Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåé2.1.1. Ñèñòåìà óðàâíåíèé âÿçêîé ñæèìàåìîé æèäêîñòèâ ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè ò. 2, ï. 3.13.5 áûëî äàíî îïðåäåëåíèå ìîäåëè âÿçêîé æèäêîñòè è çàïèñàíû îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ýòîé ìîäåëè â ôîðìå (ò. 2, (3.13.70)).Ïîäñòàâèì ýòè ñîîòíîøåíèÿ â ñèñòåìó çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ (ò. 2, (2.12.1) ïðèα = 1, 2è 3) â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè, òîãäà ïîëó÷èì∂ρ+ ∇ · ρv =∂t(2.1.1)0,∂ρv+ ∇ · (ρv ⊗ v + pE − Tv ) = ρf ,∂t(2.1.2)∂ρε+ ∇ · (ρv(ε + p/ρ) + q − Tv · v) = ρf · v + ρqm∂t(2.1.3) ñèñòåìó óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè, äâèæåíèÿ è ýíåðãèè (ïÿòü ñêàëÿðíûõóðàâíåíèé).Ê ñèñòåìå (2.1.1)(2.1.3) ïðèñîåäèíÿåì îñòàâøèåñÿ îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (ò. 2, (3.12.70)):Tv = µ1 (∇ · v)E + µ2 (∇ ⊗ v + ∇ ⊗ v ò ),p = ρ2 (∂ψ/∂ρ),q = −λ ∇θ,e=ψ−θε=e+|v|22,∂ψ,∂θψ = ψ(ρ, θ),µγ = µγ (Iα (D), ρ, θ).(2.1.4)(2.1.5)(2.1.6)Åñëè ïîäñòàâèòü ñîîòíîøåíèÿ (2.1.4)(2.1.6) â (2.1.1)(2.1.3), òî ïîëó÷èìçàìêíóòóþ ñèñòåìó ïÿòè ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïÿòè ñêàëÿðíûõíåèçâåñòíûõρ, θ, v k t, x,(2.1.7)186Ãëàâà 2.

Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûêîòîðóþ íàçûâàþò ñèñòåìîé óðàâíåíèé íåëèíåéíî-âÿçêîé ñæèìàåìîé òåïëîïðîâîäíîé æèäêîñòè (ãàçà) â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè.Ýòà ñèñòåìà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé èäåàëüíîé æèäêîñòè (1.1.1)(1.1.3): åñëè äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè è êîîðäèíàòàì â ñèñòåìå (1.1.1)(1.1.3) èìåþò òîëüêî ïåðâûé ïîðÿäîê, äëÿ âÿçêîé æèäêîñòè âûñøèé ïîðÿäîê ïðîèçâîäíûõ ïîêîîðäèíàòàì óæå âòîðîé.Î÷åâèäíî, ÷òî è ïîâåäåíèå èäåàëüíîé è âÿçêîé æèäêîñòåé ïðè îäíèõ èòåõ æå âíåøíèõ óñëîâèÿõ, îïèñûâàåìîå óðàâíåíèÿìè (1.1.1)(1.1.3) è (2.1.1)(2.1.3), áóäåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íûì.Ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà âÿçêîé æèäêîñòè áîëåå ìíîãîîáðàçíû, ÷åì ó èäåàëüíîé æèäêîñòè: îíè çàäàþòñÿ íå òîëüêî âèäîì ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëàêîýôôèöèåíòîì òåïëîïðîâîäíîñòèâÿçêîñòèµγ (Iα (D), ρ, θ),λ,ψ(ρ, θ) èíî è äîïîëíèòåëüíî êîýôôèöèåíòàìèâîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñÿùèìè îò èíâàðèàíòîâ òåíçîðàñêîðîñòåé äåôîðìàöèé, ïëîòíîñòè è òåìïåðàòóðû.

