Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèÇäåñüba2ïîëàãàåì âûðàæåííîé ÷åðåç∂ρ/∂tϕèïî ôîðìóëå (1.7.18).Óðàâíåíèå (1.7.19) ÿâëÿåòñÿ êâàçèëèíåéíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèç-ϕ (îíî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì∇ ⊗ ∇ϕ). Ïîñëå ðåøåíèÿ óðàâ-âîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïîòåíöèàëàîòíîñèòåëüíî ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõíåíèÿ (1.7.19) ôóíêöèþ äàâëåíèÿP∂ ϕ/∂t2èíàõîäèì èç èíòåãðàëà Êîøè Ëàãðàíæà(1.7.14).1.7.5. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿÊ óðàâíåíèþ (1.7.19) ïðèñîåäèíÿåì ãðàíè÷íûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.
Íàïîâåðõíîñòè òâåðäîãî òåëà ñòàâÿò îáû÷íîå óñëîâèå íåïðîíèöàåìîñòè (1.2.60),êîòîðîå â äàííîé çàäà÷å ïðèíèìàåò âèä∂ϕ ¯¯=∂n Σãäå∂ϕ/∂n = n · ∇ϕ(1.7.21)0, íîðìàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ.V,Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íåîãðàíè÷åííàÿ îáëàñòüòî íà áåñêîíå÷íîñòèv∞ :¯∇ϕ¯∞ = v∞ .îáû÷íî çàäàþò ñêîðîñòü æèäêîñòè(1.7.22)Âàæíûì äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòèΣíåñæèìàåìîé òÿæåëîé æèäêîñòè, êîãäà íàΣñòàâÿò ãðàíè÷íîåóñëîâèå (1.2.30):p = pe = const,(1.7.23)ïîâåðõíîñòíûìè ýôôåêòàìè ïðè ýòîì îáû÷íî ïðåíåáðåãàþò. Äëÿ òîãî, ÷òîáûâûðàçèòü ýòè óñëîâèÿ ÷åðåç ïîòåíöèàë, ïîäñòàâèì ýòî óñëîâèå â èíòåãðàëÊîøè Ëàãðàíæà (1.7.7), ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè◦= p/ρ:◦µρ∂ϕ(∇ϕ)2++ gΣ (x − xΣ ) · nΣ∂t2¶+ pe = 0.(1.7.24)Çäåñü ó÷òåíî âûðàæåíèå (1.4.13) äëÿ ìàññîâûõ ñèë òÿæåñòèñèðîâàííûé âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè ÇåìëèxΣP =Σ3χ; nΣ ôèê-(èëè èíîé ïëàíåòû); òî÷êà, ïîëó÷åííàÿ ïðîåêöèåé ðàññìàò-ðèâàåìîéòî÷êèxñâîáîäíîéæèäêîñòè íà ïîâåðõíîñòüΣ3ïîâåðõíîñòèïî íîðìàëènΣ(ðèñ.
1.7.1).Äèôôåðåíöèðóÿóðàâíåíèåt ïîëíûì îáðàçîìdx/dt = v = ∇ϕ, èè(1.7.24)ó÷èòûâàÿ,ïî÷òîÐèñ. 1.7.1. Ê îïðåäåëåíèþ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíî-d ∂ϕ∂∂2ϕ= 2 + ∇ϕ · ∇ϕ,dt ∂t∂t∂tñòè(1.7.25)116Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè:∂2ϕ∂+ |∇ϕ|2 = −gΣ ∇ϕ.2∂t∂tΣ:(1.7.26)Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (1.7.19) çàäàäèì â âèäåh1 (x)ãäåè∂ϕ= a · ∇ϕ(x, 0) = h2 (x),∂a∂ϕ(x, 0) = h1 (x),∂tt=0:h2 (x) çàäàííûå ôóíêöèè;a(1.7.27) ôèêñèðîâàííûé âåêòîð.Ôèçè÷åñêèé ñìûñë íà÷àëüíûõ óñëîâèé (1.7.27) ëåãêî óñìîòðåòü èç ôîðìóë(1.7.7): ôóíêöèÿ h1 ýòî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëà è ôóíêöèè äàâëåíèÿ (χ −− P(x, 0)), çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ïðåäïîëàãàåì çàäàííûìè â ìîìåíò âðåìåíè t == 0.
