Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1.5.8.Èç óðàâíåíèÿS 0 (v) = 0íàõîäèì òî÷êó ìèíèìóìà ôóíêöèè (1.5.55):v2 =k−1 2v .k + 1 max(1.5.56)Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (1.5.56) è (1.5.54), ïîëó÷àåì, ÷òî ìèíèìóì ôóíêöèè(1.5.55) äîñòèãàåòñÿ ïðè êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè:v = vêð ,ò. å. êîãäàM =1.S(v) ïðè v > vêð áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ñâåðõçâóêîâûìM > 1 è v > a, à ó÷àñòîê ïðè v < vêð äîçâóêîâûì ñ M < 1Òîãäà ó÷àñòîê êðèâîéçíà÷åíèÿì, êîãäà(ðèñ. 1.5.8).1.5.7. Óñòàíîâèâøèåñÿ òå÷åíèÿ â ñîïëàõÏðèìåð 1.5.2 (òå÷åíèå â ïðîñòîì ñîïëå). Ðàññìîòðèì îñåñèììåòðè÷íóþåìêîñòü (îñü ñèììåòðèèè ïëîùàäü ñå÷åíèÿSOx, x = x3 ),êîòîðàÿ èìååò îäíî âûõîäíîå îòâåðñòèåOx,êîòîðîé, íîðìàëüíàÿ êñóæàåòñÿ â îáëàñòè âûõîä-íîãî îòâåðñòèÿ.Ñóæàþùóþñÿ ÷àñòü åìêîñòè â îáëàñòèâûõîäíîãî âûõîäíîãî îòâåðñòèÿ íàçûâàþòïðîñòûì ñîïëîì (ðèñ.
1.5.9).Ïóñòüåìêîñòüçàïîëíåíàíûì ãàçîì ñ äàâëåíèåìρ∗ ,òåìïåðàòóðîéθ∗ ,p∗ ,ñîâåðøåíïëîòíîñòüþè ðàññìîòðèì çàäà÷óîá àäèàáàòè÷åñêîì óñòàíîâèâøåìñÿ òå÷åÐèñ. 1.5.9. Åìêîñòü ñ ïðîñòûì ñîïëîìíèè ãàçà èç åìêîñòè ÷åðåç âûõîäíîå îòâåðñòèå â îêðóæàþùåå ïðîñòðàíñòâî, ïðèýòîì ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñîïëîâóþ ÷àñòü åìêîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü çàìêíóòîéòðóáêîé òîêà.Òîãäà äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ìîæíî ïðèìåíèòü èçëîæåííóþ â ïï. 1.5.5è 1.5.6 ìîäåëü îäíîìåðíîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ òå÷åíèÿ.Âíóòðè åìêîñòè, âáëèçè åå äîííîé ÷àñòè ñîñòîÿíèå ãàçà áëèçêî ê ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ, ò.
å. â ýòîé ÷àñòè ñêîðîñòüv∗ =0. Òîãäà ëèíèè òîêàL,íà÷èíàþùèåñÿ â äîííîé îáëàñòè è çàêàí÷èâàþùèåñÿ â âûõîäíîì îòâåðñòèè,èìåþò êðèòè÷åñêóþ òî÷êó â äîííîé ÷àñòè åìêîñòè.Ïàðàìåòðû ãàçà â ýòîé òî÷êå:p∗ , ρ∗èθ∗(çàäàííûå çíà÷åíèÿ).87 1.5. Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññûÏóñòü çàäàí ãðàôèê ôóíêöèèÿâëÿþùåéñÿîáðàçóþùåéäëÿf (x)ñîïëà êðèâîé,(çàìêíóòîéòðóáêè òîêà) (ðèñ.
1.5.10). Òîãäà, ñ òî÷íîñòüþ äîíåèçâåñòíîé êîíñòàíòûëåíèå ñêîðîñòèQ,ìîæíî íàéòè ðàñïðåäå-v(x) â ñîïëå ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòv(x):ñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.5.55) îòíîñèòåëüíîQ∗ρ v(x)µ1−³ v(x) ´2 ¶1/(1−k)vmax(ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ñîïëà:= πf 2 (x)(1.5.57))S(x) = πf 2 (x)).Êàê áûëîóñòàíîâëåíî â ï. 1.5.6, óðàâíåíèå (1.5.57) èìååòäâà ðåøåíèÿv(x),ñîîòâåòñòâóþùèå äîçâóêîâîìó èÐèñ. 1.5.10.
