Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Èñïîëüçóÿ ìåòîä ðåøåíèÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ (1.8.1), èçëîæåííûéâ ï. 1.8.4, ïîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé æèäêîñòè â ñîñóäåV1 ,èìåþùåì ôîðìó ïàðàëëåëåïèïåäà ñ äëèíàìè ñòîðîíñëåäóþùåé ôîðìóëîé (ñðàâíèòå ñ (1.8.27)):ω2 = π2ba203Xα=1ãäåmα ïðîèçâîëüíûå öåëûå ÷èñëà.(mα lα )2 ,lα (α = 1, 2, 3),âûðàæàþòñÿ132Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÓïðàæíåíèå 2. Ïîêàçàòü, ÷òî ãàðìîíè÷åñêàÿ (ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ, ò.
å. ñîîòâåòñòâóþùàÿ îäíîé ÷àñòîòå) ñôåðè÷åñêàÿ âîëíà, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1.8.1) èçàâèñÿùàÿ òîëüêî îòrèt,èìååò âèäϕ(r, t) =1r³sin´¡¢ωrRe ϕ∗0 e−iωt .ba0 1.9. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿíåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè1.9.1. ×àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ËàïëàñàÐàññìîòðèì åùå îäèí âàæíûé êëàññ ïîòåíöèàëüíûõ äâèæåíèé èäåàëüíîéæèäêîñòè, óïîìèíàâøèéñÿ â ï. 1.7.6, äâèæåíèå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
Âï. 1.7.6 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïîòåíöèàëà ñêîðîñòè ïîëó÷àåìóðàâíåíèå Ëàïëàñà∆ϕ = 0.(1.9.1)Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ, èãðàþùèå âàæíóþ ðîëü â ìåõàíèêå æèäêèõ ñðåä.1. Ïðèìåðîì ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå ôóíêöèèϕ(x) = ϕ0 + a · x.(1.9.2)2. Ðàíåå (ñì. ò. 1, ôîðìóëó (2.5.7á)) áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ëàïëàñèàí ôóíêöèè 1/(|x− x0 |)ñîäåðæàùåé øàðäàåò íóëü, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ â ëþáîé îáëàñòèV,íåUr0 (x0 ),ϕ(x) = Q/r,r = |x − x0 |(1.9.3)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé è íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì èñòî÷íèêà, ãäåQ = const; ïðè Q < 0 ïîòåíöèàë (1.9.3) íàçûâàþò òàêæå ïîòåíöèàëîì ñòîêà.3.
Ïîñêîëüêó îïåðàòîð Ëàïëàñà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, òî ñóììèðîâàíèåì èäèôôåðåíöèðîâàíèåì ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé ñíîâà ïîëó÷àåì ãàðìîíè÷åñêèåôóíêöèè. Òàê ôóíêöèÿϕ(x) = c∂∂a³1´r1= ca · ∇ = −rca · (x − x0 )r3(1.9.4)òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé è íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì òî÷å÷íîãî äèïîëÿâïðîñòðàíñòâåáàçèñíûå âåêòîðû(ãäåēα ,c=const). Âûáèðàÿ â (1.9.4) â êà÷åñòâå âåêòîðàaïîëó÷àåì, ÷òî ôóíêöèèϕα (x) = c∂∂xα³1´r=−c(xα − xα)03ròàêæå ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè âî âíåøíîñòè øàðàUr (x0 ).(1.9.5)133 1.9. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè4. Ìíîãîêðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèè 1/r ïðèâîäèò ê ïîòåíöèàëó ìóëüòèïîëÿ:ϕ(x) = c∂ ∂∂a1 ∂a2...∂∂an³1´r∂= aα · ∇,∂an,(1.9.6)êîòîðûé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé âî âíåøíîñòè øàðàUr (x0 ).5.