Ôóíêöèÿ h2 (x) ýòî çàäàííîå çíà÷åíèå ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòèv(x, 0) íà ôèêñèðîâàííîå íàïðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå âåêòîðîì a ïðè t = 0,ò. å.h1 (x) = χ − P(x,0),h2 (x) = a · v(x,0).(1.7.28)Êðîìå óñëîâèé (1.7.27) äëÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äîëæíî áûòü çàäàíîçíà÷åíèå ïîòåíöèàëà â îäíîé òî÷êåx0ïðèt = 0:ϕ(x0 , 0) = ϕ0 .(1.7.29)1.7.6. Îñíîâíûå ìîäåëè ïîòåíöèàëüíûõ òå÷åíèéÓðàâíåíèå (1.7.19) äîñòàòî÷íî ñëîæíîå äëÿ ðåøåíèÿ äàæå ÷èñëåííîãî,ïîýòîìó âàæíóþ ðîëü èãðàþò ÷àñòíûå ìîäåëè ïîòåíöèàëüíûõ äâèæåíèéæèäêîñòè, ïðèâîäÿùèå ê óïðîùåíèþ ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïåðå÷èñëèì òàêèåíàèáîëåå øèðîêî èñïîëüçóåìûå ìîäåëè.1. Óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå ñîâåðøåííîãî ñæèìàåìîãî ãàçà.
 ýòîéìîäåëè ïîëàãàþò∂ϕ/∂t =ïðèíèìàåò âèäãäå òåíçîðAè0 è∂P/∂t =0,χ=0, òîãäà óðàâíåíèå (1.7.19)A(∇ϕ) · · ∇ϕ ⊗ ∇ϕ = 0,bañîãëàñíî (1.7.18) â ýòîì ñëó÷àå çàâèñÿò òîëüêî îòA(∇ϕ) = ba(|∇ϕ|)E − ∇ϕ ⊗ ∇ϕ.Äåòåðìèíàíò òåíçîðàA,(1.7.30)∇ϕ:(1.7.31)ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ò. 1, óïð. 15 ê 2.1, èìååòâèädetA = det (ba2 δji − v i vj ) = 6a4 (a2 − |v|) = 6a6 (1 − M 2 ),(1.7.32)M = |v|/a. çàâèñèìîñòè îò çíàêà äåòåðìèíàíòà, óðàâíåíèå (1.7.19) èìååò ðàçëè÷íûé òèï: ïðè detA > 0 (M < 1 äîçâóêîâîé ðåæèì) óðàâíåíèå (1.7.19) èìååòA < 0 (M > 1 ñâåðõçâóêîâîå äâèæåíèå ãàçà)ýëëèïòè÷åñêèé òèï, ïðè det117 1.7.
Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèóðàâíåíèå (1.7.19) èìååò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï, à ïðè detA=0 (M=1 çâóêîâîå äâèæåíèå ãàçà) ïàðàáîëè÷åñêèé òèï.2. Èçîòåðìè÷åñêîå äâèæåíèå ñîâåðøåííîãî ñæèìàåìîãî ãàçà.  ðàìêàõýòîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàþò çàäà÷è ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ âîëí (çàäà÷èàêóñòèêè) è ìíîãèå äðóãèå çàäà÷è.Åñëè ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ èçîòåðìè÷åñêèì, ò. å.θ = θ0 = const,òî êàê áûëîóêàçàíî â ï.
