Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûòî ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿpΣRíà ñôåðå ïîëó÷àåì èç (1.9.98):◦pΣR = p∞ +ρR dvsρv 2· n + s (1 −2dt294sin2 ϑ).(1.9.100)Âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå (1.9.85) ñóììàðíóþ ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà øàð ñîñòîðîíû æèäêîñòè:ZF Σs = −µ◦³ρv 2n p∞ + s 1 −ZnpΣR dΣ = −ΣR294´¶sin2 ϑ −ΣRZ◦−ρR dvs·2 dtn ⊗ n dΣ.(1.9.101)ΣRnÇäåñü, êàê è â (1.9.85), íîðìàëü âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê øàðó.Ïåðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (1.9.101), î÷åâèäíî, ðàâåí íóëþ, à ïî-Zñêîëüêón ⊗ n dΣ =4πR32E,(1.9.102)ΣR(ñì. óïð. ***), òî ïîëó÷àåì◦F Σs = −2π ρR33dvs,dt(1.9.103)ò. å.
ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè øàðà ñî ñêîðîñòüþæèäêîñòè äåéñòâóåò ñèëàFvsíà íåãî ñî ñòîðîíû(1.9.101).Åñëè çàïèñàòü çàêîí èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (ò. 2, (2.2.7)) äëÿøàðà, ðàññìàòðèâàÿ øàð êàê ñïëîøíóþ ñðåäó, òî íàõîäèìmsZdvs= F Σs + F ms ,dtms =ρs dV ,(1.9.104)Vïîñêîëüêó ñêîðîñòüêàõ. ÇäåñüF msvsàáñîëþòíî òâåðäîãî øàðà îäèíàêîâà âî âñåõ åãî òî÷- ñóììàðíàÿ ìàññîâàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà øàð;msìàññà øàðà.Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (1.9.103) äëÿ(ms + m0s )ãäåm0s =F Σsâ (1.9.104), ïîëó÷àåìdvs= F ms ,dt2π3(1.9.104à)◦ρR3 ïðèñîåäèíåííàÿ ìàññà øàðà.Èç (1.9.104à) ñëåäóåò, ÷òî øàð â íåñæèìàåìîé ïîòåíöèàëüíîé æèäêîñòèäâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëF ms òàêæå, êàê åñëè áûm0s .
Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿíî ñ ìàññîé, óâåëè÷åííîé íàîí äâèãàëñÿ â ïóñòîòå,è íàçâàíèå ìàññûm0s .153 1.9. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòèÂåëè÷èíàm0sðàâíà ïîëîâèíå ìàññû æèäêîñòè:◦m = (4/3)πR3 ρ,âûòåñíåííîéøàðîì.1.9.9. Çàäà÷à î íåóñòàíîâèâøåìñÿ äâèæåíèèïðîèçâîëüíîãî àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëàâ èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòèÐàññìîòðèì áîëåå îáùèé ñëó÷àé äâèæåíèÿ àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà âïîêîÿùåéñÿ íåñæèìàåìîé ïîòåíöèàëüíîé áåçãðàíè÷íîé æèäêîñòè.ÎáëàñòüBVòåëà áóäåì ïîëàãàòü îäíîñâÿçíîé. Àáñîëþòíî òâåðäîå òåëîìîæåò ñîâåðøàòü òîëüêî æåñòêèå äâèæåíèÿ, ïîýòîìó ïðè ïåðåõîäå èç◦îòñ÷åòíîé êîíôèãóðàöèèòåëàBKKâ àêòóàëüíóþðàäèóñ-âåêòîð âñÿêîé òî÷êèèçìåíèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì.
ò. 2, ôîðìóëó (3.9.3) è ðèñ. 1.9.8):◦◦◦x(t) = x0 + a(t) + Q(t)(x − x0 ),◦(1.9.105)x è x ðàäèóñ-âåêòîðû îäíîé è òîé æå ìàòåðèàëüíîé◦◦x0 = x0 + a ìãíîâåííûé öåíòð âðàùåíèÿ Ø0 òåëà B ; x0ãäå◦K; Q îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïîâîðîòà òåëà Bòî÷êè x0 .öåíòðà ââîêðóãM◦òî÷êè âKèK; âåêòîð ýòîãîêàê æåñòêîãî öåëîãîÐèñ. 1.9.8. Ñõåìà äâèæåíèÿ àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà â æèäêîñòèÂâåäåì òàêæå ïîäâèæíóþ ïðÿìîëèíåéíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò ñöåíòðîì â òî÷êåe0 ,xäâèæóùóþñÿ ïîñòóïàòåëüíî:x0 = x − x0(x0i = xi − xi0 ).Äèôôåðåíöèðóÿ çàêîí äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà◦◦Bvs = ȧ + Q̇ · (x − x0 ),ãäåvs = dx/dt ñêîðîñòü òî÷åêMòåëàB.(1.9.106)(1.9.105), ïîëó÷àåì(1.9.107)154Ãëàâà 1.
Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÂûðàæàÿ◦◦(x − x0 )èç (1.9.105)◦◦x − x0 = Q ò · (x − x0 )è ââîäÿ îáîçíà÷åíèåv0 = ȧ = ẋ0(1.9.108)äëÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ìãíîâåííîãî öåíòðà0âðàùåíèÿ O , ïîëó÷àåìvs = v0 + (Q̇ · Q ò · (x − x0 ),ãäåQ̇ · Q ò(1.9.109) òåíçîð ñïèíà (òåíçîð óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ) êîñîñèì-ìåòðè÷íûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãà (ñì. ò. 2, ï.
1.4.10). Ñ ýòèì òåíçîðîì ìîæíîñâÿçàòü ñîïóòñòâóþùèé âåêòîð âèõðÿω(ñì. ò. 1, (1.6.37)):Q̇ · Q ò = ω × E.(1.9.110)Òîãäà ñîîòíîøåíèå (1.9.109) ïðåîáðàçóåòñÿ ê ôîðìóëå Ýéëåðà:vs = v0 + ω × x0 .Âåêòîðûv0èωäëÿ òâåðäîãî òåëàB(1.9.111)ïîëàãàåì èçâåñòíûìè.Ïåðåéäåì ê ôîðìóëèðîâêå çàäà÷è î äâèæåíèè æèäêîñòè. Êàê îòìå÷àëîñüâ ï. 1.9.8, îïåðàòîðû∇è∆îäèíàêîâû â íåïîäâèæíîé è ïîäâèæíîé ñèñòåìàõêîîðäèíàò, ïîýòîìó â ñèñòåìåOx0iäëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîãî äâèæå-íèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè èìååì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Íåéìàíà:δϕ(x0i , t) = 0 ¯∂ϕ ¯¯ = vne ,∂n Σ∇ϕ¯¯ = 0,∞âV1 ,(1.9.112)ãäåvne = v · n = v0 · n + (ω × x0 ) · n = v0 · n + ω · (x0 × n);(1.9.113)n (çäåñü è äàëåå â ýòîì ðàçäåëå) âíåøíÿÿ íîðìàëü ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòèV1 = E3a \ V .Çàäà÷à (1.9.112) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, ïîýòîìó åå ðåøåíèå ëèíåéíî çàâèñèòω,è åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü âϕ = ϕ1 · v0 + ϕ2 · ω ,(1.9.114)îò âõîäíûõ äàííûõ çàäà÷è: îò âåêòîðîâv0èâèäåãäåϕ1 (x0i )èϕ2 (x0i ) íåêîòîðûå âåêòîðíûå ïîëÿ, îïðåäåëÿåìûå èç ðåøåíèÿçàäà÷è (1.9.112).Îáîçíà÷èì êîìïîíåíòû ýòèõ âåêòîðîâāα1îáðàçîì:αā1 ≡ ϕα ,α = 1, 2, 3;ϕβ =è3Xα=1āα2â áàçèñåēαāαβ ēα , β = 1, 2;ñëåäóþùèì155 1.9.
Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè3āα−≡ ϕα ,2α = 4, 5, 6.Ïîäîáíûå îáîçíà÷åíèÿ ââåäåì äëÿ êîìïîíåíò âåêòîðîâv̄ α ≡ uα , α = 1, 2, 3;ãäå3Xv0 =(1.9.115)v0èω:ω̄ α−3 ≡ uα , α = 4, 5, 6;αv̄ ēα ,ω=α=13Xω̄ α ēα .(1.9.116)α=1Òîãäà ïðåäñòàâëåíèå (1.9.114) ïðèìåò âèäϕ=6Xuα ϕα ,(1.9.117)α=1à äëÿ îïðåäåëåíèÿ øåñòè ïîòåíöèàëîâϕαèç (1.9.112) ïîëó÷àåì øåñòü ñëåäó-þùèõ íå ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé çàäà÷:∆ϕ = 0 â V1 , α¯∂ϕα ¯¯ = n̄α ,∂n Σ¯∂ϕα−3 ¯¯ = ēα−3 · (x0 × n),∂n¯ Σ∇ϕα ¯ = 0,∞ ýòè çàäà÷è âðåìÿñêîðîñòüvt.
