Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõv(x, t)ξ = x/t, ò. å.³x´v(ξ) = v.51çàâèñÿò îò àâòîìîäåëüíîé ïåðåìåííîéρ = ρ(ξ) = ρ³x´t,t(1.3.121)Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíûå îò òàêèõ ôóíêöèé:dρ ∂ξx dρρ dρ∂ρ==− 2=−,∂tdξ ∂tt dξt dξ∂ρdρ ∂ξ1 dρ==,∂xdξ ∂xt dξè àíàëîãè÷íî∂v1 dv=,∂xt dξ∂p1 dp=.∂xt dξ(1.3.122)(1.3.123)Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (1.3.122), (1.3.123) â ñèñòåìó (1.3.120), ïîëó÷àåìξ dρv dρρ dv−++= 0,t dξt dξρ dvv dv−++t dξèëè ïðèt > 0:t dξt dξ1 dp=ρt dξ(1.3.124)0,dρdv(v − ξ) + ρ = 0,dξdξ2dvadρ(v − ξ) ++ ρ = 0.dξρdξ(1.3.125à)(1.3.125á)Çäåñü èñïîëüçîâàíû ñîîòíîøåíèÿ (1.3.118â) è (1.3.119):dp dρdρdp== a2.dξdρ dξdξ(1.3.126)Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.3.125) îòíîñèòåëüíî äâóõ íåèçâåñòíûõ(dρ/dξ)è(dv/dξ)ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ëèíåéíîé, ïîýòîìó îíà èìååòíåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åå îïðåäåëèòåëü ðàâåííóëþ, ò.
å.¯¯¯v − ξρ ¯¯¯¯ a2 /ρ v − ξ ¯ = 0.(1.3.127)Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå(v − ξ)2 − a2 = 0,(1.3.128)v − ξ = ±a.(1.3.129)èëèÈñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1.3.129), îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.3.125) ïðèâîäèìê âèäó±a(ρ)dρdv+ ρ = 0.dξdξ(1.3.130)52Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûa,Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî ñêîðîñòü çâóêàρ.ñîãëàñíî (1.3.119), ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåéÂûáåðåì âíà÷àëå çíàê ¾−¿ â (1.3.130), òîãäà óðàâíåíèå (1.3.130) èìååòñëåäóþùèé èíòåãðàë:Zρv = v0 +a(ρ)dρ,ρ(1.3.131)ρ0v0ãäåèρ0 íåêîòîðûå êîíñòàíòû.  ÿâíîì âèäå ñ ó÷åòîì (1.3.120à) ïîëó÷èì√µ³ ´¶Zρ (k−1)/2√ρ2 kAρ (k−1)/2(k−1)/2v = v0 + kAdρ = v0− 1 ρ0,ρk−1ρ0èëèv = v0 +ρ0µ³ ´ρ (k−1)/22a 0k−1ρ0qÇäåñü ââåäåíà êîíñòàíòàa0 =−1 .(1.3.132)1kAρk−.0(1.3.133)Ñðàâíèâàÿ (1.3.133) ñ (1.3.119), íàõîäèì, ÷òîρ = ρ0 :¶a0 ýòî ñêîðîñòü çâóêà ïðèa0 = a(ρ0 ),a â âèäå³ ρ ´(k−1)/2.a = a0ïðè÷åì ìîæíî çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ(1.3.134)ρ0Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèå (1.3.132) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíî ñåìåéñòâîðåøåíèé àâòîìîäåëüíîé çàäà÷è (1.3.125).
