Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1.8.1.ÝòèÐàñïðîñòðàíåíèåïëîñêèõâîëí íà ôàçîâîé ïëîñêîñòèïðÿìûå åñòü íå ÷òî èíîå, êàê õàðàêòå-ðèñòèêè (ñì. ò. 2, ï. 2.3.14), îáùåå óðàâíåíèå êîòîðûõ äëÿ äàííîé çàäà÷èx = ±ba0 t + c. Çàøòðèõîâàííàÿðåøåíèå (ϕ − ϕ0 ) îòëè÷íî îò íóëÿèìååò âèäíà ðèñ. 1.8.1 îáëàñòü ýòî îáëàñòü,ãäå(âîçìóùåííàÿ îáëàñòü). Î÷åâèäíî,÷òî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíèt0 = b/ba0 ,âîçìóùåííàÿ îáëàñòüðàñïàäàåòñÿ íà äâå îòäåëüíûå îáëàñòè (äëÿ ýòèõ ìîìåíòîâ âðåìåíèíåðàâåíñòâà (1.8.11) è (1.8.12) íå èìåþò îáùèõ çíà÷åíèéx).t > t0Íà ïëîñêîñòè(x, ϕ − ϕ0 ) ïðè t > t0 òàêæå èìåþòñÿ äâå îáëàñòè íåíóëåâûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè (ϕ − ϕ0 ), íàçûâàåìûå ïðîãðåññèâíûìè (áåãóùèìè) âîëíàìè, ðàñïðîñòðàíÿþùèìèñÿ ïîñòóïàòåëüíî, âëåâî è âïðàâî, ñîîòâåòñòâåííî.
Ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòèõ âîëí, îïðåäåëÿåìûå êàê ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ îáëàñòèâîçìóùåíèé (ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òî÷åêâèädx/dt = ba0 ,ãäådx/dtAèBíà ðèñ. 1.8.1), î÷åâèäíî, èìåþò ýòî ïðîèçâîäíûå îò õàðàêòåðèñòèê (1.8.12).Àìïëèòóäà ïëîñêèõ âîëí, ò. å. ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèèïðè ôèêñèðîâàííîìt,ϕ(x, t)ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.8.5), îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé ïîñëåðàñïàäà âîçìóùåíèÿ íà äâå ñîñòàâëÿþùèå ïðèt > t0 .Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1.7.38á) è (1.7.40) ìîæíî âû÷èñëèòü äàâëåíèå= p − p0â ïëîñêîé âîëíå:∂ϕp − p0=−=ba0 (f10 (x − ba0 t) − f20 (x + ba0 t),ρ0∂tãäåp0 =1122ba01122ba0a0 t) −f10 (x − ba0 t) = h2 (x − bf20 (x + ba0 t) = h2 (x + ba0 t) +h1 (x − ba0 t),h1 (x + ba0 t).(1.8.13)122Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÅäèíñòâåííàÿ íåíóëåâàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ñêîðîñòèv 1 = ∂ϕ/∂x1âïëîñêîé âîëíå èìååò âèäv̄1 = f10 (x − ba0 t) + f20 (x − ba0 t).Åñëèf2 ≡ 0,òî èç (1.8.13) è (1.8.15) ïîëó÷àåìv̄1 =p0.ρ0 ba0(1.8.15à)1.8.3.
Ãàðìîíè÷åñêèå âîëíûÏóñòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (1.8.4) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òðèãîíîìåòðè÷åñêèåôóíêöèè âèäàãäåh0αèh00αhα = h0α cos àìïëèòóäû;ωωωx − h00α sin x,ba0ba0 ÷àñòîòà;ω/ba0α = 1, 2,(1.8.16) âîëíîâîå ÷èñëî.Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè (1.8.16) óäîáíî ïðåäñòàâèòü â êîìïëåêñíîéôîðìå (ñì. [?]):hα = Re(h∗α eiωx/ba ),(1.8.17)0ãäå êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû;äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòèReh∗α = h0α + ih00α√i = −1 ìíèìàÿåäèíèöà. Îïåðàöèþ âçÿòèÿâ ïðîìåæóòî÷íûõ âûêëàäêàõ ìîæíî îïóñêàòü èïðèìåíÿòü åå òîëüêî äëÿ ïîëó÷åíèÿ îêîí÷àòåëüíîãî âûðàæåíèÿ, ÷òî è áóäåòèñïîëüçîâàòüñÿ äàëåå.Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ (1.8.16) â (1.8.10), íàõîäèìx−bax+bZa´³ h∗ − h∗ /ba Z101eiωξ/ba dξ + (h∗2 + h∗1 /beiωξ/ba dξ + ϕ∗0 =ϕ(x, t) = Re 2a0 )00002³= Re2x012iωx0(h∗2 ba0 − h∗1 )eiω(x/ba0−t)+12iω(h∗2 ba0 + h∗1 )eiω(x/ba∗ iω(x/ba0 −t)= Re(ϕ1 eò. å.
