Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 34
Текст из файла (страница 34)
2, (4.6.14)); σΣ θêîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñÿùèé îòòåìïåðàòóðûθ.×àñòî çàâèñèìîñòüσΣ (θ)ïðèíèìàþò ëèíåéíîé:σΣ (θ) = σΣ0 + σΣθ (θ − θ0 ),ãäåσΣ0èσΣθ êîíñòàíòû (êîýôôèöèåíòþò êîýôôèöèåíòîì Ìàðàíãîíè);σΣθ = dσΣ /dθ(2.3.39)èíîãäà íàçûâà-215 2.3.
Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè3) ó÷èòûâàþò ìàññîâûå ñèëû, îáóñëîâëåííûå ñèëîé òÿæåñòè æèäêîñòè,ïðè÷åì äëÿfïðèíèìàþò âûðàæåíèåρf = (eρ − ρ)gΣ cΣ ,(2.3.40)ïîäîáíîå ôîðìóëå (1.4.35) äëÿ ïëîòíîñòè àðõèìåäîâîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òåëî, ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü. Îäíàêî âìåñòî ïëîòíîñòèρòâåðäîãî òåëà â ýòîé ìîäåëè â âûðàæåíèè äëÿïëîòíîñòè æèäêîñòè(eρ − ρ),fñòîèò èçìåíåíèåâûçâàííîå èçìåíåíèåì òåìïåðàòóðûθ − θ0æèäêîñòè ïðè íåðàâíîìåðíîì íàãðåâå:ρe − ρ = βθ (θ − θ0 ).(2.3.41)βθ , íàçûâàåìûé òåðìè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì ðàñøèðåíèÿcΣ ýòî âåêòîð, îïðåäåíàïðàâëåíèå äåéñòâèÿ ñèëû òÿæåñòè, à θ0 íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðàÊîýôôèöèåíòæèäêîñòè, îïðåäåëÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíî, âåêòîðëÿþùèéæèäêîñòè.Ìîäåëü äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè, äëÿ êîòîðîé ïðèíÿòûäîïóùåíèÿ 13, íàçûâàþò ìîäåëüþ òåðìîêîíâåêòèâíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè.
 ýòîé ìîäåëè âûðàæåíèå äëÿ ìàññîâîé ñèëû ó÷èòûâàåò ìàëîå èçìåíå-íèå ïëîòíîñòè æèäêîñòè, âûçâàííîå òåìïåðàòóðíûì ïîëåì.Ìîäåëü òåðìîêîíâåêòèâíîãî äâèæåíèÿ øèðîêî ïðèìåíÿþò íà ïðàêòèêåäëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ íåðàâíîìåðíî íàãðåòûõ âîçäóøíûõ ìàññ â àòìîñôåðå,îêåàíñêèõ ìàññ, à òàêæå ïðîöåññîâ äâèæåíèÿ îòâåðæäàþùåéñÿ (êðèñòàëëèçèðóþùåéñÿ) æèäêîñòè è äð. çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà çàïèøåì óñëîâèå (2.3.38) â áåçðàçìåðíîìâèäå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ãàóññà (ò.