Ñîãëàñíî äîêàçàííîé âûøå òåîðåìå ***, îáúåìíûé ïîòåíöèàë âòîðîãîðîäà (èëè ïåðâîãî ðîäà, èëè Íüþòîíîâ, èëè ïîòåíöèàë îáúåìíîãî ðàñïðåäå-Zëåíèÿ èñòî÷íèêîâ)ξ(x)dV ,rϕ(x0 ) =x0 ∈/ V,(1.9.7)Vïî âñÿêîé îáëàñòèòî÷êóx0 ,V(îãðàíè÷åííîé èëè íåîãðàíè÷åííîé), íî íå ñîäåðæàùåé∆ϕ(x0 ) = 0 è ÿâëÿåòñÿV , ò. å. â V1 = E3a \ V .óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà÷åñêîé ôóíêöèåé âî âíåøíîñòè îáëàñòèãàðìîíè-1.9.2. Ïîòåíöèàë ïðîñòîãî è äâîéíîãî ñëîåâ(1/r) ðàñïðåäåëÿòü íå â îáëàñòè V , à ïî ïîâåðõíîñòè ΣV , òî ïîëó÷èì ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàëZξ(r)ϕ(x0 ) =dΣ,r = |x − x0 |, x0 ∈/ Σ,(1.9.8)Åñëè èñòî÷íèêîãðàíè÷åííîé îáëàñòèrΣíàçûâàåìûé ïîòåíöèàëîì ïðîñòîãî ñëîÿ.ΣÅñëè ïî ïîâåðõíîñòèZϕ(x0 ) =ξ(x)∂∂nðàñïðåäåëÿòü äèïîëèZ³1´dΣ =rΣξ(x)n(x) · ∇x∂∂n³1´³1´rr, òî èìååìdΣ,x0 ∈/ Σ,(1.9.9)Σ ïîòåíöèàë äâîéíîãî ñëîÿ.Ïîòåíöèàëû ïðîñòîãî è äâîéíîãî ñëîÿ ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âíå ïîâåðõíîñòèΣ,íå èìåþò îñîáåííîñòåé è ëàïëàñèàí(òîãäà ïîñêîëüêóÒåîðåìà 1.9.1.∆x0³1´rÂñÿêàÿx0 ∈/Σïîñêîëüêó ïðè= 0,∆x0ìîæíî âíîñèòü ïîä çíàê èíòåãðàëàïîëó÷àåì, ÷òîãàðìîíè÷åñêàÿèíòåãðàëû (1.9.8) è (1.9.9)â∆x ϕ(x0 ) = 0).0îãðàíè÷åííîéæäû íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ â çàìûêàíèèVîáëàñòèôóíêöèÿϕ(x0 )V,äâà-ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû ïîòåíöèàëîâ ïðîñòîãî è äâîéíîãî ñëîåâ:ϕ(x0 ) = −1Z4πΣãäåΣ11∂ϕ(x) dΣ −∂nr4πZϕ(x0 )∂∂nΣ ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü îáëàñòèV.³1´rdΣ,∀x0 ∈ V ,(1.9.10)134Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûHÓñëîâèÿ ýòîé òåîðåìû, íàëîæåííûå íà ôóíêöèþϕ(x0 )ïðèìåíèòü êϕ(x0 )ϕ(x0 ),ïîçâîëÿþòîáîáùåííóþ ôîðìóëó Ãðèíà (ò. 1, (3.6.24)). Ïîñêîëüêó ãàðìîíè÷åñêàÿ âV,∆ϕ = 0,òîè â ôîðìóëå (ò. 1, (3.6.24)) îñòàþòñÿòîëüêî äâà ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëà, ñóììà êîòîðûõ â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñïðàâîé ÷àñòüþ âûðàæåíèÿ (1.9.10).N1.9.3. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèèÒåîðåìà 1.9.2.Çíà÷åíèå âñÿêîé ãàðìîíè÷åñêîé âVôóíêöèèϕ(x0 )â äàí-x0 ∈ V ðàâíî ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ýòîé ôóíêöèè ïî ïîâåðõíîñòèΣr (x0 ) ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 , âëîæåííîé â V :Z1ϕ dΣ.(1.9.11)ϕ(x0 ) =2íîé òî÷êåëþáîé ñôåðû4πrΣr (x0 )HÏîñêîëüêó ôóíêöèÿϕ ãàðìîíè÷åñêàÿ âV,òî, ïðèìåíÿÿ ê íåéôîðìóëó Ãàóññà (ò. 1, (3.5.28)), ïîëó÷àåìZ∂ϕdΣ =∂nΣZ∆ϕ dV = 0.(1.9.12)VÂûáåðåì â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòèΣñôåðóΣr (x0 ),òîãäà ïîâåðõíîñòíûéèíòåãðàë ïî ñôåðå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå äâîéíîãî èíòåãðàëà:ZZ Zπ2π∂ϕdΣ = r2∂nΣr (x0 )sin ϑ0∂ϕdφdϑ =∂r0Z Zπ2π∂=r∂r2∂ϕ sin ϑ dφdϑ = r∂rZ20ϕ dΣ = 0.(1.9.13)Σr (x0 )0ZÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òîϕ dΣ = C = const.(1.9.14)Σr (x0 )ÊîíñòàíòàCíå çàâèñèò îò ðàäèóñà ñôåðûñîõðàíèòñÿ, åñëèrΣr (x0 ),ïîýòîìó ðàâåíñòâî (1.9.14)óñòðåìèòü ê íóëþ:Zϕ dΣ = 4πr2 ϕ(x0 ) = C.limr→0(1.9.15)Σr (x0 )Âûðàæàÿ(1.9.11).îòñþäàNêîíñòàíòóC,äåéñòâèòåëüíî,ïðèõîäèìêñîîòíîøåíèþ135 1.9.
Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòèÑëåäñòâèåì ýòîé òåîðåìû ÿâëÿåòñÿ âàæíàÿ òåîðåìà î ìàêñèìóìå è ìèíèìóìå ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè.Òåîðåìà 1.9.3.îáëàñòèV,ϕ(x)Ïóñòüãàðìîíè÷åñêàÿôóíêöèÿâîãðàíè÷åííîéòîãäà îíà äîñòèãàåò ñâîèõ ìàêñèìàëüíîãî è ìèíèìàëüíîãîΣ ýòîé îáëàñòè V , ïðè÷åì âåëè÷èíà ñêîðîñòèv = |v| = |∇ϕ| äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ òàêæå íà Σ.H 1. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ÷òî, íàïðèìåð, ôóíêöèÿ ϕ(x) äîñòèãàåòñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ â òî÷êå x0 âíóòðè îáëàñòè V , òîãäà âñåãäàíàéäåòñÿ òàêîé øàð Ur (x0 ) ⊂ V , ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê ýòîãî øàðà âûïîëíåíîçíà÷åíèé òîëüêî íà ãðàíèöåíåðàâåíñòâîϕ(x) < ϕ(x0 )Σr (x0 ),Zϕ(x) dΣ <Òîãäà, èíòåãðèðóÿ ïî ñôåðåZïîëó÷àåìΣr (x0 )∀x ∈ Ur (x0 ).(1.9.16)ÿâëÿþùåéñÿ ïîâåðõíîñòüþ øàðàϕ(x0 ) dΣ = 4πr2 ϕ(x0 ).Ur (x0 ),(1.9.17)Σr (x0 )Ýòî íåðàâåíñòâî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå î ñðåäíåì (ñì.
ôîðìóëó (1.9.11)),ñëåäîâàòåëüíî, ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå ëîæíî.Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåì, ÷òî è ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿäîñòèãàåò íà ãðàíèöå2.ΣÏðåäïîëîæèì,îáëàñòè÷òîV.ñêàëÿðíàÿïðèíàäëåæàùèéV,|v(x)| = |∇ϕ(x)| äîñòèãàåòòî÷êå x0 ∈ V , òîãäà íàéäåòñÿ øàð∀x ∈ Ur (x0 ) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîôóíêöèÿìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ âî âíóòðåííåéUr (x0 ), öåëèêîìv 2 (x0 ) > v 2 (x).ϕ(x)÷òîÂâåäåì äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàòx0iñ öåí-01 ïàðàëëåëüíàòðîì â òî÷êå x0 , òàêóþ, ÷òî îñü xâåêòîðó ãðàäèåíòóv(x0 )v(x) = ē0iàv(x0 )x0 (ðèñ. 1.9.1).v(x) èìååò âèäâ òî÷êåýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âåêòîðÂ∂ϕ,∂x0ièìååò òîëüêî îäíó ïîëîæèòåëüíóþ íåíóÐèñ.