Ïîäñòàâèì ýòî ðåøåíèå â (1.3.129)v è ρ îò ξ :µ³ ´¶³ ρ ´(k−1)/22a 0ρ (k−1)/2ξ = v + a = a0+− 1 + v0 ,è íàéäåì ÿâíóþ çàâèñèìîñòüρ0k−1³ ρ ´(k−1)/2îòñþäàρ0a0³k + 1´k−1ρ0−2a 0= ξ − v0 .k−1ρ èìååò âèä³³´´2/(k−1)ξ − v0 k − 12ρ=+.(1.3.135)(1.3.136)Îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿρ0Ïðèξ = a0 + v0a0ïîëó÷àåì, ÷òîk+1ρ = ρ0 .Íàéäåì ñêîðîñòü çâóêà:a = a0³ ρ ´(k−1)/2ρ0(1.3.137)k+1= a0³ (ξ − v ) k − 10a0k+1+2k+1´.(1.3.138)Îòñþäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè:v = ξ − a = ξ − (ξ − v0 )k−12a02(ξ − a0 ) + v0 (k − 1)−=.k+1k+1k+1(1.3.139)53 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõÏðîâåðÿåì: ïðèξ = a 0 + v0èìååìv=ïîëó÷èòü.2+k−1v0 = v0k+1 ÷òî è îæèäàëîñüÅñëè ðàññìîòðåòü âòîðîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé àâòîìîäåëüíîé çàäà÷è, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò çíàê ¾+¿ â (1.3.129) è (1.3.130), òî ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû, îòëè÷àþùèåñÿ îò (1.3.137), (1.3.138) è (1.3.140)òîëüêî çíàêîì.Îáúåäèíÿÿ ýòè äâà ñåìåéñòâà, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ðåøåíèå ñèñòåìû:³ 2´(ξ − v0 ) k − 1 2/(k−1)ρ=∓,ρ0k+1a0k+1a = (2a0 ∓ (ξ − v0 )(k − 1))/(k + 1),v = (2(ξ ± a0 ) + v0 (k − 1))/(k + 1),v = ξ ± a.Âîçâðàùàÿñü îòξêx/t,(1.3.140)íàõîäèì îêîí÷àòåëüíîå àâòîìîäåëüíîå ðåøåíèåñèñòåìû (1.3.118), íàçûâàåìîå ðåøåíèåì Ðèìàíà.Îòìåòèì, ÷òî ðåøåíèåì ñèñòåìû (1.3.118) (è ñîîòâåòñòâåííî ñèñòåìû(1.3.125)) ÿâëÿåòñÿ òàêæå è òðèâèàëüíîå ðåøåíèå:ρ = ρ0 ,v = v0 ,p = p0 .(1.3.140à)Êîìáèíèðóÿ ðåøåíèÿ Ðèìàíà è (1.3.140à), ìîæíî ñòðîèòü ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ çàäà÷.1.3.15.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå íàïðàâëåíèÿÐàññìîòðèì âîïðîñ îá îäíîçíà÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõρt ≡ ∂ρ/∂t, ρx = ∂ρ/∂x, vtòàêèå ëèíèè íà ïëîñêîñòèêîòîðûå ôóíêöèèρèvè vx â ñèñòåìå (1.3.120). Èíà÷å(x, t), íàçûâàåìîé ôàçîâîé, ïðèãîâîðÿ, íàéäåìïåðåõîäå ÷åðåçÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè, à èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûåòåðïÿò ðàçðûâ. Òàêèå ëèíèè íàçûâàþò õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè (èëè ïðîñòîõàðàêòåðèñòèêàìè).Îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî êëàññèôèêàöèè, ââåäåííîé â ãë.5, õàðàêòåðèñòèêèïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõtïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîâåðõ-íîñòè ñëàáîãî ðàçðûâà.Íàéäåì õàðàêòåðèñòèêè äëÿ ñèñòåìû (1.3.120).
Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì åå ñó÷åòîì ââåäåííûõ âûøå îáîçíà÷åíèé:ρt + vρx + ρvx = 0,v + vv + (a2 /ρ)ρ = 0,txxρt dt + ρx dx = dρ,v dt + v dx = dv.tx(1.3.141)54Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÄâà ïîñëåäíèõ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ýòî ôîðìóëû ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëîâîòρèv.Ïåðåïèøåì ñèñòåìó (1.3.141) â ìàòðè÷íîì âèäå:A · l = b,ãäåA ìàòðèöà;lèv 0 a2 /ρA=dt dx100b(1.3.142) êîîðäèíàòíûå ñòîëáöû:010 ρtρx l= vt ,vxρv,0 dt dx00b=dρ .dv(1.3.143)Èùåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1.3.141), ïðè êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ îäíîçíà÷íîñòüïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ.
Ýòî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâåí íóëþäåòåðìèíàíò ñèñòåìû (1.3.141):detA = 0.(1.3.144)Ïîäñòàâëÿÿ (1.3.143) â (1.3.144), ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèådetA = dt2 (a2 − v 2 ) + 2vdxdt − dx2 = 0.Ðåøåíèå ýòîãî êâàäðàòíîãî îòíîñèòåëüíîdx(1.3.145)óðàâíåíèÿ èìååò âèädx = (v ± a)dt.(1.3.146)Ñîîòíîøåíèå (1.3.146) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèådt1=,dxv±a(1.3.147)îïðåäåëÿþùåå óðàâíåíèÿ èñêîìûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ íàïðàâëåíèé íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè(x, t).Íàéäåì ñîîòíîøåíèÿ âäîëü õàðàêòåðèñòèê. Ïîäñòàâëÿÿ (1.3.147) â ïåðâîåóðàâíåíèå èç (1.3.141), íàõîäèìdρ(2v ± a) + ρdv = 0.Ïîñêîëüêóvçàâèñèò îòρ(1.3.148)(ñì.
