Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

1.3.18. Îáùàÿ êàðòèíà õàðàêòåðèñòèêäëÿíà ðèñ. 1.3.18.ρÏîñòðîèì ðåøåíèåèíåìóíàõîäèìx2 = Dtòî÷êóçàâûäâèãàåìûìv.Âûáèðàåì ëþáîé ìîìåíò âðåìåíèO0ãàçàïîðøíåìñt,ïîêîîðäèíàòîé ýòî ìåñòî ïîëîæåíèÿ ïîðøíÿ.Ëåâåå ýòîé òî÷êè ðåøåíèå íå ðàññìàòðèâàåì.Ïðàâååýòîéòî÷êèâïëîòüäîâåå-ðà Ðèìàíà ñêîðîñòü v îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé:v = v2 = D = −D0 < 0.0Ïðàâåå òî÷êè B âäîëü ïðÿìîé O B ñîñòîÿíèå ïîêîÿ, ïîýòîìó ïðè x > x0 : v == 0. Ìåæäó òî÷êàìè C è B , ò. å. â îáëàñòèâååðà Ðèìàíà, äâà ïîñòîÿííûõ ðåøåíèÿñøèâàþòñÿ (ðèñ. 1.3.19).Äëÿ ïëîòíîñòèρðàññóæäåíèÿ è êà÷å-ñòâåííûé õàðàêòåð ðåøåíèÿ àíàëîãè÷åí:ïðèx2 6 x 6 x1 :ïðèx > x0 :ρ = ρ1 = const,ρ = ρ0 = const.

(1.3.160)Ðèñ. 1.3.19.Ïîñòðîåíèåðåøåíèÿäëÿ ãàçà çà âûäâèãàåìûì ïîðøíåì58Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÍàéäåìíà ïðèàíàëèòè÷åñêèåx1 6 x 6 x0 .âûðàæåíèÿÂñïîìíèì, ÷òîäëÿρèvvèρâîáëàñòèâîëíÐèìà-ìîãóò áûòü ëèáî êîíñòàíòà-ìè, ëèáî ðåøåíèåì Ðèìàíà (1.3.137), (1.3.139). Çíà÷èò ôóíêöèè Ðèìàíà(1.3.137), (1.3.138) äåéñòâèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþò öåíòðèðîâàííûì âîëíàì Ðèìàíà. Îñòàëîñü ñøèòü ðåøåíèÿ. Ñòðîèì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:ρ/ρ0 =1, ³³´ξ k−1´2/(k−1)2+−a0 k + 1k+1ρ /ρ ,100,2(ξ − a0 )v=,k+1v1 = −D0 ,Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿv0 = 0,,åñëèξ 6 ξ0 = x0 /t,åñëèξ1 6 ξ 6 ξ0 ,åñëèξ2 6 ξ 6 ξ1 ,åñëèξ 6 ξ0 = x0 /t,åñëèξ1 6 ξ 6 ξ0 ,åñëèξ2 6 ξ 6 ξ1 .(1.3.161)÷òîáû ïîëó÷èëàñü ñøèâêà.Ïðè÷åì î÷åâèäíî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿξ0 = x0 /t = a0 ,Îñòàëîñü íàéòèξ1(èëèx1 ).ξ2 = x2 /t = D = −D0 .(1.3.162)Èç óñëîâèÿ ñøèâêè ïîëó÷àåìv(ξ1 ) = −D0 = v1 = D,òîãäà2(ξ1− a0 ) = (k + 1)D.Îòñþäà íàõîäèìξ1 = u0 −k+12D0 ,(1.3.163)÷òî è çàâåðøàåò ðåøåíèå.Îòìåòèì, ÷òî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèåξ2 6 ξ1 6 ξ0 ,èëè−D0 6 a0 −èëèa0 >ÅñëèD0 >k+12k−12D0 6 a0 ,D0 .2k−1a0 ,òî ðåøåíèå óæå äðóãîå ïðîèñõîäèò îòðûâ ïîðøíÿ îò ãàçà.(1.3.164)59Ÿ 1.3.

Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ1.3.17. Ïîðøåíü, âäâèãàåìûé â ãàçU (èçâåñòíîé) âäâèãàåòñÿ â ãàç, íàõîäÿùèéñÿt=0 è x<0Ïóñòü ïîðøåíü ñî ñêîðîñòüþñëåâà (ðèñ. 1.3.20, à). Ïðèèìååìρ = ρ2 = const,p = p2 ,v = 0.(1.3.165)Ìîæíî àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëîïðîäåëàíî â ï. 1.3.16, ñêîíñòðóèðîâàòü ðåøåíèå. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì ìíîãîçíà÷íîå ðåøåíèå (ðèñ. 1.3.20, á). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ Ðèìàíà âäàííîì ñëó÷àå íå ñóùåñòâóåò, à ñóùåñòâóåò òîëüêî êóñî÷íî-ïîñòîÿííîå ðåøåíèå. ò. å.âîçíèêàåò ñèëüíûé ðàçðûâ óäàðíàÿ âîëíà.Äëÿ óäàðíîé âîëíû âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ Ãþãîíèî (1.3.42), ïðè÷åì â íèõ ñëå-Ðèñ. 1.3.20. Ñõåìà äâèæåíèÿ ïîðøíÿ, âäâèãàåìîãî â ãàç (à), è íåâîç-äóåò ïîëîæèòüìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèå Ðè-v1 = U = −U0 ,U0 > 0.(1.3.166)ìàíà äëÿ äàííîé çàäà÷è (á)Òîãäà èìååì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî òðåõ íåèçâåñòíûõD , p1(çíà÷åíèÿρ2 , v2 = 0, p2 ïðåäïîëàãàåì èçâåñòíûìè):1k−1 12kp2=+,2ρk+1ρk+1ρD21222k−1p1 =ρ2 D2 −p ,k+1k+1 2p2 U = 2 D − 2k.k+1ρ1 ,(1.3.167)k + 1 ρ2 DÈç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.3.167) ïîëó÷àåìD2 −ïîñêîëüêók+12DU − a22 = 0,kAρk2kp21== kAρk−= a22 .2ρ2ρ2Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèì ñêîðîñòüDäâèæåíèÿ óäàðíîé âîëíû:(1.3.168)(1.3.169)60Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûD=1³k + 122r(k + 1)2U+4´U 2 + 4a22 .(1.3.170)Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è èìååò âèä(ρ=v=ãäåρ2 , x < x2 ,(1.3.171)ρ1 , x2 < x < x1 ,(0,x < x2 ,(1.3.172)U , x2 < x < x1 ,x2 = Dt,x1 = U t,ò. å.ïåðåäïîðøíåì,âäâèãàåìûì â ãàç, âîçíèêàåò ïîäâèæíàÿ îáëàñòüx2 < x < x1 ,â êîòîðîé õàðàêòåðèñòèêè ãàçà óæåâîçìóùåíû ýòîÐèñ. 1.3.21.

Ðåøåíèå çàäà÷èî ïîðøíå, âäâèãàåìîì â ãàçρ1èv1è ìåíÿþòñÿ ñêà÷êîîá-ðàçíî ïî ñðàâíåíèþ ñ õàðàêòåðèñòèêàìèïîêîÿùåéñÿ îáëàñòèx < x2(ρ2 , v2 )(ðèñ. 1.3.21).1.3.18. Çàäà÷à î ðàñïàäå ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâàÐàññìîòðèì òðóáó, â êîòîðîé ãàç (ôèçè÷åñêè îäèí è òîò æå) ðàçäåëåí ïðèt<0 ïåðåãîðîäêîé (ðèñ. 1.3.22), ïðè÷åì ñëåâà è ñïðàâà äàâëåíèå è ïëîòíîñòü ðàçëè÷íû:p=ρ=(p3 , x < 0,p0 , x > 0,(ρ3 , x < 0,ρ0 , x > 0,v = 0,Ðèñ. 1.3.22. Ñõåìà çàäà÷è î ðàñïàäå(1.3.173)(1.3.174)−∞ < x < +∞.ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâàÄëÿ îïðåäåëåííîñòè ïîëîæèìp0 > p 3 , ìîìåíòt=ρ0 > ρ3 .(1.3.175)0 ïåðåãîðîäêà ðàçðóøàåòñÿ, è âîçíèêàåò äâèæåíèå ãàçà èçîáëàñòè âûñîêîãî äàâëåíèÿ â îáëàñòü íèçêîãî.