Ðàñïðåäåëåíèåñâåðõçâóêîâîìó òå÷åíèÿì.Äîçâóêîâîå ðåøåíèåðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿxv(x)ñêîðîñòè â ñîïëå ýòî ìîíîòîííî âîç-(òàê êàêS(x)äëÿ ïðîñòîãî ñîïëà, ïî ïðåäïîëîæåíèþ,ìîíîòîííî óáûâàåò); à ñâåðõçâóêîâîå ðåøåíèåóáûâàåò, ïîýòîìóv(0) > v(xêð ),ãäåxêðv(x),íàîáîðîò, ìîíîòîííî êîîðäèíàòû âûõîäíîãî îòâåðñòèÿñîïëà.Ñëåäîâàòåëüíî, ñâåðõçâóêîâîå ðåøåíèå íå ìîæåò óäîâëåòâîðÿòü ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ â äîííîé îáëàñòè ïðèx→0:v(0) = v ∗ =0.
 òî æå âðåìÿ äëÿv(x), åñëè âûõîäíîå îòâåðñòèå ñîïëà ïðåäïîëàãàåòñÿóçêèì, ò. å. Sâûõ /S0 ¿ 1 (S0 = S(0), Sâûõ = S(xêð )), èìååì v(0) ¿ v(xêð ) è∗ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî v(0) ≈ v = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàíè÷íîå óñëîâèå â äîííîéäîçâóêîâîãî ðåøåíèÿîáëàñòè âûïîëíÿåòñÿ.Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ñëåäóþùèé âàæíûé âûâîä: äëÿïðîñòîãî ñîïëà âîçìîæåí òîëüêî äîçâóêîâîé ðåæèì òå÷åíèÿ ãàçà, ò. å. âñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1.5.56):v < vêð .(1.5.58)Q áûëà èçâåñòíà, òî îïðåäåëÿÿ èç óðàâíåíèÿ (1.5.57)äîçâóêîâîå ðåøåíèå v(x) è ïîäñòàâëÿÿ åãî â ôîðìóëû (1.5.37), ìû íàøëèáû ïîëíîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ðàñïðåäåëåíèå ôóíêöèé p(x),ρ(x) è θ(x) â ñîïëå.
Îäíàêî Q òîæå íåèçâåñòíà, è äëÿ åå íàõîæäåíèÿ ñëåäóåòïîñòàâèòü åùå îäíî ãðàíè÷íîå óñëîâèå ïðè x = xêð .Åñëè áû êîíñòàíòàÐàññìîòðèì íàèáîëåå øèðîêî èñïîëüçóåìûé â ïðèëîæåíèÿõ ñëó÷àé, êîãäàçàäàíî äàâëåíèåp0â âûõîäíîì îòâåðñòèè (â êðèòè÷åñêîì ñå÷åíèè) ñîïëà:p(xêð ) = p0 .(1.5.59)88Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÒîãäà, âûðàçèâ èç ôîðìóë (1.5.37) ñêîðîñòü0â êðèòè÷åñêîì ñå÷åíèè ÷åðåç p :ρ0=ρ∗µv0µp0p∗¶2¶1/kµQ:Q = ρ0 v 0 Sâûõp0p∗¶(k−1)/k(1.5.61)x = xêð ,è ïîäñòàâèâ èõ â ôîðìóëó (1.5.52) ïðèêîíñòàíòû(1.5.60),=1−vmaxv 0 = v(xêð ) è ïëîòíîñòü ρ0 = ρ(xêð )ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿvÃuµ 0 ¶(k−1)/k ! µ 0 ¶2/kupp∗= ρ vmax Sâûõ t 1 −.∗∗pÒàêèì îáðàçîì, åñëèp0p(1.5.62) çàäàíî, òî ïî ôîðìóëå (1.5.62) íàõîäèìQ,àçàòåì óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì íàõîäèì ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è ôóíêöèèv(x), p(x), ρ(x)èθ(x).Âûÿñíèì òåïåðü, ëþáûå ëè çíà÷åíèÿ ìîæíî çàäàâàòü äëÿ ãðàíè÷íîãîp0 .