ïîëó÷åííîå ðåøåíèå Ðèìàíà), òî ìîæíîââåñòè ôóíêöèèZρϕ± (ρ) =2v(ρ0) ± a(ρ0 ) 0dρ , ϕ± (ρ0 ) =ρ00,(1.3.149)ρ0òîãäà (1.3.148) ïðèìåò âèäϕ± (ρ) − v = ξ± ≡ const.Ðèñ. 1.3.12.Äâàñåìåé-ñòâà õàðàêòåðèñòèê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êóMÒàêèìîáðàçîì,èìååìäâàñåìåéñòâà(1.3.150)õàðàêòåðè-ñòèê (1.3.147), ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç êàæäóþ òî÷êóM55 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõíà ôàçîâîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 1.3.12) è ñîîòíîøåíèÿ(1.3.150) íà íèõ.  çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿvèaçíàêdt/dxìîæåò áûòü¾+¿ èëè ¾−¿.
Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.1.3.16. Çàäà÷à î ïîðøíå, âûäâèãàåìîì èç ãàçàÐàññìîòðèìöèëèíäðè÷åñêóþêðóãëóþòðóáó,çàïîëíåííóþèäåàëüíûìñîâåðøåííûì ãàçîì.  òðóáå íàõîäèòñÿ ïîðøåíü (ðèñ. 1.3.13), êîòîðûé âíà÷àëüíûé ìîìåíò ïðèx>0t=0íàõîäèòñÿ â òî÷êåx0 = 0.Ñïðàâà îò ïîðøíÿ ïðèíàõîäèòñÿ îáëàñòü ïîâûøåííîãî äàâëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìèt=0:p0 , ρ0 , v0 = 0.(1.3.151)Ñëåâà ðàñïîëîæåíà îáëàñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ñ äðóãèìè ïàðàìåòðàìè, íî âäàííîé çàäà÷å ýòà îáëàñòü íå ðàññìàòðèâàåòñÿ.
Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïîðøíÿÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíîé:D = −D0 ,D0 > 0,(1.3.152)ïîëàãàåì åå èçâåñòíîé.Ðèñ. 1.3.13.ÑõåìàäâèæåíèÿÐèñ. 1.3.14. Äâà ñåìåéñòâà õà-ïîðøíÿ,âûäâèãàåìîãî èç ãàçàðàêòåðèñòèê â îáëàñòè ïîêîÿÍàéäåì ðåøåíèå, ò. å. çíà÷åíèÿp, ρèvïðèt>0çà ïîðøíåì. Äëÿ ýòîãîèñïîëüçóåì ðåøåíèå Ðèìàíà è òðèâèàëüíîå ðåøåíèå.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êóMíà ôàçîâîé ïëîñêîñòè è äâå òàêèåOxP è Q òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèêQ íåò âîçìóùåíèé ãàçà, ò. å. èìååò ìåñòîõàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå ïðèõîäÿò íà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îñè(ðèñ. 1.3.14). Îáîçíà÷èì áóêâàìèñ îñüþOx. òàêèõ òî÷êàõPèñîîòíîøåíèå (1.3.152), ïîýòîìó èç óñëîâèé (1.3.150) èìååìϕ± (ρ0 ) − v0 = 0 = ±ξ ,ò. å.
âäîëü òàêèõ õàðàêòåðèñòèêîäíîâðåìåííî:èëèξ± = 0.ϕ+ (ρ) = vèÒîãäà â òî÷êåϕ− (ρ) = v ,(1.3.153)Mèìååì îáà óñëîâèÿ(1.3.154)ϕ+ (ρ) = ϕ− (ρ), èëè èíà÷å, â ñèëó (1.3.149), äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ2v + a = 2v − a, åñëè ρ 6= ρ0 . Îäíàêî, ýòî íåâîçìîæíî,îòíîøåíèåñîòàê56Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûêàê ïîëó÷àåìa = −a.Çíà÷èò ñîîòíîøåíèå (1.3.154) óäîâëåòâîðÿåòñÿ òî-ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàv =0 èóñòàíîâèëè, ÷òî âî âñÿêîé òî÷êåM,ρ = ρ0â òî÷êåM.Òàêèì îáðàçîì,èç êîòîðîé õàðàêòåðèñòèêè ïðèõîäÿòîñü Ox, âîçìóùåíèé íåò.