1, (3.2.153)) äëÿ ãëàâíûõ êðèâèçíkαâ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòðàññìàòðèâàåìàÿ ÷àñòü ïîâåðõíîñòèΣe i,Xïîëàãàÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òîèìååò óðàâíåíèåkα = bαα /ğαα = 1/Rα ,e 3 = const:Xα = 1, 2,(2.3.42)ãäåğαα = A2αbαα êîýôôèöèåíòû âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, äëÿ êîòîðûõ èìåþò ìåñòî êîýôôèöèåíòû ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ïîâåðõíîñòè;ñîîòíîøåíèÿ (ò. 1, (3.2.5)) è (ò. 1, óïð. 4 ê 3.2) ñîîòâåòñòâåííî:ğαα = erα · erα ,ppğ = ğ11 ğ22 ğ33 ,1bαα = pğ²ijk∂ 2 xi ∂xj ∂xk. (2.3.43)∂(X α )2 ∂X 1 ∂X 2Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (2.3.11)(2.3.14) ââîäèì áåçðàçìåðíûå êîýôôèöèåíòû ïåðâîé è âòîðîé êâàäðàòè÷íûõ ôîðìğ¯αα = brα · brα ,qqğ¯ = ğ¯11 ğ¯22 ğ¯33 ,ğ¯αα , b̄αα :1bαα = pğ²ijk∂ 2 x̄i ∂ x̄j ∂ x̄k, (2.3.44)∂(X̄ α )2 ∂ X̄ 1 ∂ X̄ 2216Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûêîòîðûå ñâÿçàíû ñ ðàçìåðíûìè êîýôôèöèåíòàìè ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:pğαα = (x0 /X0α )2 ğ¯αα ,ğ =x20X01 X02qğ¯ ,bαα = (x0 /(X0α )2 )b̄αα .(2.3.45)Ïîäñòàâëÿÿ (2.3.45) â (2.3.42), íàõîäèì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ áåçðàçìåðíûõk̄αãëàâíûõ êðèâèçíè ðàäèóñîâ ãëàâíûõ êðèâèçík̄α = b̄αα /ğ¯αα = 1/R̄α ,ãäåk̄α = x0 kα ,Ââåäåì îáîçíà÷åíèå0σΣ= p0 x 0R̄α :α = 1, 2,(2.3.46)R̄α = Rα /x0 .(2.3.47) õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòàïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ (åãî ðàçìåðíîñòü â ÑÈ:0[σΣ]=Í/ì), òîãäà ñîîò-íîøåíèå (2.3.39) ìîæíî çàïèñàòü â áåçðàçìåðíîì âèäå:σ̄Σ = σ̄Σ0 +σΣθ θ0(θ̄ − 1),p0 x0σ̄Σ0 =σΣ0.p0 x0(2.3.48)Ïîäñòàâëÿÿ (2.3.47) è (2.3.48) â (2.3.38), ïðèâîäèì ýòè ñîîòíîøåíèÿ êáåçðàçìåðíîé ôîðìå:−p̄ +1Eu Ren · T̄v · n = (σ̄Σ0 + Ìà(θ̄ − 1))(k̄1 + k̄2 ),τ α · T̄v · n = 0,ãäåÌà=σΣθ θ0− ÷èñëîp0 x0(2.3.49)Ìàðàíãîíè.(2.3.50)Óïðàæíåíèÿ ê 2.3Óïðàæíåíèå 1.
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû óïð. 11 ê 2.6 ò. 1 è îñóùåñòâëÿÿ ôîðìàëü-εαβ → D̄αβ , aα → v̄α ,íóþ çàìåíó ïåðåìåííûõïîêàçàòü, ÷òî â äåêàðòîâîé ñèñòåìåêîîðäèíàò êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèéD̄αγ(2.3.19á) èìåþò âèäD̄αα = ∂v̄α /∂xα , α = 1, 2, 3,³´³´1∂v̄∂v̄1∂v̄∂v̄D̄12 =+,D̄13 =+,D̄23 =212132131∂x∂x∂x2∂xâ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàòñëåäóþùèé âèä:D̄rr =∂v̄r,∂r2D̄rφD̄φφ ==∂v̄φv̄+ r,r ∂φr1∂v̄r∂+rr ∂φ∂r1³v̄φrD̄zz =,2D̄φzà â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàòD̄rr =∂v̄r,∂rD̄ϑϑ ==2D̄rz2∂v̄2∂x3+∂v̄3∂x´2=∂v̄z∂v̄+ r,∂r∂z∂v̄φ1 ∂v̄z+,∂zr ∂φX̄ 1 = r, X̄ 2 = ϑ, X̄ 3 = φ:∂v̄ϑv̄+ r,r ∂ϑr1³,X̄ 1 = r, X̄ 2 = φ, X̄ 3 = z∂v̄z,∂z´1217 2.3.
Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè1∂v̄φv̄v̄ ctg ϑ1 ∂v̄r∂v̄v̄+ r + ϑ,2D̄rϑ =+ ϑ − ϑ,r sin ϑ ∂φrrr ∂ϑ∂rr1∂v̄rv̄φ1∂v̄ϑ1 ∂v̄φ1∂v̄φ+− ,2D̄φϑ =+− v̄φ ctg ϑ.=∂rr sin ϑ ∂φrr sin ϑ ∂φr ∂ϑrD̄φφ =2D̄φrÓïðàæíåíèå 2. Ïîêàçàòü, ÷òî â ëþáîé îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, âòîì ÷èñëå â äåêàðòîâîé, öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé, îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ(2.3.18) äëÿ âÿçêîé æèäêîñòè ìîæíî çàïèñàòü â êîìïîíåíòíîé áåçðàçìåðíîé ôîðìåñëåäóþùèì îáðàçîì:T̄vαα = (µ̄1 + 2µ̄2 )D̄αα + µ̄1 (D̄ββ + D̄γγ ),T̄vαβ = 2µ̄2 D̄αβ ,α 6= β 6= γ 6= α,α, β , γ ∈ {1, 2, 3}.∇ · a, ∇ · TÓïðàæíåíèå 3. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðîââ ðàçëè÷íûõñèñòåìàõ êîîðäèíàò (ñì.
óïð. 8 è 12 ê 2.6 ò. 1), ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé(2.3.24) â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèäSh∂ ρ̄v̄ i∂ ρ̄+=∂ t̄∂ x̄i0,∂ ρ̄v̄ i∂T̄ ij1+ j (ρ̄v̄ i v̄ j + Eu pδ ij − v ) =ρ̄f¯i ,∂ t̄ReFr∂ x̄³´p11∂ ρ̄ε̄∂λ̄δ ij ∂θ−T̄vij v̄j =+ i ρ̄v̄ i (ε + −ρ̄f¯i v̄i +j∂ t̄ρ̄PeEu ReEu Fr∂ x̄∂ x̄ShSh1Fkρ̄q̄m ,â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:Sh∂ ρ̄1 ∂r ρ̄v̄r1 ∂ ρ̄v̄φ∂ ρ̄v̄z+++=∂ t̄r ∂rr ∂φ∂z³Sh´³0,´1 ∂T̄1 ∂T̄∂ ρ̄v̄r+r ρ̄v̄r2 + Eu p̄ − vrr +ρ̄v̄r v̄φ − vrφ +∂ t̄r ∂r∂ Rer ∂φRe³´³´∂T̄vrz1T̄ρ̄+ρ̄v̄r vz −−ρ̄v̄φ2 + Eu p̄ − vφφ = f¯r ,∂z∂ RerReFr³´³Sh∂ ρ̄v̄φ1 ∂T̄+r ρ̄v̄r v̄φ − vrφ∂ t̄r ∂r∂ ReSh∂ ρ̄v̄z1 ∂T̄+r ρ̄v̄r v̄z − vrz∂ t̄r ∂r∂ ReSh¡∂ ρ̄ε̄1 ∂p̄ ¢λ ∂ θ̄+r ρ̄v̄r ε̄ +−−∂ t̄r ∂rρ̄Pe ∂r³+´+´∂T̄ρ̄v̄φ2 + Eu p − vφφ +r ∂φRe³´³´∂T̄vφz1T̄ρ̄+ρ̄v̄φ vz −+ρ̄v̄φ v̄r − vφr = f¯φ ,∂z∂ RerReFr1³´∂T̄ρ̄v̄φ vz − − vφz +r ∂φRe³´´T̄T̄ρ̄∂2ρ̄v̄z + vφz + Eu p − − vzz = f¯z ,+∂z∂ ReReFr1³3X1Eu Reα=1³¡∂p̄ ¢λ ∂ θ̄ρ̄v̄φ ε̄ +−−+r ∂φρ̄rPe ∂φ1+∂∂z³¡p̄ ¢λ ∂ θ̄ρ̄v̄z ε̄ +−−ρ̄Re∂z1Eu Re´T̄vrα v̄α +3Xα=11Eu Re3X´T̄vφα v̄α +α=1´T̄vzα v̄α =1Eu Frρ̄3Xα=1f¯α