Äëÿ ëèíåéíî-âÿçêîé æèäêîñòè (ñì. îïðåäåëåíèå 3.13.2 â ò. 2, ï. 3.13.5) êîýôôèöèåíòû âÿçêîñòè íåçàâèñÿò îòIγ (D)ρ.è×àñòî ïðèìåíÿþò ìîäåëü ëèíåéíî-âÿçêîé æèäêîñòèâîîáùå ñ ïîñòîÿííûìè âÿçêîñòÿìèðàòóðûµγ ,êîãäàµγíå çàâèñÿò äàæå îò òåìïå-θ.Òàê æå, êàê è äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè, óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè(ò. 2, (2.12.1),α=4) íå âõîäèò â ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.1.1)(2.1.3) ïîñëåïðèñîåäèíåíèÿ ê íåé îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé (2.1.4)(2.1.6), à äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ñîâìåñòíîñòè (1.1.11) è (1.1.12) íå ñâÿçàíû ñ ñèñòåìîé(2.1.1)(2.1.6) è ìîãóò áûòü ðåøåíû îòäåëüíî îò íåå.Îäíàêî, êàê óæåóïîìèíàëîñü, óðàâíåíèÿ (1.1.11) è (1.1.12) êðàéíå ðåäêî ðàññìàòðèâàþò âìåõàíèêå æèäêîñòè.Èñïîëüçóÿíåïîäâèæíûåáàçèñûerièeri ,ìîæíîçàïèñàòüóðàâíåíèÿ(2.1.1)(2.1.3) â êîìïîíåíòàõ:e j (ρe(∂ρ/∂t) + ∇v j ) = 0,e j (ρe(∂ρev i /∂t) + ∇v j vej + peg ij − Tevij ) = ρfei ,e j (ρe(∂ρε/∂t) + ∇v j (ε + p/ρ) + qej − Tevij vek gekj ) = ρfei vej geij + ρqm .(2.1.8)Ñêàëÿðíûå ñîîòíîøåíèÿ â (2.1.4)(2.1.6) îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, äëÿèqeiTevijèìååì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:e k vek geij + µ2 (ee k vej + gejk ∇e k vei ),Tevij = µ1 ∇g ik ∇e i θ,qej = −λeg ij ∇p = ρ2∂ψ,∂ρe=ψ−θ∂ψ,∂θψ = ψ(ρ, θ).(2.1.9)(2.1.10)187Ÿ 2.1.

Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåéÍàïîìíèì, ÷òî ìåòðè÷åñêèå ìàòðèöûgeijègeijçäåñü èçâåñòíû, à ðåøåíèåìñèñòåìû (2.1.9)(2.1.10) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèèρ, vej , θÅñëè êîîðäèíàòûeiXe i , t.k X îðòîãîíàëüíûå, òî ñèñòåìó (2.1.9)(2.1.10) îáû÷íîçàïèñûâàþò â ôèçè÷åñêèõ êîìïîíåíòàõ, êîòîðûå ââîäÿò ïî ôîðìóëàì (1.1.17).Îáùèé âèä ñèñòåìû (2.1.9)(2.1.10) â ôèçè÷åñêèõ êîìïîíåíòàõ òàêîâ:3∂ρ1 P∂p+(ρbvα Hβ Hγ ) = 0,α∂t∂Xgeα=1 epp´3 ³∂ρbv1 Pgege b ∂Hγ∂Hα∂γbαγ ) +bp+T((T−T)=γαααe α HαeαeγHα Hγ∂X∂Xge α=1 ∂ X ∂t= ρfbγ ,³´33Pp∂ρε1 P∂(v)bαγp(ρbv(ε++)+qb−Tvb)HH=ααγγβeα∂tρge α=1 ∂ Xα=13P= ρ vbγ fbγ + ρqm .(2.1.11)α=1 äàííîì ñëó÷àå òåíçîð äèíàìè÷åñêèõ íàïðÿæåíèéTd = −T + ρv ⊗ v =3XTdèìååò âèäTbαγ brα ⊗ brγ ,(2.1.12)α,γ=1(v)Tbαγ = pδαγ + ρbvα vbγ − Tbαγ,Çäåñü(v)Tbαγ(v)b αγ .Tbαγ= µ1 I1 δαγ + 2µ2 D ôèçè÷åñêèå êîìïîíåíòû òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé;e αγDôèçè÷åñêèå êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèé, êîòîðûå íàõîäèì,èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (ò. 1, (2.6.33), (2.6.35)(2.6.37)):1I1 = p3X∂µpge¶vb ,e α Hα αge γ=1 ∂ Xvα1∂Hα1∂Hαb αα = 1 ∂bD+vbβ +vb ,αβeeeγ γHα ∂ XHα Hβ ∂ XHα Hγ ∂ X³ vb ´ H ∂ µ vb ¶Hα ∂αβb2Dαβ =+ β,e β Hαe α HβHβ ∂ XHα ∂ Xα 6= β 6= γ 6= α,(2.1.13)α, β , γ = 1, 2, 3.Çàêîí Ôóðüå â ôèçè÷åñêèõ êîìïîíåíòàõ èìååò îáû÷íûé âèä:qbα = −λ∂θ.eα∂X(2.1.14)2.1.2.

Óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ188Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÑèñòåìó óðàâíåíèé (2.1.1)(2.1.3), ïîäîáíî ìîäåëè èäåàëüíîé æèäêîñòè(1.1.23)(1.1.25), ìîæíî çàïèñàòü â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ:dρ= −ρ∇ · v,dtρdv= −∇p + (µ1 + µ2 )∇ ⊗ ∇ · v + µ2 ∆v + ρf ,dtρdε= −∇ · (pv + q − Tv · v) + ρf · v + ρqm .dt(2.1.15)(2.1.16)(2.1.17)Ïðè çàïèñè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (2.1.16) èñïîëüçîâàíî âûðàæåíèå äëÿ äèâåðãåíöèè òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé:∇ · Tv = µ1 ∇ · (∇ · v)E + µ2 (∇ · ∇ ⊗ v + ∇ · ∇ ⊗ v ò ) == (µ1 + µ2 )∇ ⊗ ∇ · v + µ2 ∆v.(2.1.18)Çäåñü èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (ò.

1, (2.6.15)) äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà∆îòâåêòîðà è ðåçóëüòàò óïð. 1 ê Ÿ 2.5 ò. 1.Óðàâíåíèå (2.1.16) íàçûâàþò óðàâíåíèåì Íàâüå Ñòîêñà.Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ýíåðãèè (2.1.17). Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé æèâûõ ñèë, êîòîðóþ êàê âñåãäà ïîëó÷àåì, äîìíîæàÿ ñêàëÿðíî óðàâíåíèåäâèæåíèÿ (2.1.16) íàdρdtv:µ|v|22¶= −v · ∇p + v · ∇ · Tv + ρv · f .(2.1.19)Âû÷èòàÿ ýòî óðàâíåíèå èç (2.1.17), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ôîðìå óðàâíåíèÿýíåðãèè:ρde= −p∇ · v − ∇ · q + Tv · ·∇ ⊗ v ò + ρqm .dt(2.1.20)Çäåñü èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (ò.