Ïîñêîëüêó âûøå áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî â ïðîñòîì ñîïëå ñêîðîñòü0÷èñëå è v , íå ìîæåò áûòü áîëüøå êðèòè÷åñêîé, òî èç ôîðìóë (1.5.61)äàâëåíèÿv,â òîìè (1.5.58) íàõîäèì:µ1−p0p∗òî åñòü¶(k−1)/k6p0>p∗Èíà÷å ãîâîðÿ, äàâëåíèåp0³³ v ´2êð2vmax´k/(k−1)k+1=k−1,k+1.(1.5.63)(1.5.64)â êðèòè÷åñêîì ñå÷åíèè, êîòîðîå çàäàåòñÿ êàêãðàíè÷íîå óñëîâèå, íå ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì, îíî äîëæíî áûòü íå ìåíüøåíåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî äàâëåíèÿpêð=p∗pêð :p0 > pêð ,³ 2 ´k/(k−1)k+1(1.5.65).(1.5.66)pêð /p∗ ≈ 0, 528.0 ∗Ïðîàíàëèçèðóåì ïàðàìåòðè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü Q îò p /p .0∗Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.5.62), çàâèñèìîñòü Q(y), y = p /p èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ.
1.5.11. Èç óðàâíåíèÿ dQ(y)/dy = 0 íàõîäèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿÍàïðèìåð, åñëèk = 1, 4(äëÿ âîçäóõà), òîäîñòèãàåò ìàêñèìóìà â òî÷êå³yêð =2k+1´k/(k−1)=pêð.p∗(1.5.67)89 1.5. Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññûÐèñ. 1.5.11.p0 /p∗QÇàâèñèìîñòüÐèñ. 1.5.12. Çàâèñèìîñòü êîí-îòâ ïðîñòîì ñîïëåñòàíòûÏîñêîëüêó óñòàíîâëåíî, ÷òî äàâëåíèåp0Qîò îòíîøåíèÿp0 /p∗â ïðîñòîì ñîïëå íå ìîæåò áûòüpêð , òî ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåòñÿ òîëüêî ïðàâàÿy > yêð (ðèñ. 1.5.11). Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèåìåíüøå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿâåòâü çàâèñèìîñòèQêð = Q(yêð )Q(y)ïðèèìååò âèäQêð = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ .(1.5.68))Ïîëó÷åííûì ðåçóëüòàòàì ìîæíî äàòü ñëåäóþùóþ ôèçè÷åñêóþ òðàêòîâêó.Ïóñòü ãàç â îêðóæàþùåì åìêîñòü ïðîñòðàíñòâå íà íåêîòîðîì óäàëåíèè îòêðèòè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ èìååò çíà÷åíèå äàâëåíèÿp0(åãî íàçûâàþò ïðîòèâî-äàâëåíèåì).p0 > pêð , ãäå pêð îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëå (1.5.66), òî0000êðèòè÷åñêîì ñå÷åíèè p è p ñîâïàäàþò: p = p .0000Åñëè p < pêð , òî p 6= p , òàê êàê p íå ìîæåò áûòü ìåíüøå pêð .Òîãäà, åñëèâäàâëåíèåÈíà÷å ãîâîðÿ, ïðè óìåíüøåíèè ïðîòèâîäàâëåíèÿ ìåíüøå çíà÷åíèéäàâëåíèå â êðèòè÷åñêîì ñå÷åíèèêðèòè÷åñêîìóp0pêð .Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ðàñõîäàQpêð ,óæå íå óìåíüøàåòñÿ, à îñòàåòñÿ ðàâíûìîòp0 /p∗â îáëàñòè çíà÷åíèép0 < pêðïðåä-Q = Qêð (ðèñ.