ïîòåíöèàëϕ0+ ϕ∗2 eiω(x/ba0+t)+t)´+ϕe∗0 =+ϕe∗0 ),(1.8.18)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû äåéñòâèòåëü-íóþ ÷àñòü îò äâóõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ãäåϕ∗1 =i(h∗1 − h∗2 ba0 ),2ωϕ∗2 = −i(h∗1 + h∗2 ba0 )2ω(1.8.19) êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ïîòåíöèàëà.Ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (1.8.18) ñîîòâåòñòâóåò äâóì ãàðìîíè÷åñêèìâîëíàì, ðàñïðîñòðàíÿþùèìñÿ â ïîëîæèòåëüíîì è îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëå-íèÿõ îñèOx.123 1.8. Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìèÈç ôîðìóëû (1.8.13) ñëåäóåò, ÷òî ïåðåïàä äàâëåíèÿ òàêæå ïðåäñòàâëÿåòñîáîé äåéñòâèòåëüíóþ äâóõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé:¢¡p − p0= Re p∗1 eiω(x/ba −t) + p∗2 eiω(x/ba +t) ,ρ001p∗1 = iωϕ∗1 = (h∗2 ba0 − h∗1 ),2Äëÿ ñêîðîñòèv̄101p∗2 = −iωϕ∗2 = (h∗1 + h∗2 /ba0 ).2(1.8.20)ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:¡v̄1 = Re v1∗ eiω(x/ba0v1∗ =iωϕ∗1p∗= 1,ba0ba0−t)+ v2∗ eiω(x/bav2∗ =0+t)¢,iωϕ∗2p∗= − 2.ba0ba0(1.8.21)1.8.4.
Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿÐàññìîòðèì âîëíîâîå óðàâíåíèå (1.8.1) áåç íà÷àëüíûõ óñëîâèé (1.8.2), íîñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âèäàx1 = 0, x10 :v̄1 = ∂ϕ/∂x1 = 0,îçíà÷àþùèìè, ÷òî ñêîðîñòü ãàçà íà ïëîñêîñòÿõx1 = 0(1.8.22)èx1 = x10ðàâíà íóëþ(æåñòêàÿ ñòåíêà). Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.8.1) â ýòîì ñëó÷àå âíîâü ìîæíîèñêàòü â âèäå ôóíêöèèϕ(x)òîëüêî îäíîé êîîðäèíàòû. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíå-íèå (1.8.1) ñ óñëîâèÿìè (1.8.22) èìååò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå:ϕ = ϕ0 = const.Îäíàêî, ýòî íå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.8.1), (1.8.22). Áóäåì èñêàòüîòëè÷íîå îò íóëÿ ðåøåíèå â âèäå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèèϕ(x, t) = ϕ0 (x) cos ωt − ϕ00 (x) sin ωt = Re(ϕ∗ eiωt ),ωãäå(1.8.23) íåêîòîðîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé êîëåáàíèé èÿâëÿþùååñÿ â äàííîì ñëó÷àå íåèçâåñòíûì.