Ðåøåíèå î ñîñòîÿíèè ãàçàïðèt>0íàçûâàþò ðåøåíèåì çàäà÷è î ðàñïàäå ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâà, åãîòàêæå ìîæíî ñêîíñòðóèðîâàòü èç ÷åòûðåõ ðåøåíèé (ðèñ. 1.3.23):••••ðåøåíèå Ðèìàíà (ÂÐ);òðèâèàëüíîå ðåøåíèå;ðåøåíèå íà óäàðíîé âîëíå (ÓÂ);ðåøåíèå íà êîíòàêòíîì ðàçðûâå (ÊÐ).Ÿ 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ61Ïî îòíîøåíèþ ê ãàçó ñ âûñîêèì äàâëåíèåì ðàñïàä ðàçðûâà ýòî äâèæå-íèå ïîðøíÿ, âûäâèãàåìîãî èç ãàçà, à ïî îòíîøåíèþ ê ãàçó ñ íèçêèì äàâëå-62Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûíèåì ýòî äâèæåíèå ïîðøíÿ, âäâèãàåìîãî â ãàç.Ïðîâîäÿ, êàê è â çàäà÷àõ î ïîðøíå, àíàëèç âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ÓÂè õàðàêòåðèñòèê, óáåæäàåìñÿ, ÷òî îáÿçàòåëüíî äîëæíû ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âîäíó ñòîðîíó (áîëüøåãî äàâëåíèÿ, êàê áûëîóñòàíîâëåíî â çàäà÷å î âûäâèãàåìîì ïîðøíå)âîëíà Ðèìàíà, à â ñòîðîíó ìåíüøåãî äàâëåíèÿ óäàðíàÿ âîëíà.

Îäíàêî, âîçìîæíî,÷òî ýòî íå åäèíñòâåííûå âîëíû, è êðîìå íèõäâèæóòñÿ åùå âîëíû Ðèìàíà è óäàðíûå âîëíû ñ äðóãèìè ñêîðîñòÿìè. Ïîêàæåì, ÷òî ýòîíåâîçìîæíî.1. Çà ïåðâîé ÓÂ âòîðàÿ ÓÂ ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ íå ìîæåò (ðèñ. 1.3.24à), òàê êàê ñêîðîñòüD1ïåðâîé ÓÂ îòíîñèòåëüíîv1çà ôðîí-òîì äîçâóêîâàÿ:(D1 − v1 )2 6 a21 .ÑêîðîñòüD2(1.3.176)äëÿ âòîðîé ÓÂ îòíîñèòåëüíîv1ïåðåä íåé ñâåðõçâóêîâàÿ:a21 6 (D2 − v1 )2 ,Ðèñ. 1.3.23.

Ðåøåíèå çàäà÷è î ðàñïàäå ïðîèçâîëüíîãî ðàçðûâàïîýòîìóD2 > D1 ,(1.3.177)è, ñëåäîâàòåëüíî, âòîðàÿÓ âñåãäà äîãîíÿåò ïåðâóþ ÓÂ, è è àâòîìîäåëüíîñòü ðåøåíèÿ (ò. å. íåçàâèñèìîñòü êàðòèíû îòt)íàðóøàåòñÿ.2. Íåâîçìîæíî òàêæå, ÷òîáû çà Ó áåæàëà ÂÐ (ðèñ. 1.3.24á), òàê êàêñêîðîñòüDÂÐäâèæåíèÿ âîëíû Ðèìàíà çâóêîâàÿ, ïîýòîìó(D − 1 − v1 )2 6 a21 = (DÂÐ − v1 )2 ,è, ñëåäîâàòåëüíî,DÂÐ > D1 ,(1.3.178)ò. å.

òàêæå ÂÐ äîãîíèò ÓÂ è íàðóøèòñÿ àâòîìî-äåëüíîñòü.3. Ñèòóàöèÿ, êîãäà çà ïåðâîé ÂÐ áåæèò ÓÂ (ðèñ. 1.3.24â) òàêæå íåâîçìîæíà, òàê êàê çàäíèé ôðîíò ÂÐ áåæèò ñî ñêîðîñòüþñî ñâåðõçâóêîâîé ñêîðîñòüþD1îòíîñèòåëüíîv1 ,DÂÐ = a1 + v1 ,(D1 − v1 )2 > a21 ,è, ñëåäîâàòåëüíî,à ÓÂ ò. å.(1.3.179)DÂÐ − v1 )2 = a21 6 (D1 − v1 )2 . Òîãäà DÂÐ 6 D1 , ÷òî ïðèâîäèòê íàðóøåíèþ àâòîìîäåëüíîñòè.4.