1.9.1. Ê âûâîäó òåîðå-ëåâóþ êîìïîíåíòóv(x0 ) = ē01ìû∂ϕ= v(x0 ) > 0.∂x01Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿϕîìàêñèìóìåãðàäèåíòà ãàðìîíè÷åñêàÿ âV,òî èv2âåëè÷èíûâ îáëàñòè∂ϕ(x)/∂x01V òîæåãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, òîãäà, ñîãëàñíî äîêàçàííîìó â ðàçäåëå 1 óòâåðæäåíèþ, îíà íå ìîæåò èìåòü ìàêñèìóìà âøàðàãàåòŪr (x0 ), r2 < r,2íàïîâåðõíîñòèV,â ÷àñòíîñòè, â çàìûêàíèè∂ϕ(x)/∂x01x2 ∈ Σr (x2 ),ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèÿýòîãîøàðàâíåêîòîðîéòî÷êå1äîñòèâêî-136Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû∂ϕ(x2 )/∂x01 > ∂ϕ(x0 )/∂x01 .|∇ϕ(x)| = v(x) áîëüøå, ÷åì v(x0 ):òîðîé2v (x2 ) =3³ ∂ϕXα=1∂x´20α (x2 )>Òîãäà â ýòîé òî÷êå âåëè÷èíà ãðàäèåíòà³ ∂ϕ∂x´2 ³ ∂ϕ´2(x)>(x)= v 2 (x0 ),200101∂x(1.9.18)v 2 (x0 ) > v(x) â Ur (x0 ), òàê êàê òî÷êà x2 ∈∈ Ur (0). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ v(x0 ) íå ìîæåò èìåòü ìàêñèìóìà âíóòðèîáëàñòè V , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
NÇàìå÷àíèå 1.9.1. Ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíà ñêîðîñòè |v| = |∇ϕ|äëÿ ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè ϕ ìîæåò äîñòèãàòü âî âíóòðåííèõ òî÷êàõ îáëàñòè V . ¤à ýòî ïðîòèâîðå÷èò äîïóùåíèþ1.9.4. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïîòåíöèàëüíûõ äâèæåíèéíåñæèìàåìîé æèäêîñòèÊèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âñÿêîé ñïëîøíîé ñðåäû, çàêëþ÷åííîé â îáëàñòèZîïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéK=ρ|v|2dV.2V(1.9.19)Vïîòåíöèàëüíîéíåñæèìàåìîé|v|2 = ∇ϕ · ∇ϕ = |∇ϕ|2 ,Äëÿñëåäîâàòåëüíî,K=æèäêîñòèèìååìρ =constèZρ|∇ϕ|2 dV.2(1.9.20)VÅñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïåðâîé ôîðìóëîé Ãðèíà (ñì.
ò. 1, (3.6.60)), òî âûðàæåíèå äëÿKìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:K=−ρZϕ∆ϕ dV +2VãäåΣ ïîâåðõíîñòü îáëàñòèÏîñêîëüêó òå÷åíèå âVρZϕ2∂ϕdΣ,∂n(1.9.21)ΣV.ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, òî∆ϕ = 0âVè ïåðâûéèíòåãðàë â (1.9.21)ðàâåí íóëþ, ïîýòîìóK=ρZϕ2∂ϕdΣ,∂n(1.9.22)ΣΣ1 ïîâåðõíîñòè Σ ïîòåíöèàë ϕ = 0, à íà îñòàâøåéñÿ÷àñòè Σ \ Σ1 : ∂ϕ/∂n = 0, òî â ñèëó (1.9.22) êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ æèäêîñòèðàâíà íóëþ: K = 0. Ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â (1.9.22) âñåãäà22íåîòðèöàòåëüíà ϕ(∂ϕ/∂n) = (1/2)(∂ ϕ/∂ n), òî èç óñëîâèÿ K = 0 ñëåäóåò,Åñëè íà ÷àñòè137 1.9. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè÷òî|∇ϕ| = 0âî âñåé îáëàñòèV,à, ñëåäîâàòåëüíî,ϕ = const,ò.
å. â ðàññìàò-ðèâàåìîì ñëó÷àå æèäêîñòü ïîêîèòñÿ.Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë Ãðèíà (ò. 1, (3.6.60)) ê ìíîãîñâÿçíîéVîáëàñòèöèàëàíåîáõîäèìî äîïîëíèòåëüíîå äîïóùåíèå îá îäíîçíà÷íîñòè ïîòåí-ϕ.1.9.5. Çàäà÷è Äèðèõëå, Íåéìàíà è ñìåøàííàÿ äëÿ óðàâíåíèÿ ËàïëàñàVÐàññìîòðèì ãàðìîíè÷åñêóþ âòîðûì óñëîâèÿì íà ãðàíèöåΣϕ(x),ôóíêöèþV.îáëàñòèóäîâëåòâîðÿþùóþ íåêî- ýòîì ñëó÷àå ïðèõîäèì ê êðàåâûìçàäà÷àì äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, êîòîðûå ôîðìóëèðóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðà-çîì: íàéòè ôóíêöèþϕ(x), óäîâëåòâîðÿþùóþ â îáëàñòè V∆ϕ(x) = 0óðàâíåíèþ Ëàïëàñà∀x ∈ V(1.9.23)Σ îáëàñòè V :¯ϕ¯Σ = ϕe ,∂ϕ ¯¯= ve ,Σè äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì íà ãðàíèöå(1.9.24)1ãäåΣ1èΣ2∂n2 ÷àñòè ïîâåðõíîñòèΣîáëàñòè(1.9.25)V : Σ1 ∪ Σ2 = Σ; ϕeèveçàäàííûå ôóíêöèè.Åñëè óñëîâèå (1.7.25) îòñóòñòâóåò (ò.
