Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды (1050318), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ýòî âîçìîæíî, êîãäàC32Eu Re+3C 41= 0,R2− C3Eu Re2Èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé íàõîäèì êîíñòàíòûC4 = −C36Eu Re=vs4R3 ,+C3C4= vs R.R2è(2.5.49)C4 :C3 = −3vs R2Eu Re.(2.5.50)Ïîäñòàâëÿÿ ýòè êîíñòàíòû â (2.5.47), ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿñêîðîñòè æèäêîñòè âV1 :v Rv= s4 rµR23+r2¶µR21−r2v Rē3 + s34 r3¶x0 x0 .(2.5.51)Ïîäñòàâëÿÿ (2.5.50) â (2.5.37), íàõîäèì ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ æèäêîñòèâV1 :p = p∞ +x0.Re r 33v s R2Eu(2.5.52)Ôîðìóëû (2.5.51) è (2.5.52) è äàþò èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷è.Çàïèøåì ýòè ôîðìóëû â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàòâ öåíòðå øàðàO0 .r, ϑ, φñ íà÷àëîìÏîñêîëüêó äëÿ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû (ñì. ò. 1, ïðèìåð2.1.10 è óïð. 4 ê 2.6):x0 = x03 = r cos ϑ,x0 = rer ,ē3 = P 13 er + P 23 eϑ + P 33 eφ = cos ϑer =ãäåer , eϑ , eφsin ϑ2eϑ ,(2.5.53) áàçèñ ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî, ïîäñòàâëÿÿ (2.5.53)â (2.5.51), (2.5.52), ïîëó÷àåìv=vsh³ 3R2r−³ R ´3 ´rcos ϑer −12p = p∞ +³ 3Rr³ R ´3 ´−3v s R2Eu Reisin ϑeϑ = vr er + vϑ eϑ ,r(2.5.54)cos ϑ.(2.5.55)2rÈç ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò, ÷òî ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòèðàâíà íóëþ:vφ = 0,àvrèvϑçàâèñÿò òîëüêî îòrèϑ,vφâ äàííîé çàäà÷åò.
å. òå÷åíèå æèäêîñòèïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè øàðà ÿâëÿåòñÿ îñåñèììåòðè÷íûì íå çàâèñèòîò àçèìóòàëüíîãî óãëàφ.Èç (2.5.55) ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìàëüíîå äàâëåíèåpmax = p∞ +3v s2Eu ReR(2.5.56)234Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûäîñòèãàåòñÿ â êðèòè÷åñêîé òî÷êå ñôåðû (ríû, à â ïðîòèâîïîëîæíîé òî÷êå ñôåðû (rìèíèìàëüíûì:pmin = p∞ −= R, ϑ = 0) ñ íàâåòðåííîé ñòîðî= R, ϑ = −π ) äàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ3v s2Eu ReR.(2.5.57)DÂû÷èñëèì êîìïîíåíòû òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèéâ ñôåðè÷åñêîéñèñòåìå êîîðäèíàò, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ðåçóëüòàòû óïð. 13 è 14 ê 2.6ò.