1.5.12). ßâëåíèå, êîãäà ñ óìåíüøåíè0åì äàâëåíèÿ p ðàñõîä ãàçà Q ÷åðåç ïðîñòîå ñîïëî âíà÷àëå óâåëè÷èâàåòñÿ äî0çíà÷åíèÿ Qêð , à çàòåì ïðè p < pêð îñòàåòñÿ íà ïîñòîÿííîì óðîâíå, íàçûâàþòñòàâëÿåò ñîáîé êîíñòàíòóçàïèðàíèåì ïîòîêà.p0 = pêð è, ñëåäîâàòåëüíî, èç ôîðìóë0(1.5.61), (1.5.66) ïîëó÷àåì, ÷òî v = vêð , ò. å.
ñêîðîñòü ãàçà â êðèòè÷åñêîì0ñå÷åíèè ïðè êðèòè÷åñêîì äàâëåíèè p = pêð ÿâëÿåòñÿ çâóêîâîé. ¤Îòìåòèì, ÷òî ïðèp0 = pêðèìååìÏðèìåð 1.5.3 (òå÷åíèå â ñîïëå Ëàâàëÿ). Ðàññìîòðèì óñòàíîâèâøååñÿ àäèàáàòè÷åñêîå òå÷åíèå â îñåñèììåòðè÷íîé åìêîñòè ñ ñîïëîì Ëàâàëÿ, êîòîðîåñîñòîèò èç ó÷àñòêà ñóæåíèÿ, êàê ó ïðîñòîãî ñîïëà, è ðàñøèðÿþùåãîñÿ ó÷àñòêà (ðèñ. 1.5.13).ÔóíêöèÿS(x)äëÿ ñîïëà Ëàâàëÿ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 1.5.13.
Ïîëàãàåì,êàê è ðàíåå, ýòó ôóíêöèþ çàäàííîé îíà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé ñîïëà è âîáëàñòèx < xêðâîçðàñòàþùåé.ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé, à ïðèx > xêð ìîíîòîííî90Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÐèñ. 1.5.13. Åìêîñòü ñ ñîïëîì ËàâàëÿÐèñ. 1.5.14. Çàâèñèìîñòü êîíñòàíòûQîò ïàðàìåòðàyÊàê è äëÿ ïðîñòîãî ñîïëà, ðàññìàòðèâàåì òå÷åíèå â ðàìêàõ îäíîìåðíîéìîäåëè ñ òàêèìè æå ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:x=0:ρ = ρ∗ ,p = p∗ ,θ == θ∗ ,x = xâûõ :ãäåxâûõv = v ∗ = 0,(1.5.69)0p = p = p0 , êîîðäèíàòà âûõîäíîãî ñå÷åíèÿ ñîïëà (âûõîäíîå ñå÷åíèå óæåíå ñîâïàäàåò ñ êðèòè÷åñêèì, ò. å. ìèíèìàëüíûì);p0 çàäàííîå äàâëåíèåâ îêðóæàþùåì åìêîñòü ãàçå, â îêðåñòíîñòè âûõîäíîãî ñå÷åíèÿ. Ðàâåíñòâîp0 = p0 ,êàê è â ñëó÷àå ïðîñòîãî ñîïëà, ÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì,è, âîîáùå ãîâîðÿ, â ïðèëîæåíèÿõ ìîæåò íå âûïîëíÿòüñÿ.Åñëè îíî òåì íå ìåíåå ïðèíÿòî, òî ãîâîðÿò, ÷òî ñîïëî ÿâëÿåòñÿ ðàñ÷åòíûì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîïëî íàçûâàþò íåðàñ÷åòíûì.Ðåøåíèå çàäà÷è îá óñòàíîâèâøåìñÿ îäíîìåðíîì òå÷åíèè â åìêîñòè ññîïëîì Ëàâàëÿ è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (1.5.69) îïðåäåëÿåòñÿ òåìè æå ïÿòüþôîðìóëàìè (1.5.37), (1.5.57) è (1.5.62), êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïî çàäàííûìρ∗ , p∗ , θ∗ , p0v(x), p(x), ρ(x) è θ(x).çíà÷åíèÿìè ôóíêöèèS(x)íàéòè êîíñòàíòóQè ÷åòûðå ôóíêöèèÏðîàíàëèçèðóåì ýòî ðåøåíèå â çàâèñèìîñòè îò îòíîøåíèÿ äàâëåíèéðàìåòðàyy = p0 /p∗ .çàâèñèò òîëüêî êîíñòàíòàÎò ïà-Q(ñì.(1.5.62)), ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè ïðèâåäåííà ðèñ.