Àíàëîãè÷íî, âòîðàÿ ÂÐ áóäåò äâèãàòüñÿ çà ïåðâîé ÂÐ (ðèñ. 1.3.24ã) ñîñêîðîñòüþDÂÐ2 = a1 + v1 çâóêîâîé ïî îòíîøåíèþ ê ñêîðîñòèv1çà ïåðâîéÂÐ, ò. å. ñêîðîñòè çàäíåãî ôðîíòà ïåðâîé ÂÐ è ïåðåäíåãî ôðîíòà âòîðîé ÂÐðàâíû:a1 + v1 = DÂÐ1 = DÂÐ2 . Îäíàêî, ýòî òîæå íåâîçìîæíî â àâòîìîäåëüíîì63Ÿ 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõÐèñ. 1.3.24. Àíàëèç âàðèàíòîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è î ðàñïàäå ðàçðûâàäâèæåíèè, òàê êàê òîãäà îáå ÂÐ îäíà îáùàÿ âîëíà Ðèìàíà, âûïóùåííàÿèç îäíîé òî÷êèO,ëèáî, åñëè íå èç îäíîé òî÷êè, òî ñóùåñòâóåò êîíå÷íîåðàññòîÿíèå ìåæäó âîëíàìè ÂÐ1 è ÂÐ2, êîòîðîå ñîõðàíÿåòñÿ ïðè ëþáîìt,÷òîíåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó â àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè äîëæíà áûòü çàâèñèìîñòüîòξ = x/t.5.

Íåâîçìîæíà òàêæå ñèòóàöèÿ, êîãäà â îáå ñòîðîíû äâèæóòñÿ äâå óäàð-íûå âîëíû, òàê êàê îíè äîëæíû áûòü âîëíàìè ñæàòèÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî,ïðèõîäèì ê ñèòóàöèèρ3 < ρ1 > ρ0 ,÷òî íå ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëüíûì äàííûì.6. Íåâîçìîæíû äâå âîëíû Ðèìàíà, äâèæóùèåñÿ â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ,òàê êàê ýòîé ñèòóàöèè ñîîòâåòñòâóåò ñîîòíîøåíèå ïëîòíîñòåéρ3 > ρ1 < ρ0 .Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé çàäà÷å âîçìîæíû òîëüêî îäíà óäàðíàÿ âîëíà èîäíà âîëíà Ðèìàíà.Íàðÿäó ñ óäàðíîé âîëíîé è âîëíîé Ðèìàíà, ïðè ðàñïàäå íà÷àëüíîãî ðàçðûâà âîçíèêàåò òàêæå è êîíòàêòíûé ðàçðûâ.