1, (2.4.25)) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ îïåðàòîðà∇ · (Tv · v).Åñëè ïðèìåíèòü âûðàæåíèå (ò. 2, (3.12.70)) äëÿ ôóíêöèè ðàññåèâàíèÿâÿçêîé æèäêîñòè:w∗ = Tv · · D = Tv · · ∇ ⊗ v ò = µ1 I12 (D) + 2µ2 D · · D > 0,(2.1.21)òî óðàâíåíèå ýíåðãèè (2.1.20) ìîæíî çàïèñàòü åùå â âèäåρde= −p∇ · v − ∇ · q + w∗ + ρqm .dt(2.1.22)189Ÿ 2.1. Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåéÇàìåíÿÿ ïîëíûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè íà ÷àñòíûå, ñèñòåìó (2.1.15),(2.1.16), (2.1.22) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂ρ+ ∇ · ρv = 0,∂t1µ + µ2µ∂v+ v · ∇ ⊗ v = − ∇p + 1∇ ⊗ ∇ · v + 2 ∆v + f ,∂tρρρ∗∂ep1w + v · ∇e = − ∇ · v − ∇ · q ++ qm .∂tρρ(2.1.23)(2.1.24)(2.1.25)ρÈñïîëüçóÿ òåîðåìó 1.1.1 (ñì.

ï. 1.1.3), óðàâíåíèå äâèæåíèÿ Íàâüå Ñòîêñà (2.1.24) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå, àíàëîãè÷íîé ôîðìå Ãðîìåêè Ëåìáà äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè:∂v|v|21µ + 2µ22µ+∇+ 2ω × v = − ∇p + 1∇ ⊗ ∇ · v − 2 ∇ × ω + f , (2.1.26)∂t2ρρρ2ω= ∇ × v = rot v.(2.1.27)Ïðè âûâîäå ýòîãî óðàâíåíèÿ èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (ò.

1, (2.5.18)) äëÿëàïëàñèàíà âåêòîðà∆v.2.1.3. Óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè â ìàòåðèàëüíîì îïèñàíèèÑèñòåìó óðàâíåíèé íåëèíåéíî-âÿçêîé ñæèìàåìîé òåïëîïðîâîäíîé æèäêîñòè (ãàçà) ìîæíî çàïèñàòü è â ëàãðàíæåâîì (ìàòåðèàëüíîì) îïèñàíèè.Äëÿ ýòîãî, êàê è â ñëó÷àå èäåàëüíîé æèäêîñòè, ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿôîðìóëàìè ïåðåõîäà (ò. 2, (2.2.31) è (2.4.27)) îò âåëè÷èí â◦K.Kê âåëè÷èíàì âÒîãäà äëÿ âÿçêîé æèäêîñòè ïîëó÷àåì ñèñòåìó îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèéâ ìàòåðèàëüíîì îïèñàíèè:q◦◦P = g/g F−1 · T = −ρ(p/ρ) F−1 + Pv ,◦−1Pv = (ρ/ρ) F(2.1.28)◦◦ρ −1 −1 ò· Tv = µ1 F (F· · ∇ ⊗ v)+ρ◦◦ρρ◦+ µ2 (F−1 · F−1 ò · ∇ ⊗ v + F−1 · ∇ ⊗ v ò · F−1 ),◦◦◦q = −λ · ∇θ,◦◦λ = λ(ρ/ρ) F−1 · F−1 ò .Çäåñü èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû (ò.

