 ³∂ρvôγ1 P∂ge b+p(Tαγ )+αe ∂tge α=1 ∂ X Hαp´ge b ∂Hγbαα ∂Hα ) = ρfôγ ,+(Tγα−TeαeγHα Hγ∂X∂X³´3∂∂ρε1 P(ρvôα (ε + p/ρ) + qôα )Hβ Hγ = ∂t + pgeeαα=1 ∂ X3P=ρfôγ veôγ + ρqm ,α=1α 6= β 6= γ 6= α.(1.1.18)(1.1.19)(1.1.20)Çäåñü îáîçíà÷åíû ôèçè÷åñêèå êîìïîíåíòû òåíçîðà äèíàìè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé â ãàçå:Tbαγ = ρvôα vôγ + pδαγ ,b=T3XTαγ eα ⊗ eγ .(1.1.21)α,γ=1Çàêîí Ôóðüå (1.1.9) â ôèçè÷åñêèõ êîìïîíåíòàõ èìååò âèäe α ),qôα = −λ (∂θ/∂ X(1.1.22)pàge = H1 H2 H3 .Ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèé (1.1.18)(1.1.20) ó÷òåíî, ÷òî ôèçè÷åñêèé áàçèñeαÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíûì, ïîýòîìó3X∂ρvôγ∂ρveγ .=∂t∂tγ=1Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ôîðìå (1.1.19) íå ÿâëÿåòñÿ äèâåðãåíòíûì, ò.
å. íå âñå ñëàãàåìûå ñëåâà ñòîÿò ïîä ïðîèçâîäíûìè (ñì. ò. 1,ï. 2.6.11). Äèâåðãåíòíîñòü ìîæíî îáåñïå÷èòü, åñëè îñóùåñòâèòü ïåðåõîä â(1.1.2) îò ôèçè÷åñêîãî áàçèñàv=ei3Xγ=1ê äåêàðòîâóvôγ eγ =3Xγ ,β=1ēiïî ôîðìóëå (ò. 1, (2.6.42)):e βγ )ēβ .(vôγ Q10Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÒîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìó (ò. 1, (2.6.43)) äëÿ äèâåðãåíöèè òåíçîðàe ·Tb,∇ïîëó-÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â äèâåðãåíòíîé ôîðìå:Ã∂∂t3p Xv ôγ e βQγρ geγ=1!Hγ+3X∂α=1eα∂XÃ!3p XpTbαγβge= ge ρfôβ .α γ Q̄γγ=1H H1.1.3. Çàïèñü óðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé æèäêîñòèâ ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõÑèñòåìà óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3), ñîãëàñíî òåðìèíîëîãèè ò. 2, ï.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