Åñëè òàêîå òîæäåñòâåííî íåíóëåâîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.8.1), (1.8.22) ïðèîòñóòñòâèè âíåøíèõ âîçäåéñòâèé ñóùåñòâóåò, òî åãî íàçûâàþò ðåøåíèåì âôîðì ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé (èëè ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé), à ÷àñòîòóωâäàííîì ñëó÷àå íàçûâàþò ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé.Ïîäñòàâëÿÿ (1.8.23) â (1.8.1) è (1.8.22) è ðàçäåëÿÿ âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèåcos ωt è sin ωt, ïîëó÷àåì000ôóíêöèé ϕ (x) è ϕ (x):ïðèäâå îäèíàêîâûå çàäà÷è äëÿ íàõîæäåíèÿ äâóõω 2 0,00d2 ϕ0,00ϕ+=ba20dx2x = 0, x0 :0,dϕ0,00 /dx = 0,(1.8.24)124Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÑëåäîâàòåëüíî,ôóíêöèèϕ0èϕ00ìîæíî ñ÷èòàòüñîâïàäàþùèìè.Çàäà÷ó(1.8.24) íàçûâàþò çàäà÷åé íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Åå ðåøåíèå òàêæå èùåìâ ãàðìîíè÷åñêîì âèäå:ϕ0,00 (x) = ϕc cosãäåϕcèϕs³ ωx ´ba0³ ωx ´− ϕs sin,(1.8.26)ba0 ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû.Ïîäñòàâëÿÿ (1.8.25) â äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (1.8.24), ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îíè óäîâëåòâîðÿþòñÿ òîæäåñòâåííî ïðè ëþáûõϕcèϕs .Åñëè æåïîäñòàâèòü âûðàæåíèå (1.8.25) â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñèñòåìû (1.8.24), òî èçóñëîâèÿ¯ϕ0,00 ¯x=0 = 0ïîëó÷àåì, ÷òîϕs = 0,à èç âòîðîãî óñëîâèÿíàõîäèì óðàâíåíèå äëÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòûsinω:¯ϕ0,00 ¯x=x = 00ωx0= 0.ba0Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíîω(1.8.26)äàåò âûðàæåíèå äëÿ ñîáñòâåííûõ÷àñòîò:ωc = mπba0 /x0 ,m = 1, 2, 3, . .
. .(1.8.27)Òàêèì îáðàçîì, â äàííîé çàäà÷å èìååòñÿ äèñêðåòíûé íàáîð (ñïåêòð) ñîáñòâåííûõ ÷àñòîòω(1.8.27), à îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è (1.8.24) íà ñîáñòâåííûå³ ωx ´ϕ0 (x) = ϕ00 (x) = ϕc cos.çíà÷åíèÿ èìååò âèä(1.8.28)ba0Ïîäñòàâëÿÿ (1.8.28) â (1.8.23), ïîëó÷àåì ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå äëÿïîòåíöèàëà³ ωx ´³ ωx ´ϕ(x, t) = ϕc cos(cos ωt − sin ωt) = ϕ̄c coscos(ωt + χ),ba0ba0√√ãäå χ óãîë ñäâèãà ôàçû: cos χ = 1/ 2 , ϕ̄c =2 ϕc .Äëÿ ñêîðîñòè v̄1 è äàâëåíèÿ p ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé èìååì³ ωx ´∂ϕϕ̄ ωv̄1 == − c sincos(ωt + χ),∂xba0ba0³ ωx ´p − p0∂ϕ=−= ϕ̄c ω cossin(ωt + χ).ρ0∂tba0(1.8.29)(1.8.30)Ðåøåíèå â ôîðìå (1.8.29), (1.8.30) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòîÿ÷óþ âîëíó.