. . , 6,α = 1,2, 3,α = 4,5, 6,α = 1,. . . , 6.(1.9.118)íå âõîäèò (â çàäà÷å (1.9.112) îíî ïðèñóòñòâîâàëî ÷åðåçω ),è âåêòîð âèõðÿôîðìîé òåëàα = 1,ïîýòîìó èõ ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêîB.Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íàùåì ýêâèâàëåíòíîì âèäå:Σâ (1.9.118), î÷åâèäíî, ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþ-¯∂ϕ1 ¯¯ = n,∂n Σ ñèëó (1.9.117), âåêòîð ñêîðîñòèv = ∇ϕ =¯∂ϕ2 ¯¯ = x0 × n.∂n Σv(1.9.119)æèäêîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå6X∇ϕα uα ,(1.9.120)α=1à åãî íîðìàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì:vn =6X∂ϕ∂ϕ1∂ϕ2∂ϕα α= n · ∇ϕ =· v0 +·ω =u .∂n∂n∂n∂n(1.9.121)α=1Äëÿ ìíîãèõ çàäà÷ ìåõàíèêè æèäêîñòåé âàæíóþ ðîëü èãðàþò èíòåãðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè æèäêîñòè: âåêòîð êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿkè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿôîðìóëàìè (ò.
2, (2.2.1), (2.3.1) è (2.4.1)) ñîîòâåòñòâåííî.K,I,âåêòîð ìî-îïðåäåëÿåìûå156Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû äàííîé çàäà÷å âñå ýòè âåëè÷èíû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåçZZ◦I=◦ρv dV = ρV1Z◦Σ◦◦∂ϕ1dΣ,∂nK=ρ|v|22◦V1Z◦0dV =V1ρΣZ◦∇ϕ · ∇ϕ dV =2ϕα :(1.9.122)∇ϕ × x0 dV =Z= −ρ ϕn × x dΣ = ρ ϕZèZx0 × ∇ϕ dV = −ρV1uαΣZρx0 × v dV = ρV1◦Z∇ϕ dV = ρ ϕn dΣ = ρ ϕV1k0 =ZρΣZ◦ϕn · ∇ϕ dΣ =2V1∂ϕ2dΣ,∂nΣρZϕ2(1.9.123)∂ϕdΣ.∂nΣ(1.9.124)Çäåñü èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû (1.9.119), à òàêæå ôîðìóëû Ãàóññà Îñòðîãðàäñêîãî äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà (ñì.
ò. 1, ï. 3.6.7),èìåþùèõ ìåñòî äëÿ ôóíêöèé, ðåãóëÿðíûõ íà áåñêîíå÷íîñòè è îïðåäåëåííûõâî âíåøíîñòè îãðàíè÷åííîé îáëàñòèV.Âåêòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿk0âû÷èñëåí îòíîñèòåëüíî òî÷êèO0B. Îïðåäåëèì òàêæå âåêòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿíåïîäâèæíîé òî÷êè O :ZZ◦k = ρx × v dV = ρ x × n dΣ.(1.9.125)äâèæóùåãîñÿ òåëàkîòíîñèòåëüíîV1ΣÑ ó÷åòîì (1.9.106) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå ìåæäókèk0 :k = k0 + x0 × I.Èñïîëüçóÿïðåäñòàâëåíèå(1.9.121)äëÿ(1.9.126)∂ϕ/∂n,èçôîðìóë(1.9.122),(1.9.123) è (1.9.124) íàõîäèì ñîîòíîøåíèå ìåæäó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåéè âåêòîðàìèkèI:2K= I · v0 + k0 · ω.K(1.9.127)Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (1.9.117) è (1.9.121) â (1.9.124), ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèèK=K12÷åðåç ïîòåíöèàëû6Xϕα :λαβ uα uβ ,(1.9.128)∂ϕβdΣ.∂n(1.9.129)α,β=1ãäå îáîçíà÷åíû èíòåãðàëû◦Zλαβ = ρ ϕαΣ157 1.9.
Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòèÄëÿ àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëàKs ,äâèæåíèÿ ksýíåðãèþBòàêæå ìîæíî îïðåäåëèòü êèíåòè÷åñêóþâåêòîð êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿIsè âåêòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâàïî òåì æå ôîðìóëàì (ò. 2, (2.4.1), (2.2.1) è (2.3.1)). Ñ ó÷åòîì(1.9.111) íàõîäèìZIs =ρs vs dV = ms v0 + ω × ∗ ∗ ∗,V(1.9.130)Zk0sρs x0 × vs dV = ∗ ∗ ∗,=(1.9.131)VZãäåms = ρdV. ∗ ∗∗(1.9.132)VÎïðåäåëèì òàêæå ñóììàðíóþ ñèëó0ñèòåëüíî òî÷êè O èµΣsZpn dΣ,O,px × n dΣ,µΣs =ΣBñîpx × n dΣ.(1.9.133)ΣÍàïîìíèì, ÷òî â ýòîì ðàçäåëå íîðìàëüV1 ,îòíî-Z0=µ0Σsäåéñòâóþùèå íà òåëîZµ0ΣsΣê îáëàñòèè ñóììàðíûå ìîìåíòûîòíîñèòåëüíî òî÷êèñòîðîíû æèäêîñòè:F Σs =F Σsnâûáðàíà âíåøíåé ïî îòíîøåíèþñîîòâåòñòâóþùåé æèäêîñòè, ïîýòîìó ïî ñðàâíåíèþ ñ ôîðìóëà-ìè (1.9.85) è (1.9.101) â (1.9.133) çíàê ó èíòåãðàëîâ èçìåíåí íà îáðàòíûé.Èñïîëüçóÿ (1.9.106), ëåãêî óñòàíàâëèâàåì ñîîòíîøåíèå ìåæäóµ0Σs = µΣs − x0 × F Σs .µΣsèµ0Σs :(1.9.134)µΣs è µ0Σs ìîìåíòàìè ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû, äåéñòâóþùèìè íà òåëî B ñî ñòîðîíû æèäêîñòè.Òåîðåìà 1.9.10.
Ïóñòü ïîòåíöèàë ϕ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Íåéìàíà(1.9.112), ïðè÷åì ôóíêöèÿ ϕ ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíîé íà áåñêîíå÷íîñòè (ñì. ò.ÑèëóF Σsíàçûâàþò ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñèëîé, à1, ï. 3.6.4), òîãäàF Σs = −dI/dt,Hx0Äëÿ(òî÷êàäîêàçàòåëüñòâàO0 ),öåëèêîìÏðèìåíèì ê îáëàñòèµΣs = −dk/dt.ðàññìîòðèìñîäåðæàùèéV2 = UR (x0 ) \ V ,øàð(1.9.135)UR (x0 ) ñ öåíòðîì âV òåëà B (ðèñ.îáëàñòüòî÷êå1.9.9).ñîîòâåòñòâóþùåé èäåàëüíîé æèäêîñòè,èíòåãðàëüíûå ôîðìóëèðîâêè çàêîíîâ èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (ò.
2,(2.2.7)) è èçìåíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (ò. 2, (2.3.1)), â êîòîðûõïîëàãàåì îòñóòñòâóþùèìè âíåøíèå ìàññîâûå ñèëû, íåìåõàíè÷åñêèå ìîìåíòûêîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, à òàêæå íåìåõàíè÷åñêèå ìàññîâûå è ïîâåðõíîñòíûåìîìåíòûf = 0, km = 0, hm = 0èhΣ = 0:158Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûZddtρv dV = −V2ZddtZpn dΣ,Σ+ΣR (x0 )Zρx × v dV = −V2px × n dΣ. (1.9.136)Σ+ΣR (x0 )Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî â èäåàëüíîé æèäêîñòètn = −pn.Èñïîëüçóåì ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âåêòîðîâ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ìîìåíòà êîëè÷åñòâàäâèæåíèÿ, íî äëÿ æèäêîñòè, çàêëþ÷åííîé âZÐèñ. 1.9.9.
Ê äîêàçàòåëüñòâóZe=k◦eI =òåîðåìû 1.9.10Zϕn dΣ = I + ρΣ+ΣRϕx × n dΣ = k + ρΣ+ΣRV2 :ϕn dΣ,ΣRZ◦ρx × v dV = ρV2◦ρv dV = ρV2Z◦Zϕx × n dΣ.(1.9.137)ΣRÇäåñü èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû (1.9.112), (1.9.123) è (1.9.125).Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî âåêòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ çäåñü,êàê è â ñàìîì çàêîíå èçìåíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, âû÷èñëÿåìîòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êèO(ñì. ðèñ. 1.9.9).Îáîçíà÷èì òàêæå ñòàíäàðòíûì îáðàçîì (ñì. ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