1. Âñëåäñòâèå îñåâîé ñèììåòðèè, îòëè÷íûìè îò íóëÿ áóäóò òîëüêî ÷åòûðåêîìïîíåíòû:∂v3vDrr = r = s∂r2rDϑϑ =µR−r∂vϑv3v+ r = sr ∂ϑr4rµ113v sr4rDφφ = (vϑ ctg ϑ + vr ) =2Drϑ=µ³ R ´3 ¶rR−rR−rcos ϑ = Tvrr ,³ R ´3 ¶r³ R ´3 ¶rcos ϑ = Tvϑϑ ,cos ϑ = Tvφφ ,(2.5.58)∂vr∂vv3v+ ϑ − ϑ = s sin ϑ = Tvrϑ .r ∂ϑ∂rr2r1Ïîñêîëüêó âñå âåëè÷èíû â äàííîé çàäà÷å ðàññìàòðèâàþòñÿ â áåçðàçìåðíîìâèäå, òî, êàê áûëî îòìå÷åíî â ï. 2.4.1, áåçðàçìåðíûå êîìïîíåíòû 2Dαβ ñîâïàäàþò ñ áåçðàçìåðíûìè êîìïîíåíòàìèTαβòåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèéÈç (2.5.58) ñëåäóåò, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè ñôåðûÿâëÿåòñÿ òîëüêî êàñàòåëüíîå íàïðÿæåíèå¯3vTvrϑ ¯Σ = s sin ϑ.(2.5.59)2RRRRTv .îòëè÷íûì îò íóëÿTvrϑ :¯¯¯Tvrr ¯Σ = Tvϑϑ ¯Σ = Tvφφ ¯Σ = 0,Rr=RÑ ïîìîùüþ ôîðìóë (2.5.59) ëåãêî íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ñóììàðíîé ñèëûF Σ,äåéñòâóþùåé íà øàð:ZFΣ =ZZtn dΣ = (−pE + Tv ) · n dΣ = − pn dΣ +ΣZΣZ³= − per dΣ +ΣTvrϑEu Re´1ZTv · n dΣ =Eu ReΣΣZZeϑ ⊗ er · er dΣ = − per dΣ +ΣΣTvrϑEu Reeϑ dΣ.Σ(2.5.60)Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (2.5.60) âûðàæåíèÿ äëÿerèeϑ÷åðåçê 2.6 ò.
1):er = sin ϑ cos φ ē1 + sin ϑ sin φ ē2 + cos ϑ ē3 ,eϑ = cos ϑ cos φ ē1 + cos ϑ sin φ ē2 − sin ϑ ē3 ,ïîëó÷àåìF Σ = F̄Σi ēi ,ēi(ñì. óïð. 4235 2.6. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòèãäåZ Zπ³´TF̄Σ = R−p sin ϑ cos φ + vrϑ cos ϑ cos φ sin ϑ dφ dϑ,2π12Eu Re00Z Zπ³´T−p sin ϑ sin φ + vrϑ cos ϑ sin φ sin ϑ dφ dϑ,F̄Σ = R2π22(2.5.61)Eu Re00Z Zπ³2πF̄Σ3 = R2−p cos ϑ −0TvrϑEu Re´sin ϑ sin ϑ dφ dϑ.0Åñëè ïîäñòàâèòü â (2.5.61) âûðàæåíèÿ (2.5.55) è (2.5.59) äëÿpîòφ,ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïîφîò 0 äîπTvrϑ íàp è Tvrϑèñôåðå, òî íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî âñëåäñòâèå íåçàâèñèìîñòèïåðâûå äâà èíòåãðàëà â (2.5.61)äàþò íóëü, è îòëè÷íîé îò íóëÿ áóäåò òîëüêî êîìïîíåíòàFΣ3 :F̄Σ1 = F̄Σ2 = 0,Zπ³F̄Σ = −2πRp∞ +33v s2Zπ− 2πR22Eu ReR´cos ϑ cos ϑ sin ϑ dϑ−03vs2Eu ReRsin3 ϑ dϑ = −Zπ3πvsEu Resin ϑ dϑ = −R6πvsEu ReR,(2.5.62)00ò.
å. ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ñòîêñà:F̄ Σ = −6πvsEu ReRē3 .(2.5.63)Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ øàðà â âÿçêîé æèäêîñòè ñóììàðíàÿ ñèëà óæå îòëè÷íà îò íóëÿ (â îòëè÷èå îò èäåàëüíîé æèäêîñòè),è ïàðàäîêñ Äàëàìáåðà íå èìååò ìåñòà. Ýòà ñèëàñêîðîñòè äâèæåíèÿ øàðàFΣêîëëèíåàðíà âåêòîðóvs . 2.6. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿíåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè2.6.1. Ñèñòåìà óðàâíåíèé ïëîñêîãî íåóñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿíåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòèÂåðíåìñÿ ê îáùèì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè(2.3.34), (2.3.35) ïðè íåóñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññàõ.
Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿäëÿ ìîäåëè ïëîñêîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè, â êîòîðîé îäíà èç äåêàðòîâûõ236Ãëàâà 2. Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûêîìïîíåíò ñêîðîñòèv̄3òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, à âñå îñòàëüíûå ôóíêöèèx1 , x2çàâèñÿò òîëüêî îò äâóõ êîîðäèíàòf = f (x1 , x2 , t),v̄3 ≡ 0,t:è âðåìåíèf = {v̄1 , v̄2 , θ, p}.(2.6.1)Òîãäà, èñïîëüçóÿ êîìïîíåíòíóþ çàïèñü ñèñòåìû (2.3.35) (ñì. óïð. 4 ê 2.3), ñ ó÷åòîì (2.6.1) ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïëîñêîãî íåóñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè:ShSh∂v̄1∂v̄+ 22 = 0,1∂x∂x³ ∂ 2 v̄´ f∂v̄1∂v̄11∂v̄1∂p∂ 2 v̄21+ v̄1 1 + v̄2 2 = −Eu+++ 1,11 22 2∂tReFr∂x∂x∂x∂(x )∂(x )∂v̄2∂v̄∂v̄∂p+ v̄1 21 + v̄2 22 = −Eu+∂t∂x∂x∂x2Shãäåw∗∂θ∂θ∂θ+ v̄1 1 + v̄2 2 =∂t∂x∂x³ ∂2θ1∂(x )1 2Pe³ ∂ 2 v̄21Re++∂(x )1 2∂2θ∂(x2 )2´+∂ 2 v̄2∂(x2 )2w∗Eu Re´++f2FrqmFk(2.6.2)(2.6.3)(2.6.4),(2.6.5), áåçðàçìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàññåèâàíèÿ (2.3.36), èìåþùàÿ â äàííîéçàäà÷å ñëåäóþùèé âèä:12w∗ =³ ∂v ´21∂x1+³ ∂v ´22∂x2+³ ∂v1∂x2+∂v2∂x1´2.(2.6.6)2.6.2.
Ôóíêöèè âèõðÿ è òîêà â ìîäåëè ïëîñêîãî äâèæåíèÿÂâåäåì äâå íîâûå ôóíêöèèωèψ(íå ïóòàòü ñî ñâîáîäíîé ýíåðãèåé Ãåëüì-ãîëüöà), íàçûâàåìûå ôóíêöèåé âèõðÿ è ôóíêöèåé òîêà ñîîòâåòñòâåííî, ñïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé:∂v1∂v2ω = 2 − 1 ,(2.6.7)∂x∂x∂ψ∂ψv1 =,v2 = − 1 .2∂x∂x(2.6.8)Åñëè ïîäñòàâèòü ñîîòíîøåíèå (2.6.8) â óðàâíåíèå íåñæèìàåìîñòè (2.6.2),òî îíî áóäåò óäîâëåòâîðåíî òîæäåñòâåííî, ïîñêîëüêó∂2ψ∂2ψ∂v1∂v2=−= 0.+∂x1∂x2∂x1 ∂x2∂x2 ∂x1Ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (2.6.3) ïîSh(2.6.9)x2 ,à (2.6.4) ïîx1 :∂ 2 v1∂v1 ∂v1∂ 2 v1∂ 2 v1∂v2 ∂v1++v=+v+121∂t∂x2∂x2 ∂x∂x1 ∂x2∂x2 ∂x2∂(x2 )2············∂ p= −Eu 1 2 +∂x ∂x2µ1Re∼∼∼∼∂ 3 v1∂ 3 v1+∂(x1 )2 ∂x2∂(x2 )3¶+∂f1,Fr ∂x21(2.6.10)237 2.6.
Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòèSh∂ 2 v2∂v1 ∂v2∂ 2 v2∂ 2 v2∂v2 ∂v2++v=+v+12∂t∂x1∂x1 ∂x1∂x1 ∂x2∂(x1 )2∂(x2 )2............∂ p= −Eu 1 2 +∂x ∂xµ21Re∼∼∼∼∂ 3 v2∂ v2+1 3∂(x )∂(x2 )2 ∂x13¶+1Fr∂f2.∂x1(2.6.11)Âû÷òåì èç (2.6.10) óðàâíåíèå (2.6.11) è ñîáåðåì â ïîëó÷åííîì óðàâíåíèèïîä÷åðêíóòûå ÷ëåíû, òîãäà ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèÿ (2.6.7) íàõîäèìSh∂ω∂ω∂ω∂v∂v+ v1 1 + v2 2 + 11 ω + 22 ω =∂t∂x∂x∂x∂x∼∼∼∼µ=1Re············∂2ω∂2ω+∂(x1 )2∂(x2 )2¶+1³ ∂fFr1∂x2−∂f2∂x1´.(2.6.12) ñèëó óðàâíåíèÿ íåñæèìàåìîñòè (2.6.2), ñëàãàåìûå, ïîä÷åðêíóòûå äâóìÿ÷åðòàìè è òî÷êàìè, âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ è óðàâíåíèå (2.6.12) ïðèíèìàåòâèäSh∂ω∂ω∂ω+ v1 1 + v2 2 =∂t∂x∂x1Re∆ω +1³ ∂f1∂x2Fr−∂f2∂x1´.(2.6.13)Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàþò óðàâíåíèåì äèôôóçèè âèõðÿ, îíî ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîìóðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (2.1.55) äëÿ ñëó÷àÿ ïëîñêîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè (ñì.óïð.
1 ê 2.6).Óñòàíîâèì óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè òîêàψ.Äëÿ ýòîãî ïîäñòàâèì ñîîòíî-øåíèå (2.6.8) â (2.6.7), â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èìω=∂2ψ∂2ψ+∂(x1 )2∂(x2 )2(2.6.14)èëè∆ψ = ω(2.6.15) óðàâíåíèå Ïóàññîíà äëÿ ôóíêöèè òîêà.Ïîñêîëüêó äàâëåíèåpíå âõîäèò â óðàâíåíèÿ (2.6.13) è (2.6.15), íàéäåìîòäåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ íåãî.  ýòèõ öåëÿõ ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèåäâèæåíèÿ (2.6.3) ïî³Sh∂ ∂v1∂v+ 22∂t ∂x1∂xx1 ,´à (2.6.4) ïî³ ∂v ´2x2 ,è ñëîæèì èõ äðóã ñ äðóãîì:³ ∂v ´2∂v ∂v2+ 2 21 12 +∂x1∂x ∂x∂x2³ ∂2v´2³ ∂2v´∂v2∂ 2 v2 211= v1++v+=2∂(x1 )2∂x1 ∂x2∂x1 ∂x2∂(x2 )2³ ∂∆v´³ ∂f´1∂∆v2∂f2111= −Eu∆p ++++.ReFr∂x1∂x1∂x2∂x2+1+(2.6.16)238Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÎòìåòèì, ÷òî â ñèëó óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè (2.6.2), ïîä÷åðêíóòûå ñëàãàåìûå â (2.6.16) ðàâíû íóëþ. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó³ ∂v ´21∂x1+³ ∂v ´22∂x2=³ ∂v1∂x1+∂v2∂x2´2−2∂v1 ∂v2∂v ∂v= −2 11 22 ,12∂x ∂x∂x ∂xòî ïîëó÷àåì, ÷òî (2.6.16) èìååò âèä∆p = 2Eu³ ∂v ∂v12∂x1 ∂x2−∂v1 ∂v2∂x2 ∂x1(2.6.17)´.(2.6.18)Ñ ó÷åòîì (2.6.8) íàõîäèì îêîí÷àòåëüíûé âèä óðàâíåíèÿ äëÿp:³ ∂2ψ ∂2ψ¡ ∂ 2 ψ ´2 ´∆p = 2Eu−.11 22 2∂(x ) ∂(x )(2.6.19)∂x ∂x2Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ ôóíêöèé âèõðÿ è òîêà, èñõîäíûåóðàâíåíèÿ (2.6.2)(2.6.4) ñâåäåíû ê òðåì ñêàëÿðíûì óðàâíåíèÿì (2.6.13),(2.6.15) è (2.6.19). Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (2.6.5) â äàííîì ìåòîäåîñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèé.Ìåòîä ââåäåíèÿ ôóíêöèé âèõðÿ è òîêà ïîäîáåí ðàññìîòðåííîìó âûøå âï.