1.5.14, à îòQïàðàìåòðè÷åñêè çàâè-ñèò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.5.57) ôóíêöèÿv(x, y) = v(S(x), Q(y)).Ðèñ. 1.5.15.óðàâíåíèÿÃðàôèêè(1.5.57)ïðèíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðàôóíêöèév(S , Q(y))Èçìåíÿÿ çíà÷åíèåyîòðåøåíèÿ1 äî 0, ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî ðåøåíèé óðàâíå-ðàçëè÷-y.0∗Åñëè y = y0 = 1 (ò.
å. p = p ), òî èç(1.5.62) èìååì Q0 = Q(y0 ) = 0, è ðåøåíèåìyâ âèäå(çàøòðèõîâà-íà îáëàñòü äîçâóêîâûõ ðåøåíèé)íèÿ (1.5.57) ïðè ðàçëè÷íûõóðàâíåíèÿ (1.5.57) ÿâëÿåòñÿ íóëåâàÿ ôóíêöèÿv(S , Q0 ) = 0 (ðèñ. 1.5.15). Óìåíüøàÿ çíà÷åíèå y îò 1 äî yêð (òî÷êè y1 , y2 ,y3 íà ðèñ. 1.5.14), ïîëó÷àåì, ÷òî çíà÷åíèå Q(y) âîçðàñòàåò, è, ñëåäîâàòåëüíî,91 1.5. Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññûv(S , Q) ñìåùàåòñÿ ââåðõ âäîëü îñèv(S , Q) îò Q, ñîãëàñíî (1.5.57),ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé), ýòî ôóíêöèè v(S , Q1 ), v(S , Q2 ), v(S , Q3 ).çíà÷åíèå y ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå yêð , òî Q(y) íà÷íåò óìåíüøàòüñÿðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.5.57) ôóíêöèÿOS(ðèñ.
1.5.15) (çàâèñèìîñòü ôóíêöèèÿâëÿåòñÿÅñëè(òî÷êày4ôóíêöèÿíà ðèñ. 1.5.14), à, ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.5.57) v(S , Q)íà÷íåò ñìåùàòüñÿ âíèçâäîëü îñèOS(ôóíêöèÿv(S , Q4 )).S(x) çàäàí, òî çíà÷åíèÿ S íà ãðàôèêå çàâèv(S , Q) òàêæå èçâåñòíû è ìåíÿþòñÿ íåïðåðûâíî â äèàïàçîíå îòS0 = S(x0 ) äî Sêð = S(xêð ), à çàòåì îò Sêð äî Sâûõ = S(xâûõ ).
Òîãäà ïî ýòîìóãðàôèêó v(S , Q) äëÿ âñåõ y íàõîäèì òå çíà÷åíèÿ v , êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþòçàäàííûì çíà÷åíèÿì S .  ðåçóëüòàòå, íàïðèìåð, çíà÷åíèÿ ôóíêöèè v(S , Q1 )ïðè S0 > S > Sêð è Sêð 6 S 6 Sâûõ îêàçûâàþòñÿ íà ëåâîé (äîçâóêîâîé) âåòâèðåøåíèÿ (ðèñ. 1.5.15), çíà÷èò ñêîðîñòü v ïðè ýòîì çíà÷åíèè y1 îêàçûâàåòñÿäîçâóêîâîé âî âñåì ñîïëå Ëàâàëÿ: êàê ïðè x < xêð , òàê è ïðè xâûõ > x > xêð .Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ïðè Sêð 6 S 6 Sâûõ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ víà ãðàôèêå v(S , Q1 ) óáûâàþò, òî ñêîðîñòü â ðàñøèðÿþùåéñÿ ÷àñòè ñîïëàÏîñêîëüêó ãðàôèê ôóíêöèèñèìîñòèóáûâàåò, à åå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ â êðèòè÷åñêîì ñå÷åíèè.y : y1 > y > yêð , ôóíêöèÿ v(S , Q(y)) ðàñïîëàãàåòñÿâûøå, ÷åì v(S , Q(y1 )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