1, (4.1.23)) ïåðåõîäà îòÒåíçîðPv(2.1.29)(2.1.30)∇⊗v◦ê∇ ⊗ v.íàçûâàþò òåíçîðîì âÿçêèõ íàïðÿæåíèé Ïèîëû Êèðõãîôà.Ñèñòåìó óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè, äâèæåíèÿ, ýíåðãèè è ñîâìåñòíîñòèäåôîðìàöèé äëÿ âÿçêîé æèäêîñòè ôîðìàëüíî ñîâïàäàåò ñ ñîîòâåòñòâóþùåéñèñòåìîé óðàâíåíèé (1.1.40)(1.1.42), (1.1.44) è âìåñòå ñ ñîîòíîøåíèÿìè(2.1.28)(2.1.30) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó óðàâíåíèé âÿçêîé æèäêîñòè â190Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûëàãðàíæåâîì îïèñàíèè, ñîñòîÿùóþ èç 14 ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî14 ñêàëÿðíûõ íåèçâåñòíûõ (2.1.43).Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ (1.1.45), à òàêæå ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿêîìïîíåíò òåíçîðà Ïèîëû Êèðõãîôà:◦◦◦◦P = P ij ri ⊗ rj ,◦◦Pv = P ijv ri ⊗ rj ,(2.1.31)ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.1.40)(1.1.42), (1.1.44) ìîæíî çàïèñàòü â êîìïîíåíòàõ◦ri :◦◦ρ = ρ det (Φi j ),◦◦◦◦∂ v◦ i /∂t = ∇(P ji /ρ) + f i ,â áàçèñåj(2.1.32)◦ ◦ ◦◦◦◦ ◦k ◦◦i ◦ij /ρ)ivj g + q ,∂ε/∂t=∇((Pvg−(q/ρ))+fimjkij◦◦◦◦ i◦kil∂ Φ j /∂t = −Φ k Φ j ∇l v .Îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (2.1.28)(2.1.30) â êîìïîíåíòíîì ïðåäñòàâëåíèè èìåþò âèä◦◦◦◦◦1◦◦ ◦◦P ij /ρ = −(p/ρ) Φi k g ki + (P ijv /ρ),µ¶◦◦◦◦ kj ◦ mn ◦ ◦ ◦ s◦ km ◦ ◦ j◦ mj ◦ ◦ klij ◦iP v /ρ = Φ k Φ m ν1 g g g ls ∇n v + ν2 (g ∇l v + g (∇l v ) ,◦◦◦q j = −λji ∇i θ,ε = e + v i v j g ij .(2.1.33)2Çäåñü îáîçíà÷åíû êîýôôèöèåíòû êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè:ν1 = µ1 /ρ,ν2 = µ2 /ρ.(2.1.34)Óðàâíåíèÿ (2.1.32) è (2.1.33) ìîæíî çàïèñàòü è â ôèçè÷åñêîì áàçèñå(1.1.56) ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî ïîêàçàíî äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè â ï.

1.1.4(ñì. óïð. 1 ê Ÿ 2.1).2.1.4. Ìîäåëü ñîâåðøåííîãî ëèíåéíî-âÿçêîãî ãàçàÎïðåäåëåíèå 2.1.1.ëüþÌîäåëüñîâåðøåííîãîëèíåéíî-âÿçêîéë è í å é í î-â ÿ ç ê î ã î(2.1.4)(2.1.6) ïîòåíöèàëψ(ρ, θ)èìååòâèäæèäêîñòèíàçûâàþòìîäå-ã à ç à, åñëè â ñîîòíîøåíèÿõ(1.1.63) (êàê è äëÿ ìîäåëèèäåàëüíîãî ñîâåðøåííîãî ãàçà).Âñå ôîðìóëû äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèéη , e, p, ièζ,ââåäåííûõ âï. 1.1.5, èìåþò ìåñòî è äëÿ ëèíåéíî-âÿçêîãî ñîâåðøåííîãî ãàçà.Åñëè â óðàâíåíèå ýíåðãèè (2.1.22) ïîäñòàâèòü âûðàæåíèå (1.1.65) äëÿâíóòðåííåé ýíåðãèèeè çàêîí Ôóðüå (2.1.6), òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå òåïëî-191Ÿ 2.1. Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåéïðîâîäíîñòè äëÿ ëèíåéíî-âÿçêîãî ñîâåðøåííîãî ãàçà:ρcvdθ= ∇ · (λ∇θ) − p∇ · v + w∗ + ρq ,dtãäå ôóíêöèþ ðàññåèâàíèÿw∗(2.1.35)îïðåäåëÿþò ïî ôîðìóëå (2.1.26).2.1.5. Ìîäåëü íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÐàññìîòðèì ìîäåëü íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè, ââåäåííóþ â ò.

Характеристики

Список файлов книги