Êîíòàêòíûé ðàçðûâ íåïîäâèæåíîòíîñèòåëüíî ãàçà ïî îáåèì åãî ñòîðîíàì, è ïîòîìó ê íåìó íå îòíîñèòñÿèñïîëüçîâàííûå âûøå ñîîáðàæåíèÿ î âçàèìíîì îáãîíå äâóõ ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â îäíîì íàïðàâëåíèè âîëí.Íàéäåì àíàëèòè÷åñêóþ ôîðìó ðåøåíèÿ, ñêëåèâàÿ åãî èç âîëíû Ðèìàíà èòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â âîëíå Ðèìàíà è íà åå çàìûêàþùèõõàðàêòåðèñòèêàõ âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿp/p0 = (ρ/ρ0 )k , p1 /p0 = (ρ1 /ρ0 )k ,64Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûp1 = p2à íà êîíòàêòíîì ðàçðûâå ñîîòíîøåíèÿ1,h ξ ³k − 1´+ρ/ρ0 =a0 k + 1ρ1 /ρ0 ,ρ2 /ρ0 ,ρ /ρ ,30ãäå(1.3.180)ξ2 6 ξ 6 ξ1 ,ξ3 6 ξ 6 ξ2 ,ξ < ξ3 ,0,2(ξ − a )/(k + 1),0v=v,10,p/p0 =ïîëó÷àåìξ1 6 ξ 6 ξ0 ,,k+1v1 = v2 = ξ2 ,ξ > ξ0 = x0 /t,i2/(k−1)2è1,h ξ ³k − 1´+a0 k + 1p1 /p0 ,p3 /p0 ,ξ > ξ0 ,ξ1 6 ξ 6 ξ0 ,ξ < ξ3 ,ξ > ξ0 = x0 /t,i2k/(k−1)2(1.3.181)ξ3 6 ξ 6 ξ1 ,ξ1 6 ξ 6 ξ0 ,,k+1(1.3.182)ξ3 6 ξ 6 ξ1 ,ξ < ξ3 .p1 /p0 = (ρ1 /ρ0 )k .Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ïîëíîñòüþ ðåøåíèå, íàäî íàéòè êîíñòàíòûξ1 , ξ3Êîíñòàíòóξ3ρ1 , ρ2 , v1 .èíàéäåì, åñëè èçâåñòíà ñêîðîñòüD(1.3.183)óäàðíîé âîëíû, òàê êàêξ3 = x3 /t = D = −D0 .ρ1ξ = ξ1 :Êîíñòàíòóâ òî÷êåíàéäåì èç óñëîâèÿ ñêëåéêè ðåøåíèÿ Ðèìàíà è òðèâèàëüíîãîh³ξ k−1ρ1= 1ρ0a0 k + 1´+Îòñþäà ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿhξp1= 1p0a0Êîíñòàíòóv1(1.3.184)³k − 1´k+1òàêæå íàõîäèì ÷åðåçv1 = 2a0ξ1i2/(k−1)2k+1.(1.3.185)p1 :+2ki k−12k+1.(1.3.185à)èç óñëîâèÿ ñêëåéêè:ξ1 /a0 − 1.k+1ξ1 , âûðàæàåì v1 ÷åðåç p1 :·³ ´¸³ ´p1 (k−1)/2k2k+1k + 1 p1 (k−1)/2kξ1=−=−(1.3.186)Èñêëþ÷àÿa0p0k+1k−1k−1p02k−1,(1.3.187)65Ÿ 1.4.

Ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâèëèv1 =2a 0h k + 1 ³ p ´(k−1)/2k1−k + 1 k − 1 p0Ïîñêîëüêóp1v1è(ïåðåä ôðîíòîì ýòî2k−1i−1 =2a 0k−1h³ p ´(k−1)/2k i1− 1 . (1.3.188)p0ÿâëÿþòñÿ è ïàðàìåòðàìè çà ôðîíòîì óäàðíîé âîëíûp3v3 =è0), òî îíè óäîâëåòâîðÿþò ïîñëåäíèì äâóìñîîòíîøåíèÿì Ãþãîíèî (1.3.167):p1 =2k+1v1 =ρ3 D2 −2k+1D−k−1p ,k+1 3(1.3.189)a23,k+1D2(1.3.190)à èç ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ Ãþãîíèî (1.3.167) âûðàçèì çíà÷åíèå ïëîòíîñòèçà óäàðíîé âîëíîé:ρ2 =Çäåñü ó÷òåíî, ÷òîhk − 11+k + 1 ρ3ia23 −1.k + 1 ρ3 D 221a23 = kp3 /ρ3 = kAρk3 /ρ3 = kAρk−3ρ2(1.3.191) èçâåñòíàÿ âåëè÷èíà.Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (1.3.189), (1.3.190) â (1.3.188), íàõîäèìD2 − a232a0=k+1Dk−12h³´iρ3 D2k − 1 p3 (k−1)/2k−−1 .k + 1 p0k + 1 p02(1.3.192)óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî D̄ = D/a0D̄ 6 −a3 /a0 ):h³ 2k ρ´ k−1 i ak − 1 p3 2kk+13D̄2−f (D̄) ≡ D̄2 +D̄ 1 −− 3 = 0.Òàêèìîáðàçîì,|D| > a3èëèïîëó÷àåìD 6 −a3 ,k−1Ôóíêöèÿf (D̄)ïðè(ïîñêîëüêóòîk + 1 ρ0D̄ 6 −a3 /a0k + 1 p0a0(1.3.193)ìîíîòîííî âîçðàñòàåò è èìååò îäèí êî-ðåíü, êîòîðûé ëåãêî íàéòè ÷èñëåííî.Ÿ 1.4.

Характеристики

Список файлов книги