1.3.4, ñîâåðøåííûé ãàç ÿâëÿåòñÿ áàðîòðîïíûì â óçêîì ñìûñëå,p = ρRθ0 ,ôóíêöèÿ äàâëåíèÿ èìååò âèä (1.5.10):P = Rθ0p,pílnà ñêîðîñòü çâóêà (1.7.11) ïîñòîÿííà:ba=Òîãäà òåíçîðApRθ0 = ba0 = const.(1.7.20) çàâèñèò òîëüêî îò∇ϕ:20A(∇ϕ) = A0 (∇ϕ) = ba E − ∇ϕ ⊗ ∇ϕ,(1.7.33)è óðàâíåíèå (1.7.19) íåñêîëüêî óïðîùàåòñÿ îíî ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíûìîòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè, íî îñòàåòñÿ íåëèíåéíûì îòíîñèòåëüíîïðîèçâîäíûõ ïî êîîðäèíàòàì.Åñëè äâèæåíèå ãàçà, êðîìå òîãî, ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâèâøèìñÿ, òî∂ϕ/∂t = 0,A0è óðàâíåíèå (1.7.19) ïðèíèìàåò âèä (1.7.30), íî ñ áîëåå ïðîñòûì òåíçîðîì(1.7.33):A0 (∇ϕ) · · ∇ϕ ⊗ ∇ϕ = 0.(1.7.34)3. Èçîòåðìè÷åñêîå äâèæåíèå ñæèìàåìîãî ãàçà, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîéìàëûå âîçìóùåíèÿ íåêîòîðîãî èçâåñòíîãî ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ.  ýòîì ñëó÷àåïðåäïîëàãàåì, ÷òîχ=0èρ = ρ0 + ρ0ϕ = ϕ0 + ϕ0 ,(1.7.35)ãäå ρ0 , v0 èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ñîñòîÿíèþ ïîêîÿ ñ v0 == 0: ρ0 = const, ϕ0 = const; ρ0 è ϕ0 ìàëûå âîçìóùåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèåóñëîâèÿì|ρ0 |/ρ0 ¿ 1,|ϕ0 |/ϕ0 ¿ 1.Êðîìå òîãî, ïîëàãàåì, ÷òî ñêîðîñòü âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ãàçà(1.7.36)vòàêæåìàëà, â òîì ñìûñëå, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ|v|¿ba0ãäåba0 = a(ρ0 )1è|v|2¿|∂ϕ/∂t|1,(1.7.37) ñêîðîñòü çâóêà â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ. ñèëó ìàëîñòè âîçìóùåíèé, íåëèíåéíûå ñîîòíîøåíèÿ ñ èõ ó÷àñòèåììîæíî ëèíåàðèçîâàòü:ba(ρ) = ba(ρ0 + ρ0 ) ≈ ba0 + a0 ,|a0 | ¿ ba0 ,118Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûp(ρ) = p(ρ0 + ρ0 ) ≈ p0 + p0 ,ãäåp0 = p(ρ0 ),Ïîëàãàÿ â âûðàæåíèè (1.7.9)p0Z+p0P(p0 + p0 ) =p0 =pí = p0 ,|p0 | ¿ p0 ,(1.7.38)∂p(ρ )ρ0 = a20 ρ0 .∂ρ 0ëèíåàðèçóåì ôóíêöèþ äàâëåíèÿ:dep∂P= P(p0 ) +(p )p0 = P0 + P 0 ,ρ(ep)∂p 0(1.7.38à)p0ãäåP 0 = p0 /ρ0 .P(p0 ) = 0,(1.7.38á) ñèëó óñëîâèÿ (1.7.37), ìîæíî ëèíåàðèçîâàòü è ñàìó ñèñòåìó (1.7.13),(1.7.14):∂p0+ ∆ϕ0 =ρ0 ba ∂t∂ϕ0p0+= 0.∂tρ0120(1.7.39)0,(1.7.40)Ïîäñòàâëÿÿ (1.7.40) â (1.7.39), ïîëó÷àåì âîëíîâîå óðàâíåíèå:∂ 2 ϕ0=ba0 ∆ϕ0 .2∂t(1.7.41)Ñâîéñòâà ýòîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ áóäóò ðàññìîòðåíû â 1.8.4. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé îäíîðîäíîé æèäêîñòè.
Âðàìêàõ ýòîé ìîäåëè îïèñûâàþò äâèæåíèå æèäêîñòè ïðè ïåðåìåùåíèè â íåéòâåðäûõ òåë, çàäà÷è î ïîâåðõíîñòíûõ âîëíàõ â æèäêîñòè, çàäà÷è î ñòðóéíûõäâèæåíèÿõ æèäêîñòè è ìíîãèå äðóãèå.ρ = ρ0 = const, ôóíêöèÿ äàâëåíèÿ èìååò◦P = p/ρ, è âìåñòî óðàâíåíèÿ (1.7.13), òàê êàê dρ/dt = 0, èç (1.7.6) ñëó÷àå íåñæèìàåìîé æèäêîñòèâèä (1.5.11)ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Ëàïëàñà:∆ϕ = 0äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà ñêîðîñòè(1.7.42)ϕ.Óðàâíåíèå (1.7.14) â ýòîì ñëó÷àå ïîçâîëÿåò ëåãêî íàéòè ôóíêöèþäàâëåíèåp:´³◦◦1∂ϕ− (∇ϕ)2 .p = ρP = ρ χ −∂t2Pè(1.7.43)Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 1.7.1 (ñì.