Ñëåäîâàòåëüíî, âäîëü òàêèõa = a0 = const, à çíà÷èò òàêèå õàðàêòåðèñòèêè (1.3.147) ýòîíàõàðàêòåðèñòèêïðÿìûå ëèíèè:x = a0 t + C.Èç òî÷êè= a0 tx = 0 âûõîäèò ãîëîâíàÿ âîëíà x =(ðèñ. 1.3.15), è âäîëü íåå èìååò ìåñòîñîîòíîøåíèåϕ+ (ρ) = a0Ðèñ. 1.3.15. Ðàñïðîñòðàíåíèå ãîëîâíîé âîëíûln(ρ/ρ0 ) = v.Ðàññìîòðèì òî÷êó(1.3.155)M âûøå ãîëîâíîé âîëíûMQ èìååì(ðèñ. 1.3.16) è âûïóñòèì èç íåå äâå õàðàêòåðèñòèêè. Âäîëüϕ− (ρ) = v + ξ− ,íî òî÷êàQ(1.3.156)ëåæèò íà ãîëîâíîé âîëíå, ïîýòîìó äëÿ íååξ− = 0.òî÷êå M îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ(ϕ− (ρ) = v ,v =ρ = ρ0 ,0,ñëåäîâàòåëüíî,Òîãäà âäâà óñëîâèÿ:(1.3.157)ϕ+ (ρ) = v + ξ+ .ρ: ϕ+ (ρ) − ϕ− (ρ) = ξ+ = const.ρ, òîëüêî åñëè ρ = ρ1 = const.Òàêèì îáðàçîì, âäîëü P M âñåãäà ρ = const (íî, âîîáùå ãîâîðÿ, ρ 6= ρ0 ).Òîãäà a1 = a(ρ1 ) âäîëü P M, è, ñëåäîâàòåëüíî, v = v1 = const, è õàðàêòåðèñòèêà P M ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé.
Åå óðàâíåíèå èìååò âèäÎòñþäà íàõîäèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿÝòî âîçìîæíî äëÿ ëþáûõx = (v1 + a1 )t + C.(1.3.158)Ïîñêîëüêó ïîðøåíü äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþôàçîâîé ïëîñêîñòè åãî ïîëîæåíèå èçîáðàæàåò ëó÷OO0dx/dt = D,(ðèñ. 1.3.17).Ðèñ. 1.3.16. Äâà ñåìåéñòâà õà-Ðèñ. 1.3.17. Ïîñòðîåíèå ñåìåéñòâàðàêòåðèñòèê çà ãîëîâíîé âîëíîéõàðàêòåðèñòèêòî íà57 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõÏðîäëèì õàðàêòåðèñòèêó ¾+¿ çà òî÷êóPOO0 .äî ëó÷àÈõ ïåðåñå÷åíèåN .
Õàðàêòåðèñòèêà N M ýòî ïðÿìàÿ, âäîëü íåå v = const.Ïîñêîëüêó â òî÷êå N ñêîðîñòü ãàçà ðàâíà ïî óñëîâèþ ñêîðîñòè ïîðøíÿ, òîv = D = const. Òîãäà äëÿ ëþáîé äðóãîé òî÷êè M0 âäîëü åå ïîëîæèòåëüíîé0 0õàðàêòåðèñòèêè M N ñêîðîñòü v òàêæå áóäåò ðàâíà v = D = const. Ýòî îçíàîáîçíà÷èì áóêâîé÷àåò, ÷òî ýòè õàðàêòåðèñòèêè áóäóò âñå ïàðàëëåëüíû è çàäàþòñÿ óðàâíåíèåìx = (v1 + a1 )t + C ,ïëîòíîñòüρ1v1 = D ,a1 = a(ρ1 ),(1.3.159)òàêæå îäèíàêîâà äëÿ ýòèõ õàðàêòåðèñòèê.Ñëåäîâàòåëüíî, âñå õàðàêòåðèñòèêè, âûõîäÿùèå îò ëó÷àðàëëåëüíûå ïðÿìûå ñ òàíãåíñîì óãëà íàêëîíàÒàêèìîáðàçîì,ìåæäóx = a0 t è ýòèìèx = (v1 + a1 )t îñòàåòñÿíîéãîëîâíîé(v1 + a1 ),OO0 , ýòî ïà-îòëè÷íûì îòa0 .âîë-õàðàêòåðèñòèêàìèóãîëîáëàñòü,â êîòîðîé õàðàêòåðèñòèêè ìîãóò âûõîäèòüèçòî÷êèOïîäðàçíûìèóãëàìè.Ýòîöåíòðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè, èõ íàçûâàþòöåíòðèðîâàííûìèâîëíàìèèëè âîëíàìèÐèìàíà.Îáùàÿ êàðòèíà õàðàêòåðèñòèê íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè äëÿ äàííîé çàäà÷è ïîêàçàíàÐèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
