Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.6.14), èìååìÂû÷èñëèì öèðêóëÿöèþêîîðäèíàò íà ïëîñêîñòèZZZrn · ω dΣ = 4π ω(r0 )r0 dr0 =v · dx = 2Γr =r0 =r06r 0 6r=4piCZrtâ íà÷àëå0µ 02 ¶µµ¶¶rr200exp −r dr = 8πνC 1 − exp −.4νt4νt(2.1.73)0Îòñþäà ïðèt=0ïîëó÷àåìΓr = 8πνC = Γ,ãäåΓ(2.1.74) çàäàííîå çíà÷åíèå öèðêóëÿöèè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèÈç (2.1.74) íàõîäèì êîíñòàíòóC = γ/(8πν)t = 0.è îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèåt è ω:µ¶r2Γr = Γ(1 − exp −,äëÿ öèðêóëÿöèè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíèµ4νtΓr2ω(r, t) =exp −8πνt4νtïîýòîìó¶.(2.1.76)dx = t ds = eφ ds, à âåêòîðv, ñîãëàñíî (2.1.67), ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì: v(r = const, t) = vφ (r)eφ ,ZZΓr =v · dx = vφ eφ · eφds = 2πrv.(2.1.77)Îòìåòèì, ÷òî íà îêðóæíîñòèñêîðîñòèr0 = r =(2.1.75)r0 =rconst:r0 =rÈç (2.1.75) è (2.1.77) íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ îêðóæíîé êîìïîíåíòû ñêîðîñòèΓv(r, t) =2πrµµ¶¶r21 − exp −.4νt(2.1.78)197Ÿ 2.1.

Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåét=Îòñþäà ïðè0, ïîëó÷àåìv(r, 0) = vφ (r, 0) =ñîâïàäàåò ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (2.1.66).Γ2πr, ÷òî â òî÷íîñòèÔîðìóëû (2.1.75), (2.1.76) è (2.1.78) äàþò îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå äàííîéçàäà÷è. Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (2.1.78) äëÿ ñêîðîñòèvóäîâëåòâîðÿåò ãðà-íè÷íîìó óñëîâèþ íà ñêîðîñòü óìåíüøåíèÿ âåëè÷èíû çàâèõðåííîñòèïðèt > tmax .ω(r, t)Ýòîò ðåçóëüòàò ïðè ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè ìîæíî èíòåð-ïðåòèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: áûñòðåå âñåãî çàòóõàþò ìåëêèå âèõðè.

Äëÿñðàâíèòåëüíî êðóïíûõ âèõðåé çàòóõàíèå èäåò áîëåå ìåäëåííî.Óïðàæíåíèÿ ê Ÿ 2.1Óïðàæíåíèå 1. Çàïèñàòü óðàâíåíèÿ (2.1.32) è (2.1.33) â ôèçè÷åñêîì áàçèñå (1.1.56)îòñ÷åòíîé êîíôèãóðàöèè.∇ · v, ∇ ⊗ v, ∇ × ω è ∆ωâ ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò (ñì. ò. 1, óïð. 7, 8, 9 è 16 ê Ÿ 2.6), ïîêàçàòü, ÷òîñèñòåìà óðàâíåíèé Ãåëüìãîëüöà (2.1.62)(2.1.65) â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàòèìååò âèäÓïðàæíåíèå 2. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðîâ∂v̄ i=∂xiµ2ω̄3Xα=1µ∂2αi2∂(x )=p◦ρ+∂v̄ 2∂x3v22X ∂ 2 ω̄ i∂ ω̄ i∂v̄ i∂ ω̄ i,+ v̄ j j − ω̄ j j = ν∂t∂x∂x∂(xα )2α=130,−∂v̄ 3¶µδ i1 +∂x2∂v̄ 1∂x3−∂v̄ 3∂x1¶µδ i2 +∂v̄ 1∂x2−∂v̄ 2∂x1¶δ i3 ,¶µ¶∂ ω̄∂ ω̄− χ = ω 2 − 2v̄ 1−−∂x2332∂x− 2v̄2µ∂ ω̄ 3−∂x1∂x3∂ ω̄ 1¶µ− 2v̄3∂ ω̄ 2−∂x1∂x2∂ ω̄ 1¶,à â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:1r∂ωr∂v∂ωω− ωr r + vr r − φ∂t∂r∂rr³∂rvr1 ∂vφ∂v++ z =∂rr ∂φ∂z´³0,´∂vrv∂ωr− vφ + φ− ωφ −∂φr∂φ³´∂v∂ωω2 ∂ωφ− ωz r + vz r = ν ∆ωr − 2r − 2,∂z∂zrr ∂φ∂ωφ∂ω∂vv ∂ωω ∂v∂ω+ vr φ − ωr φ + φ φ − φ φ + vz φ −∂t∂r∂rr ∂φr ∂φ∂z´³∂vφvr ωφ − vφ vr2 ∂ωω− ωz+= ν ∆ωφ + 2 r − φ2 ,∂zrr ∂φr∂ωz∂ω∂vv ∂ωω ∂v∂ω∂v+ vr z − ωr z + φ z − φ z + vz z − ωz z = ν ∆ωz ,∂t∂r∂zr ∂φr ∂φ∂z∂z198Ãëàâà 2.

Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûµ∆¶³´³´³´pv2v∂ωz∂rωφ∂ωr∂ω2v∂rωφ∂ω− χ = ω2 − r−− 2v φ− z − z− r ,◦ +2r2ρωr =12r³∂vz∂rvφ−∂φ∂z∂φ∂z´,∆=ωφ =1∂21∂r2+³2∂z∂vr∂v− z∂z∂r∂rr´ωz =,12r³∂r∂φ∂rvφ∂v− r∂r∂φ´,1∂∂2∂2+ 2+.r ∂rr ∂φ2∂z 2Ÿ 2.2. Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâàâ âÿçêèõ æèäêîñòÿõ2.2.1. Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâà âÿçêîé æèäêîñòèâ ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè âÿçêèõ æèäêîñòÿõ è ãàçàõ, òàêæå êàê è â èäåàëüíûõ æèäêîñòÿõ, ìîãóòâîçíèêàòü ðàçðûâíûå ðåøåíèÿ.Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïîâåðõíîñòü ðàçðûâàV1èV2 ,S(t),ðàçäåëÿþùàÿ îáëàñòèñîîòâåòñòâóþùèå äâóì, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íûì âÿçêèì ãàçàì.Òîãäà íà ýòîé ïîâåðõíîñòè â àêòóàëüíîé êîíôèãóðàöèè èìåþò ìåñòî îáùèåóíèâåðñàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ (ò. 2, (4.5.20)), ñîâïàäàþùèå ñ ñîîòíîøåíèÿìè(ò.

2, (4.4.19)(4.4.24)) äëÿ íåêîãåðåíòíûõ ïîâåðõíîñòåé ðàçðûâà. Îáîçíà÷àÿ,êàê è â ãë. 1, èíäåêñàìè 1 è 2 ôóíêöèè ïî ðàçíûå ñòîðîíû îòS(t),çàïèøåìïåðâûå òðè ñîîòíîøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû äëÿ ñêà÷êà ìàññû, êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ýíåðãèè:ρ (v − D) = ρ2 (vn2 − D) = −M , 1 n1M (v1 − v2 ) − [p]n + [Tv ] · n + C2Σ = 0,2M [e + |v| ] − [pv ] + n · [T · v] + C 0 = 0.2nvÇäåñü èñïîëüçîâàíî îáîçíà÷åíèå (***9.23) äëÿ3ΣC30 Σ ,(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)îñòàëüíûå îáîçíà÷åíèÿòàêèå æå, êàê è ⠟ 1.2.Óìíîæèì ñêàëÿðíî óðàâíåíèå (2.2.2) íà âåêòîð íîðìàëè, òîãäà ïîëó÷èìM (vn1 − vn2 ) − p1 + p2 + Tnv1 − Tnv2 + CnΣ = 0.(2.2.4)Çäåñü è äàëåå èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ, àíàëîãè÷íûå îáîçíà÷åíèÿì (1.2.37):vTnI= n · TvI · n,ãäåTvI(I=Tτvα I = τ α · TvI · n,(2.2.5)1, 2) òåíçîðû âÿçêèõ íàïðÿæåíèé ïî ðàçíûå ñòîðîíû îòïîâåðõíîñòè ðàçðûâà.Åñëè óìíîæèòü ñîîòíîøåíèå (2.2.2) ñêàëÿðíî íàM [vτα ] + [Tτvα ] = −Cτα Σ ,τ α,òî ïîëó÷èì(2.2.6)199Ÿ 2.2.

Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâàãäåCτα Σîïðåäåëåíà ïî ôîðìóëå (1.2.6à).Ïîâåðõíîñòü ðàçäåëà âÿçêîé æèäêîñòè, â îòëè÷èå îò èäåàëüíîé, êàê ïðàâèëî, ïîëàãàþò (ïî îïðåäåëåíèþ) êîãåðåíòíîé ïðè îòñóòñòâèè ïåðåõîäîâ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÷åðåçS(t)(êîãäàM = 0). ñëó÷àåM 6= 0,ïîâåðõíîñòüS(t)ìîæåò áûòü è íåêîãåðåíòíîé. Òîãäà äëÿ âÿçêîé æèäêîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòüñîîòíîøåíèå (ò. 2, (4.7.22)) äëÿ ñêà÷êà ñêîðîñòè:[v] = −Mn · F01 · [F0 ò ],ρ1 k10 2(2.2.7)ãäå, ñîãëàñíî ôîðìóëå (ò. 2, (4.7.21)), îáîçíà÷åíûk10 2 = n · g10 −1 · n,à òåíçîðûF01 , F020 −1òg1,2= F01,2 · F01,2,(2.2.8)ââåäåíû ïî ôîðìóëàì (ò.

2, (4.7.11), (4.7.9)).Âåêòîðíîå ñîîòíîøåíèå (2.2.7) ýêâèâàëåíòíî òðåì ñêàëÿðíûì, êîòîðûåïîëó÷àåì, óìíîæàÿ (2.2.7) íà âåêòîðû[vn ] = −[vτα ] = −n, τ 1èτ 2:Mn · F01 · [F0 ò ] · n,ρ1 k10 2Mn · F01 · [F0 ò ] · τ α ,ρ1 k10 2α = 1, 2.(2.2.9)(2.2.10)Ñîîòíîøåíèå (2.2.9), êàê áûëî ïîêàçàíî â ò. 2, ï. 4.7.2, â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ (2.2.1), ïîýòîìó åãî ìîæíî îòáðîñèòü. Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (2.2.10)â (2.2.6), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñêà÷êà êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé â âÿçêîéæèäêîñòè:[Tτvα ] =M2n · F01 · [F0 ò ] · τ α − Cτα Σ ,0 2ρk1α = 1, 2.(2.2.11)Îòìåòèì, ÷òî ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü è èç îáùåãî âûðàæåíèÿ(ò. 2, (4.7.27)) äëÿ ñêà÷êà âåêòîðà íàïðÿæåíèé.Òîãäà äëÿ ñëó÷àÿM 6= 0ïîëíàÿ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé (2.2.1), (2.2.7) äëÿñêà÷êîâ íà ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà â âÿçêîé æèäêîñòè èìååò âèä[ρ(vn − D)] = 0,£ ¤Mvτα = − 0 2 n · F01 · [F0 ò ] · τ α ,ρ1 k1M [v ] + [T ] = −C ,nnnΣ£ v¤M2n · F01 · [F0 ò ] · τ α − Cτα Σ ,T=−τ αρ1 k10 2hi2P|v|2M e ++ [Tn vn ] +[Tτvα vτα ] − [qn ] + C3Σ = 0.2(2.2.12)(2.2.13)(2.2.14)(2.2.15)(2.2.16)α=1Çäåñü îáîçíà÷åíû íîðìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ â âÿçêîì ãàçå:Tn = −p + Tnv ,(2.2.17)200Ãëàâà 2.

Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûà òàêæå èñïîëüçîâàíû ñâîéñòâàn · T = Tn n +2XTτvα τ α ,n · T · v = Tn vn +α=12XTτvα vτα .(2.2.18)α=1Ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó (2.2.12)(2.2.16), èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (ò. 2, (4.7.23à))äëÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.2.12):[vn ] =M [ρ],ρ+ ρ−(2.2.19)(íàïîìíèì åùå ðàç, ÷òî (2.2.19) â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ (2.2.9)). Òîãäà (2.2.14)ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå (ò. 2, (4.7.32)):[Tn ] = M 2 [1/ρ] − CnΣ .(2.2.20)Óðàâíåíèå (2.2.16) äëÿ ñêà÷êà ýíåðãèè ìåòîäîì, èñïîëüçîâàííûì â ò. 2,ï. 4.7.1, ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäóM [e] + [Tn ]{vn } +2X[Tτvα ]{vτα } + CnΣ {vn } +α=12XCτα Σ {vτα } + C3Σ − [qn ] = 0.α=1(2.2.21)Îòìåòèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (2.2.13) è (2.2.15) ñîäåðæàò ãðàäèåíòû äåôîðìàöèèF01èF02 ,îçíà÷àåò,÷òî(2.2.12)(2.2.16) íà ãðàíèöå ðàçäåëàýòîS(t)ïðèðåøåíèèçàäà÷ñóñëîâèÿìèíåîáõîäèìî êðîìå ñèñòåìû óðàâíå-íèé âÿçêîé æèäêîñòè (2.1.36)(2.1.41) ïðèâëåêàòü è äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèåñîâìåñòíîñòè äåôîðìàöèé (1.1.80).2.2.2.

Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâàáåç ïåðåõîäà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åêÐàññìîòðèì ñëó÷àéM =0, à ïîâåðõíîñòü ðàçðûâàS(t)ÿâëÿåòñÿ êî-ãåðåíòíîé. Òîãäà ñîîòíîøåíèÿ (2.2.12)(2.2.21) òàêæå èìåþò ìåñòî, è èç(2.2.12)(2.2.15) ñëåäóåò, ÷òî[vn ] = 0,[vτα ] = 0,[Tn ] = −CnΣ ,[Tτvα ] = −Cτα Σ , α = 1, 2.Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.2.22) â (2.2.16), ñ ó÷åòîì−[qn ] = vn1 CnΣ +2XCτα Σ vτα 1 − C3Σ .M =0(2.2.22)ïîëó÷àåì(2.2.23)α=1Èç ñîîòíîøåíèé (2.2.22), (2.2.23) âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ î÷åâèäíàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 2.2.1.ÏóñòüS(t) ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà â âÿçêîé æèäêîñòè èâûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:• M = 0;• S(t) êîãåðåíòíàÿ;201Ÿ 2.2.

Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâà• C2Σ = 0,C3Σ = 0,òîãäà íîðìàëüíîå è êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèÿ â æèäêîñòè:Tτvα ,èà òàêæå íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà ïîòîêà òåïëà è âåêòîðñêîðîñòèvîñòàþòñÿ íåïðåðûâíûìè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç[v] = 0,àTn = −p + Tnvρ, eèθ[Tn ] = 0,[Tτvα ] = 0, α = 1, 2,S(t):[qn ] = 0,(2.2.24)ìîãóò òåðïåòü ðàçðûâ.Åñëè ïîâåðõíîñòü ðàçðûâàS(t)â âÿçêîé æèäêîñòè ðàññìàòðèâàþò êàêãîìîòåðìè÷åñêóþ, òî ê ñèñòåìå ñîîòíîøåíèé (2.2.24) ïðèñîåäèíÿþò åùå îäíîñîîòíîøåíèå:[θ] = 0.(2.2.25)Ñðàâíèâàÿ ñèñòåìó ñîîòíîøåíèé (2.2.24) ñ àíàëîãè÷íîé ñèñòåìîé (1.2.33)äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî îíè ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ: äëÿ âÿçêîé æèäêîñòè ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíî óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòèêàñàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòèvταè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèéTτvα .Ýòîò ïðèíöèïèàëüíûé ðåçóëüòàò èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõìåõàíèêè æèäêîñòåé.2.2.3.

Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëàâÿçêîé æèäêîñòè è òâåðäîãî òåëàÑëó÷àé, êîãäà ïî îäíó ñòîðîíó îò ïîâåðõíîñòè ðàçðûâàS(t)ñðåäà ÿâëÿ-åòñÿ âÿçêîé æèäêîñòüþ, à ïî äðóãóþ òâåðäûì òåëîì, ôîðìàëüíî íè÷åì íåîòëè÷àåòñÿ îò ðàññìîòðåííîãî âûøå ñëó÷àÿ äâóõ âÿçêèõ æèäêîñòåé, åñëè âñîîòíîøåíèÿõ (2.2.1)(2.2.3) è (2.2.7) ñäåëàòü çàìåíó:(−p2 E + Tv2 ) → T2(èíäåêñ 1, êàê è ðàíåå ñîîòâåòñòâóåò æèäêîñòè, 2 òâåðäîìó òåëó).

Ôîðìàëüíî áóäóò ñîâïàäàòü è ñîîòíîøåíèÿ (2.2.12)(2.2.16).Äëÿ ñëó÷àÿM =0ñîîòíîøåíèÿ (2.2.12) è (2.2.24) òàêæå áóäóò ñïðàâåä-ëèâûìè äëÿ êîíòàêòèðóþùèõ òâåðäîãî òåëà è âÿçêîé æèäêîñòè.Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ìîäåëü ìåäëåííîãî òâåðäîãî òåëà (ñì. ï. 1.2.5),ñîãëàñíî êîòîðîé ñêîðîñòü òâåðäîãî òåëà ïîëàãàþò ìíîãî ìåíüøåé ñêîðîñòèæèäêîñòè:k v1 kÀk v2 k .(2.2.26)Êðîìå òîãî, ýòó ìîäåëü äîïîëíÿþò óñëîâèåì òîãî, ÷òî ãðàäèåíò äåôîðìàöèè òâåðäîãî òåëà íàS(t)ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà:F02 ≈ E.(2.2.27)Ðàññìîòðèì, êàê óïðîùàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.2.12)(2.2.16) äëÿ ìîäåëèìåäëåííîãî òâåðäîãî òåëà.202Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÇàïèñûâàÿ ôîðìóëó (***) äëÿ ýòîé ìîäåëè:ρ1 n · F01 ò ≈ ρ2 n,(2.2.28)ïðåîáðàçóåì ñîîòíîøåíèå (2.2.13) ñëåäóþùèì îáðàçîì:vτα 1 = −Mn · E · (F01 ò − E) · τ α =ρ2 k202³ρ´MM2= − 02 (n · F01 ò − n) · τ α = − 02− 1 n · τ α = 0.ρ2 k2ρ2 k 2 ρ1(2.2.29)Òàêèì îáðàçîì, íà ïîâåðõíîñòè ìåäëåííîãî òâåðäîãî òåëà êàñàòåëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè âÿçêîé æèäêîñòè ðàâíû íóëþ äàæå ïðèM 6= 0.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ìîäåëè ìåäëåííîãîòâåðäîãî òåëà óñëîâèå (2.2.15) ïðèC2Σ =0 ïðåâðàùàåòñÿ â óñëîâèå íåïðå-ðûâíîñòè êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé:Tτvα 1 ≈ Tτα 2 ,(2.2.30)à óñëîâèÿ (2.2.12), (2.2.14), (2.2.16) ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:[ρ (v − D)] = 0, 1 n1M [vn ] + [Tn ] = 0,³´M [e] + 1 [v 2 ] + Tn1 vn1 − T v = [qn ].n2 n2n(2.2.31à)(2.2.31á)(2.2.31â)2Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìîäåëè ìåäëåííîãî òâåðäîãî òåëà, âçàèìîäåéñòâóþùåãîñâÿçêîéæèäêîñòüþ,óñëîâèÿäëÿñêà÷êàïëîòíîñòè,íîðìàëüíîéñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè è âíóòðåííåé ýíåðãèè ôîðìàëüíî ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè óñëîâèÿìè íà ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà â èäåàëüíîé æèäêîñòè(1.2.12)(1.2.14).

Характеристики

Список файлов книги