ï. 1.7.3), â èíòåãðàëå Êîøè Ëàãðàíæà, à,ñëåäîâàòåëüíî, è â ôîðìóëå (1.7.43), äîëæíà ïðèñóòñòâîâàòü ôóíêöèÿ∂ ϕ/∂te ,äëÿ êîòîðîé ìû óñëîâèëèñü îïóñêàòü ÷åðòó è êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîéïðîèçâîäíîé∂ϕ/∂tòîëüêî ôóíêöèåé âðåìåíèf (t).119 1.8. Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìèÂîññòàíàâëèâàÿ òèëüäó íàäϕâ ôîðìóëå (1.7.43), ñ ó÷åòîì (1.7.4) ïîëó÷à-åì ôîðìóëó äëÿ äàâëåíèÿ:³´◦∂ϕ1p=ρ χ+f −− (∇ϕ)2 .∂t(1.7.44)2Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (1.7.42) ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷èòü èç(1.7.13), åñëè ó÷åñòü, ÷òî äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè:→ ∞,àdρ = 0èa2 = dp/dρ →|dP/dt| < ∞.Ñâîéñòâà óðàâíåíèÿ (1.7.42) áóäóò ðàññìîòðåíû â 1.9.5. Îäíîìåðíûå íåóñòàíîâèâøèåñÿ àäèàáàòè÷åñêèå äâèæåíèÿ ñîâåðøåí-p, ρ è v çàâèñÿò òîëüêî îòx, è âðåìåíè. Ê ýòîìó êëàññó îòíîñèòñÿ è çàäà÷à ýòîì ñëó÷àå âñå ïàðàìåòðû ãàçàíîãî ãàçà.îäíîé êîîðäèíàòû, íàïðèìåð,îá àâòîìîäåëüíîì ðåøåíèè Ðèìàíà, ðàññìîòðåííàÿ â ò. 2, ï.
2.3.13, à òàêæåçàäà÷è î äâèæåíèè ãàçà ñ öèëèíäðè÷åñêèìè è ñôåðè÷åñêèìè âîëíàìè. 1.8. Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìè1.8.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è äëÿ ïîòåíöèàëà â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòèÐàññìîòðèì ìîäåëü èçîòåðìè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ñæèìàåìîãî ãàçà ñ ìàëûìèâîçìóùåíèÿìè (ñì. ï. 1.7.6).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïîòåíöèàëàϕ(x, t)èìååìâîëíîâîå óðàâíåíèå (1.7.41), â êîòîðîì∂2ϕ=ba20 ∆ϕ.∂t2Çäåñüba0 = const,(1.8.1)çíàê øòðèõà íàä ôóíêöèÿìè äàëåå îïóñêàåì.Èññëåäóåì ñâîéñòâà ýòîãî óðàâíåíèÿ â èäåàëèçèðîâàííîé áåñêîíå÷íîéñïëîøíîé ñðåäå, ò. å. âî âñåì ïðîñòðàíñòâåE3aáåç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, çàäàâëèøü íåêîòîðîå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (1.7.27):t=0:∂ϕ(x, 0) = h1 (x),∂t∂ϕ= a · ∇ϕ(x, 0) = h2 (x),∂aϕ(x, 0) = ϕ0 ,ãäåh1 (x)èh2 (x) çàäàííûå ôóíêöèè;a(1.8.2)(1.8.3) íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûéâåêòîð. çàâèñèìîñòè îò âèäà ôóíêöèéψ(x, t)èhα (x)âîçìîæíû ðàçëè÷íûåðåøåíèÿ çàäà÷è (1.8.1), (1.8.2). Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî êëàññè÷åñêèõ ñëó÷àåâ.1.8.2.