å.Σ1 = Σ),òî ñèñòåìó (1.9.23),(1.9.24) íàçûâàþò çàäà÷åé Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, åñëè æå îòñóòñòâóåò óñëîâèå (1.9.24) (Σ2= Σ),òî ñèñòåìó (1.9.23), (1.9.25) íàçûâàþòçàäà÷åé Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà. Åñëè èìåþò ìåñòî îáà ãðàíè÷íûõóñëîâèÿ (1.9.24) è (1.9.25), òî ãîâîðÿò î ñìåøàííîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿËàïëàñà.Åñëè îáëàñòüVâíóòðåííèìè, åñëèÒåîðåìà 1.9.4.ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé, òî óêàçàííûå çàäà÷è íàçûâàþòV íåîãðàíè÷åííàÿ, òî ýòè çàäà÷è íàçûâàþò âíåøíèìè.Ðåøåíèå âíóòðåííèõ çàäà÷ Äèðèõëå è ñìåøàííîé ÿâëÿåòñÿåäèíñòâåííûì, à çàäà÷è Íåéìàíà åäèíñòâåííîå ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû â êëàññå ôóíêöèéà) íåïðåðûâíûõ âá) ãàðìîíè÷åñêèõâ) îäíîçíà÷íûõ âϕ(x):V ∪ Σ;â V;V;ã) îáëàäàþùèõ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè∇ϕ(x)âV ∪ Σ2(òîëüêî äëÿçàäà÷ Íåéìàíà è ñìåøàííîé).HÏóñòüϕ1èϕ2 îäíîçíà÷íûå ôóíêöèè, ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèÿìè çà-äà÷è (1.9.23)(1.9.25). Òîãäà ôóíêöèÿϕ = ϕ1 − ϕ2ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì òîéæå çàäà÷è (1.9.23)(1.9.25) ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè íàΣ.Ïî-ñêîëüêó ñóùåñòâóåò èíòåãðàë (1.9.20), òî èç (1.9.22) ñëåäóåò, ÷òî äëÿϕ138Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûèìååò ìåñòî èíòåãðàëüíîå ñîîòíîøåíèåϕ = ϕ0 = constâRVV.|∇ϕ|2 dV = 0,Äëÿ çàäà÷è Äèðèõëå è ñìåøàííîé èç óñëîâèÿϕ0 = 0îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî¯ϕ¯Σ =10 ïîëó÷àåì, ÷òîà â çàäà÷å Íåéìàíà ýòà ïîñòîÿííàÿ îñòàåòñÿ íåîïðåäåëåííîé.NÇàìå÷àíèå 1.9.2. Óñëîâèå îäíîçíà÷íîñòè ïîòåíöèàëà íåîáõîäèìî äëÿ åäèí-Vñòâåííîñòè ðåøåíèÿ òîëüêî åñëè îáëàñòü ìíîãîñâÿçíàÿ.¤Çàìå÷àíèå 1.9.3. Äëÿ âíóòðåííåé çàäà÷è Íåéìàíà çíà÷åíèÿ åå íîðìàëüíîéïðîèçâîäíîé∂ϕ/∂níàΣ,ò. å. ôóíêöèève ,äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü äîïîëíè-Zòåëüíîìó óñëîâèþve dΣ = 0.(1.9.26)ΣÄåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ãàóññà (ò. 1, (3.5.28)):ZZ∂ϕdΣ =∂n∆ϕ dV =V(1.9.27)0,Σϕ, ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Íåéìàíà (1.9.23), (1.9.25),∆ϕ = 0 â V è ∂ϕ/∂n = ve íà Σ. ¤Òåîðåìà 1.9.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