2.5.2 ìåòîäó ïðåîáðàçîâàíèÿ òðåõìåðíûõ óðàâíåíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ê ñèñòåìå óðàâíåíèé Ãåëüìãîëüöà (2.1.58)(2.1.61). Îäíàêî â ïëîñêîìñëó÷àå, çà ñ÷åò ââåäåíèÿ ôóíêöèè òîêà, ýòè óðàâíåíèÿ óäàåòñÿ óïðîñòèòü,ïîñêîëüêó âìåñòî óðàâíåíèÿ äëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ïîÿâëÿåòñÿ îäíî ñêàëÿðíîåóðàâíåíèå (2.6.15) äëÿ ôóíêöèè òîêà.Åñëè ïîäñòàâèòü óðàâíåíèå (2.6.15) â (2.6.13), òî ïîëó÷èì îäíî ñêàëÿðíîåóðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè òîêà, êîòîðîå áóäåò èìåòü ÷åòâåðòûé ïîðÿäîê ïðîèçâîäíûõ ïî êîîðäèíàòàì è êîòîðîå íàçûâàþò óðàâíåíèåì äëÿ ôóíêöèè òîêà âôîðìå Îððà Çîììåðôåëüäà:Sh∂ψ ∂∆ψ∂ψ ∂∆ψ∂∆ψ+ 2− 1=∂t∂x ∂x2∂x ∂x11Re∆2 ψ +1³ ∂fFr1∂x2−∂f2∂x1´.(2.6.20)Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíóþ ñèñòåìó ÷åòûðåõ óðàâíåíèé (2.6.2) ïëîñêîãîäâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ìîæíî ñâåñòè ê äâóì íåñâÿçàííûì ñêàëÿðíûì óðàâíåíèÿì (2.6.20) è (2.6.19).2.6.3.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèé âèõðÿ, òîêà è äàâëåíèÿ1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.6.2)(2.6.5) è (2.6.13),(2.6.15), (2.6.19) çàäàíû â îãðàíè÷åííîé ïëîñêîé îáëàñòèãðàíèöûΣV ⊂ E2a ,à íà ÷àñòèýòîé îáëàñòè çàäàíû óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ñêîðîñòåé (êèíåìà-òè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.2.36)):Σ1 :ãäåv1eèv2ev̄1 = v1e , çàäàííûå ôóíêöèè.v̄2 = v2e ,(2.6.21)239 2.6.
Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòèÂâåäåì âåêòîð íîðìàëèâåêòîðτnn̄iñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìèè êàñàòåëüíûéñ êîîðäèíàòàìèτ̄ 1 = n̄2 ,îðòîãîíàëüíûé êΣ1 :n,τ̄ 2 = −n̄1 ,(2.6.22)òîãäà óñëîâèÿ (2.6.21) ïðèíèìàþò âèävn = v̄1 n̄1 + v̄2 n̄2 ,vτ = v̄1 n̄2 − v̄2 n̄1 = vτ e ,(2.6.23)ãäåvne = v1e n̄1 + v2e n̄2 ,vτ e = v1e n̄2 − v2e n̄1 .ψ è ω , ââåäåìX 1 , X 2 (ñì. ï.
2.5.2),Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñôîðìóëèðîâàòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿäëÿ îáëàñòèVàäàïòèâíûå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòûñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ëþáóþ ÷àñòü ïîâåðõíîñòèâ âèäåΣîáëàñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòüX α = X0α = const, α ∈ {1, 2}.Îáîçíà÷èì äâóìåðíûå ÿêîáèåâó è îáðàòíóþ ÿêîáèåâó ìàòðèöû:Qαβ =Åñëè êîîðäèíàòûXα∂xα,∂X βP αβ =∂X α.∂xβ(2.6.24) îðòîãîíàëüíûå, òî âåêòîðûâûáðàòü ñîâïàäàþùèìè ñ âåêòîðàìè ëîêàëüíîãî áàçèñàèτ âñåãäàΣ:ìîæíîíàrβ = τ = QIβ ēI ,rα = n = QIα ēI ,n̄I = QIα ,nrα(2.6.25)τ̄ I = QIβ , α, β ∈ {1, 2}.Ïîäñòàâëÿÿ (2.6.8) â (2.6.22), ïîëó÷àåì∂ψ∂ψ− n̄2 1 = vne2∂x∂x(2.6.26)∂ψ∂ψ∂ψ∂ψ+ τ̄ 2 2 = τ̄ I I == −vne .1∂τ∂x∂x∂x(2.6.27)n̄1èëè ñ ó÷åòîì (2.6.22):τ̄ 1Ïîñêîëüêó â êðèâîëèíåéíîé îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàòâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ∂ψ/∂τèìååìΣïðîèç-èìååò âèä∂ψ= τ · ∇ψ = τ ·∂τòî íà ïîâåðõíîñòèXI³ ∂ψñ óðàâíåíèåì∂Xα rα+∂ψrβ∂X βX α = X0α =´=∂ψ,∂X β(2.6.28)const èç (2.6.27) è (2.6.28)∂ψ(xα , xβ ) = −vne (X β ).∂X β 0(2.6.29)240Ãëàâà 2.
Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçûÓðàâíåíèå (2.6.29) ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü âäîëü ïîâåðõíîñòèΣ,â ðå-çóëüòàòå ïîëó÷èìXZβαΣ:ααX = X0 ,ββαvne (X) dX.ψ(X0 , X ) = ψ(X0 , X0 ) −(2.6.30)βX0Ýòî ñîîòíîøåíèå è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàíè÷íîå óñëîâèå äëÿ ôóíêöèè òîêàψíàΣ.Åñëè íà âñåé ïîâåðõíîñòèΣîáëàñòè çàäàíû óñëîâèÿ (2.6.21), òî çíà÷åíèÿψ(X0α , X0β ) ïðè ïåðåõîäå ñ îäíîé ÷àñòè ïîâåðõíîñòèΣ íà äðóãóþ îïðåäåëÿåòñÿïî íåïðåðûâíîñòè, è ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ íàéäåíî ñ òî÷íîñòüþ äî îäíîéêîíñòàíòû, çíà÷åíèå êîòîðîé âñåãäà ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûì íóëþ.Îòìåòèì, ÷òî âäîëü ïîâåðõíîñòèðåíöèðîâàòü ïîXβ(íî íå ïîΣ:Σóðàâíåíèå (2.6.29) ìîæíî ïðîäèôôå-Xα):X α = X0α ,∂v∂2ψ= − neβ .β 2∂X∂(X )(2.6.31)Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì ïîòðåáóþòñÿ çíà÷åíèÿ ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíûõîò ôóíêöèè òîêà ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòèX α = const.Ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþëåãêî íàõîäèì èç (2.6.8), (2.6.21) è (2.6.22):Σ:∂ψ∂ψ 1∂ψ 2∂ψQ α = −v2 Q1α + v1 Q2α =Q α+=α =1∂n∂X∂X∂X 2= −v2e Q1α + v1e Q2α = −n̄1 v2e + v1e n̄2 = τ̄ 1 v1e + τ̄ 2 v2e = vτ e .(2.6.32)Äëÿ íàõîæäåíèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé âîñïîëüçóåìñÿ ðàçëîæåíèåì â ðÿä Òåéëîðà ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ôóíêöèèψ(X α , X0β )âΣ : X α = X0α = const, ãäå òî÷êà(X0α , X β ) ïðèíàäëåæèò ýòîé ãðàíèöå Σ (ðèñ.
2.6.1):îêðåñòíîñòè ãðàíèöûψ(X0α + ∆X α, X β ) = ψ(X0α, X β )+Ðèñ. 2.6.1.Êíàõîæäå-+íèþ âòîðîé ïðîèçâîäíîéîò ôóíêöèè òîêà∂ψ(X0α, X β )∆X0α+∂X α∂2ψ(X0α , X β )(∆X α )2 + O((∆X α )3 ).2 ∂(X α )21Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿψ(X0α , X β )è(2.6.33)∂ψ/∂X αçäåñüâû÷èñëÿþò íà ãðàíèöå, òî äëÿ íèõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (2.6.30)è (2.6.32), òîãäà îáîçíà÷àÿψe = ψ(X0α + ∆X α , X β ),(2.6.34)241 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