Ïëîñêèå âîëíûÏóñòüψ ≡ 0, à ôóíêöèè hα (x) çàâèñÿò òîëüêîx0 ≡ x, òîãäà íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (1.8.2)íàïðèìåð, îòîò îäíîé êîîðäèíàòû,ïðèa = ē1ïðèíèìàþò120Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûâèä∂ϕ= h1 (x),∂tt=0:∂ϕ= h2 (x).∂x(1.8.4)Ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (1.8.1) â ýòîì ñëó÷àå èùåì â âèäå (ïëîñêîéâîëíû):ϕ(x, t) = f1 (x − ba0 t) + f2 (x + ba0 t),ãäåfα (ξα )(1.8.5) ïðîèçâîëüíûå äâàæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèèñâîèõ àðãóìåíòîâ:ξ1 = x − ba0 t, ξ2 = x + ba 0 t.∆ϕ, âûðàæåííûéÂû÷èñëÿÿ îïåðàòîð Ëàïëàñàâ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ(ñì. ò. 1, óïð.
10 ê 2.6), îò ôóíêöèè (1.8.5), ïîëó÷àåì∆ϕ =∂2ϕd2 fd2 f= 21 + 22 .2∂xdξ1dξ2(1.8.6)Äâóêðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè (1.8.5) ïî∂2ϕ=ba20∂t2µ¶d2 f1d2 f+ 222dξ1dξ2täàåò.(1.8.7)Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (1.8.6) è (1.8.7) â (1.8.1), óáåæäàåìñÿ, ÷òî âîëíîâîåóðàâíåíèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ òîæäåñòâåííî.Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå (1.8.5) â íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (1.8.2), ïîëó÷àåì ñèñòå-fα :− df1 (x) + df2 (x) = h1 (x) ,ìó äâóõ óðàâíåíèé äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèédxdxba0(1.8.8) df1 (x) + df2 (x) = h (x),2dxdxðåøàÿ êîòîðóþ, íàõîäèìf2 (x) =Zx ³12x0ãäåc1c2è´h1+ h2 dξ + c2 − c1 ,ba0f1 (x) =Zx ³1h2 −2x0 íåêîòîðûå êîíñòàíòû èíòåãðèðîâàíèÿ;h1ba0´dξ + c1 , (1.8.9)x0 ≡ x10 .Ïîäñòàâëÿÿ (1.8.9) â (1.8.5) è (1.8.3), íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿϕ(x, t) =1x−bZa0 t(h2 (ξ) −2x0ïðè÷åìc2 = ϕ0 .1ba0h1 (ξ))dξ +1x+bZa0 t(2x01ba0ϕ(x, t):h2 (ξ) + h2 (ξ))dξ + ϕ0 ,(1.8.10)Ôîðìóëà (1.8.10) íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Äàëàìáåðà.Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðåøåíèÿ (1.8.10).hα (ξ) îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî íà íåêîòîðîìx1 − b 6 ξ 6 x1 + b (ïîëàãàåì, ÷òî x0 < x1 − b), òîãäà èç (1.8.10)÷òî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ (ϕ(x, t) − ϕ0 ) â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíèÏîëîæèì, ÷òî ôóíêöèèïðîìåæóòêåñëåäóåò,121 1.8.
Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìèt>0 òàêæå áóäåò îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî íà êîíå÷íîé îáëàñòè: ïåðâûéèíòåãðàë â (1.8.10) áóäåò îòëè÷åí îò íóëÿ ïðè âñåõx,óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèþx1 − b 6 x − ba0 t 6 x1 + b,àâòîðîéx,ïðè(1.8.11)óäîâëåòâîðÿþùèõóñëîâèþx1 − b 6 x + ba0 t 6 x1 + b.Íà ôàçîâîé ïëîñêîñòèîïðåäåëÿåìûåè(1.8.12),ëîñû,(1.8.12)(x, t)íåðàâåíñòâàìèïðåäñòàâëÿþòçàêëþ÷åííûåx=ba0 t + x1 ± bèîáëàñòè,(1.8.11)ñîáîéìåæäóïî-ïðÿìûìèx = −ba0 t + x1 ± b.Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