 îòëè÷èå îòáåãóùèõ (ïðîãðåññèâíûõ) âîëí, ðàññìîòðåííûõ â ï. 1.8.2, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéðåøåíèÿ, çàâèñÿùèå îò ðàçíîñòè è ñóììû àðãóìåíòîâ(x/ba0 ) − tè(x/ba0 ) + t,äëÿ ñòîÿ÷èõâîëí çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò êîîðäèíàòû èÐèñ. 1.8.2. Ñòîÿ÷àÿ âîëíà ñ óçëàìè(•) è ïó÷íîñòÿìè (×) ñêîðîñòèâðåìåíè ðàçäåëÿåòñÿ. Ñëåäñòâèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî â ñòîÿ÷åé âîëíå âñå 1.8. Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìè125(ωt + χ), áîëååx = mπba0 /ω (m = 0, 1, 2, . . .).ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ñðåäû êîëåáëþòñÿ â îäíîé è òîé æå ôàçåòîãî, êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (1.8.30), â òî÷êàõÑêîðîñòüâðåìåíèv̄1t.äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê âñåãäà ðàâíà íóëþ â ëþáîé ìîìåíòÒàêèå òî÷êè íàçûâàþò óçëàìè ñêîðîñòè, à ðàñïîëîæåííûå ìåæäóx=íèìè òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìèπba0(m +ω12) (m =0, 1, 2, . . .), â êîòîðûõñêîðîñòü âñåãäà èìååò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå, íàçûâàþò ïó÷íîñòÿìè âîëíû.Äëÿ óçëîâ è ïó÷íîñòåé äàâëåíèÿp0 = p − p0 ,î÷åâèäíî, óêàçàííûå êîîð-äèíàòû ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè.1.8.5.
Ñôåðè÷åñêèå âîëíûhα (x) çàâèñÿò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ r = |x − x0 | äî íåêîx0 , à a = er áàçèñíûé ðàäèóñ-âåêòîð ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìûöåíòðîì â òî÷êå x0 , òî èìååì ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿÅñëè ôóíêöèèòîðîé òî÷êèêîîðäèíàò ñ(1.7.36):∂ϕ= h1 (r),∂tt=0:∂ϕ= h2 (r).∂r(1.8.31)Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.8.1) â ýòîì ñëó÷àå èùåì â âèäå ñôåðè÷åñêîé âîëíû:ϕ(r, t) =1r(f1 (r − ba0 t) + f2 (r + ba0 t)) .(1.8.32)Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ñì. ò. 1, óïð. 10 ê 2.6), ïîëó÷àåì∆ϕ =1r2³∂∂ϕr2∂r∂rà òàêæåµ´=1rd2 fd 2 f1+ 222dξ1dξ2∂ϕba2= 0∂trµ¶ξ1,2 = r ∓ ba 0 t,,d2 f1d2 f2+dξ12dξ22(1.8.33)¶.(1.8.34)Ïîäñòàâëÿÿ (1.8.33) è (1.8.34) â (1.8.1) ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýòîóðàâíåíèå òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿåòñÿ.Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèÿ (1.8.32) â íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (1.8.31) ïðèâîäèò êñèñòåìå óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ôóíêöèéfα (r): df− 1 (r) + df2 (r) = rh1 (r) ,dr³dr´ ba0f1 (r) + f2 (r)d= h (r),dr2rðåøàÿ êîòîðóþ, íàõîäèìf2 (r) =rZrh2 (r0 ) dr0 +201Zrh1 (r0 )r0 dr0 + c2 r + c1 ,2ba00(1.8.35)126Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûf1 (r) =rZr010h2 (r ) dr −2c1èc2h1 (r0 )r0 dr0 − c1 + c2 r,2ba00ãäåZr(1.8.36)0 ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Òîãäà äëÿ ïîòåíöèàëàϕèìååìñëåäóþùóþ ôîðìóëó:r+ba0 tϕ(r, t) =2rr+bZa0 tr−ba0 th2 (r )dr +2r0r−bZa0 t0h2 (r0 )dr0 −00−r+bZa0 t1h1 (r0 )r0 dr0 + ϕ0 .2ba0 r(1.8.37)r−ba0 tÅñëè ôóíêöèèhα (r)îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî íà êîíå÷íîì ïðîìåæóò-êå, òî èç ôîðìóëû (1.8.37) ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòüîòëè÷íà îò íóëÿ ïðèt>ϕ(r, t) − ϕ0áóäåò òàêæå0 òîëüêî â íåêîòîðîé êîíå÷íîé îáëàñòè, ïðè÷åì,íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíèt0 ,êàê è â ñëó÷àå ïëîñêèõ âîëí,áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ äâå âîëíû îäíà ñõîäÿùàÿñÿ ê öåíòðó, à âòîðàÿ ðàñõîäÿùàÿñÿ îò öåíòðàr = 0. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòèõ âîëí òàêæåba0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