v̄α +1Fkρ̄q̄m ,218Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûãäå çíà÷åíèÿ èíäåêñàäèíàò:Shα=1, 2, 3 ñîîòâåòñòâóþòr, φ, z ;â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîð-³∂ ρ̄1 ∂1∂∂ ρ̄v̄φ+ 2 (r2 ρ̄v̄r ) +(ρ̄ sin ϑv̄ϑ ) +∂ t̄r sin ϑ ∂ϑ∂φr ∂r³´Sh1 ∂∂ T̄∂ ρ̄v̄r1∂+ 2 (r2 T̄drr ) +(sin ϑT̄drϑ ) + drφ∂ t̄∂rrsinϑ∂ϑ∂φrSh∂ ρ̄v̄ϑ1 ∂∂ T̄1∂+ 2 (r2 T̄drϑ ) +(sin ϑT̄dϑϑ ) + dφϑ +∂ t̄r sin ϑ ∂ϑ∂φr ∂r´= 0,1ρ̄f¯rrFr+ (T̄dφφ − T̄dϑϑ ) =³´1ρ̄f¯ϑrFr+ (T̄drϑ − T̄dφφ ctg ϑ) =³Sh³∂ ρ̄ε̄1 ∂p̄λ ∂θ+ 2 r2 ρ̄v̄r (ε̄ + ) −−∂ t̄ρ̄Pe ∂rr ∂r++1Eu Reρ̄³∂p̄λρ̄v̄φ (ε̄ + ) −r sin ϑ ∂φρ̄r sin ϑ13X11ρ̄f¯φrFr∂θ−Pe ∂φrα=11Eu Re3X1∂ϑEu Re3X´Pe,´Tvrα v̄α +³∂p̄λ ∂θsin ϑ(ρ̄v̄ϑ (ε̄ + ) −−r sin ϑ ∂ϑ,´1 ∂∂ T̄∂ ρ̄v̄φ1∂+ 2 (r2 T̄drφ ) +(sin ϑT̄dϑφ ) + dφφ +∂ t̄∂rrsinϑ∂ϑ∂φr+ (T̄dφr + T̄dφϑ ctg ϑ) =Sh,´Tvϑα v̄α ) +α=1Tvφα v̄α =α=11Eu Frρ̄3Xf¯α v̄α +α=11Fkρ̄q̄m .Çäåñü çíà÷åíèÿ èíäåêñîâ α, β = 1, 2, 3 ñîîòâåòñòâóþò r , ϑ, φ, à òàêæå îáîçíà÷åíûôèçè÷åñêèå êîìïîíåíòû òåíçîðà äèíàìè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé (2.3.17):T̄dαβ = p̄Euδαβ + ρ̄v̄α v̄β −1ReT̄vαβ .∆v â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõêîîðäèíàò (ñì.
óïð. 16 ê 2.6 ò. 1), ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.3.35) âäåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèäÓïðàæíåíèå 4. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðà∂v̄ i=∂ x̄iSh0,∂v̄ α∂ p̄∂v̄ α+ v̄ j j = −Eu+∂t∂ x̄α∂ x̄Sh∂θ∂θ+ v̄ j j =∂t∂ x̄1Pe∆θ +1Re∆v̄ α +w̄∗Eu Re+q̄mFkf¯αFr,,ãäå∆=3Xα=1∂2∂(xα )2,12222222w̄∗ = D̄11+ D̄22+ D̄33+ 2(D̄12+ D̄23+ D̄13),219 2.3. Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòèâ öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:∂rvr∂v∂rvz+ φ+=∂r∂φ∂zShSh0,v2∂vrv ∂v∂p∂v∂v+ vr r + φ r + vz z − φ = −Eu +∂t∂rr ∂φ∂zr∂r∆vr −Re∂vv ∂v∂vv vEu ∂p∂vφ+ vr φ + φ φ + vz φ + r φ = −+∂t∂rr ∂φ∂zrr ∂φSh³1³1∂ θ̄∂ θ̄v ∂ θ̄∂ θ̄+ v̄r+ φ+ v̄z=∂t∂rr ∂φ∂z1RePe∆θ̄ +r21Re−Eu Re+´2v∂vr− φ2r2 ∂φrfz∆vz +w∗∂vφr ∂φ22∆vφ +∂vz∂vv ∂v∂v∂p+ vr z + φ z + vz z = −Eu +∂t∂rr ∂φ∂z∂zShvrq̄mFkFr+frFr´+,fφFr,,,ãäå∆=∂2∂r2+∂ 1 ∂2∂2+ 2,22r ∂t r ∂φ∂z1â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:∂ 2∂∂rvφ(r sin ϑv̄r ) +(r sin ϑv̄ϑ ) +=∂r∂ϑ∂φShShSh0,v 2 + vφ2∂vr∂vv ∂vvφ ∂vr+ vr r + ϑ r +− ϑ=∂t∂rr ∂ϑr sin ϑ ∂φr³´2 ∂v2∂p12v2v ctg ϑ∂vφf− 2= −Eu +∆vr − 2r − 2 ϑ − ϑ 2+ r,∂rRe∂ϑ∂φFrrrrr sin ϑv 2 ctg ϑ∂vv ∂vvφ ∂vϑv v∂vϑ+ vr ϑ + ϑ ϑ ++ r ϑ− φ=∂t∂rr ∂ϑr sin ϑ ∂φrr³´Eu ∂p2 ctg ϑ ∂vφ12 ∂vvf=−+∆vϑ + 2 r − 2 ϑ 2 − 2+ ϑ,r ∂ϑReFrr ∂ϑr sin ϑr sin ϑ ∂φ∂vv ∂vvφ ∂vφv (v + vϑ ctg ϑ)∂vφ+ vr φ + ϑ φ ++ φ r=∂t∂rr ∂ϑr sin ϑ ∂φr³´Eu∂p12v∂vr2 ctg ϑ ∂vϑ=−+∆vφ + 2− 2 φ2 + 2 2,r sin ϑ ∂φRer sin ϑ ∂φr sin ϑr sin ϑ ∂φSh∂θ∂θv ∂θvφ ∂θ∆θ+ vr+ ϑ+=+∂t∂rr ∂ϑr sin ϑ ∂φPeãäå∆=∂2∂rr1³r2∂∂r´+³∂∂sin ϑ2∂ϑ∂ϑr sin ϑ1´+w∗Eu Re1+qmFk∂2r2 sin2 ϑ ∂φ2,.Óïðàæíåíèå 5.
Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ñèñòåì óðàâíåíèé (2.3.33) è (2.3.35).Óïðàæíåíèå 6. Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (2.3.21) è (2.3.16) áåçðàçìåðíûõ îïåðàòîðî⯠· T̄∇è¯ · ā∇â ïðîèçâîëüíîé îðòîãîíàëüíîé áåçðàçìåðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò220Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûX̄ α ,ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (2.3.24) â ýòèõ êîîðäèíàòàõ èìååò ñëåäóþùèéêîìïîíåíòíûé âèä:Sh3X∂ ρ̄1∂(ρ̄v̄α H̄β H̄γ ) =+√∂t∂ X̄ αḡ0,α=1Sh3 ³√√ ³´X¢1ρ̄f¯∂ ρ̄v̄γ∂ ¡ ḡḡ∂ H̄γ∂ H̄α+√Tdαγ +Tdγα= γ,αα − Tdααγ∂tFr∂ X̄H̄αH̄α H̄γ∂ X̄∂ X̄ḡα=1Sh3X∂ ρ̄ε̄1∂ρ̄q̄+√(h̄α H̄β H̄γ ) = m +∂tFk∂ X̄ αḡα=13Xρ̄Eu Frf¯α v̄α ,α=1ãäå3X1ε̄ = ē +2Euv̄α2 ,Tdαγ = p̄Eδαγ + ρ̄v̄α v̄γ −α=1pρλ̄∂θα −Pe ∂ X̄h̄α = ρ̄v̄α (ε + ) −1Eu Re3X1ReT̄vαγ ,T̄vαγ v̄γ ,α=1ïðè÷åì êîìïîíåíòû áåçðàçìåðíîãî òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèéT̄vαγîïðåäåëÿþò ïîôîðìóëàì (2.3.19â) è (2.3.19ã). 2.4.
Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññû â âÿçêîé æèäêîñòè2.4.1. Ìîäåëü óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ äâèæåíèÿñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÁåçðàçìåðíàÿ ôîðìà (2.3.24) óðàâíåíèé äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè óäîáíà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé ïðîöåññîâ, îñíîâàííûõ íà ïðåäïîëîæåíèè î ìàëîñòè íåêîòîðûõ êðèòåðèåâ ïîäîáèÿ. Ðàññìîòðèì òàêèå êëàññè÷åñêèåìîäåëè.Îïðåäåëåíèå 2.4.1.ñòèVÅñëè â ñèñòåìå (2.3.24), çàäàííîé â íåêîòîðîé îáëà-äëÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè[0, tmax ],÷èñëî Ñòðóõàëÿ ìíîãî ìåíüøååäèíèöû:Shòîïðîèçâîäíûìèïîâðåìåíèâ¿ 1,ýòîéñèñòåìå(2.4.1)ìîæíîýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ðàññìàòðèâàþò ìîäåëüïðåíåáðå÷ü,èâóñòàíîâèâøèõñÿï ð î ö å ñ ñ î â ä â è æ å í è ÿ ñ æ è ì à å ì î é â ÿ ç ê î é æ è ä ê î ñ ò è.221 2.4.
Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññû â âÿçêîé æèäêîñòèÑèñòåìà óðàâíåíèé (2.3.24) â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä(÷åðòó íàä áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè, â òîì ÷èñëå íàä êîýôôèöèåíòàìèâÿçêîñòè è òåïëîïðîâîäíîñòè, îïóñêàåì):∇ · ρv = 0,´³11∇ · ρv ⊗ v + Eu pE − Tv = ρf ,ReFr ´³∇ · ρv(ε + p̄ ) + 1 q − 1 Tv · v =ρ̄PeEu Re(2.4.2)1Eu Frρf · v +1ρqm ,FkT = µ1 (∇ · v)E + µ2 (∇ ⊗ v + ∇ ⊗ v ò ), vq = −λ ∇θ,2ε = e + |v| , p = p(ρ, θ), e = e(ρ, θ).ãäå(2.4.3)2EuÅñëè ðàññìàòðèâàþò ìîäåëü ëèíåéíî-âÿçêîé æèäêîñòè, òîµα = const.2.4.2. Ìîäåëü óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ äâèæåíèÿíåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÄëÿíåñæèìàåìîéâÿçêîéæèäêîñòèáåçðàçìåðíàÿñèñòåìàóðàâíåíèé(2.3.33) óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ èìååò âèä∇ · v = 0,∇ · (v ⊗ v + Eu pE) =³2∇ · v(e + p + |v| ) +2Eu1Re1Pe1∆v −q−Fr1Eu Ref,(2.4.4)´Tv · v =1Eu Frf · v+(Tv = ∇ ⊗ v + ∇ ⊗ v ò = 2D,ãäåq = −λ ∇θ,1Fkqm ,(2.4.4à)e = e(θ).Çäåñü, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçúÿñíåíèÿìè èç ï.
2.3.4, áåçðàçìåðíûå ïëîòíîñòü◦ρ,êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòèλè êîýôôèöèåíò âÿçêîñòèµ2ïîëîæèìðàâíûìè 1.Åñëè èñïîëüçîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ïîëíûõäèôôåðåíöèàëàõ (2.3.35), òî äëÿ óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó, ýêâèâàëåíòíóþ ñèñòåìå (2.4.4):∇ · v = 0,1fv · ∇ ⊗ v = −Eu ∇p + ∆v + ,ReFr∗v · ∇θ = 1 ∆θ + w + qm .PeEu Re(2.4.5)FkÎïðåäåëåíèå 2.4.1 ÿâëÿåòñÿ áîëåå èíôîðìàòèâíûì, ÷åì ïîäîáíîå îïðåäåëåíèå 1.3.1 óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè, ïîñêîëüêó222Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûîíî ôîðìóëèðóåò äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îñóùåñòâëåíèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ ýòî óñëîâèå (2.3.39).Åñëè ðàññìàòðèâàþò ìîäåëü æèäêîñòè ïðè áîëüøèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà èêîíå÷íûõ ÷èñëàõ Ýéëåðà:ReÀ 1,Eu= O(1),(2.4.6)òî â ñèñòåìàõ (2.3.40) è (2.3.42) ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå òåíçîð âÿçêèõ íàïðÿæåíèé, ìîæíî îïóñòèòü, è ýòè ñèñòåìû â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ (1.5.2)(1.5.4) è(1.5.5)(1.5.7).2.4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
